2021中考數(shù)學(xué)軸對(duì)稱之線段最短問題

1.在平面直角坐標(biāo)系中，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6),。點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)M為y軸上的動(dòng)點(diǎn).

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出當(dāng)△PMQ的周長取最小值時(shí)點(diǎn)M的位置.(保留作圖痕跡)

(2)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

2.如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4近,/ABC=45°,8。平分NA8C,M、N分別

是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，試求CM+MN的最小值.

3.已知：矩形ABC。中，AD=2AB,AB=6,E為中點(diǎn)，M為CO上一點(diǎn)，PELEM交

CB于點(diǎn)P,EN平分NPEM交BC于點(diǎn)N.

(2)用等式表示8/、PN2、NC?三者的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)過點(diǎn)尸作PGLEN于點(diǎn)G,K為EM中點(diǎn)，連接￡>K、KG,求。K+KG+PG的最小

值.

1

4.如圖，在△A8C中，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交4c于M.

(1)若N8=80°,則NNMA的度數(shù)是.

(2)連接MB,若AB=9cm,/SMBC的周長是16cvw.

①求BC的長；

②在直線MN上是否存在點(diǎn)P,使由P,B,C構(gòu)成的△PBC的周長值最??？若存在，標(biāo)

出點(diǎn)P的位置并證明；若不存在，說明理由.

5.在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)4,其坐標(biāo)為A(3,2)回答下列問題：

(1)點(diǎn)4關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)點(diǎn)為

點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)點(diǎn)為

(2)若在x軸上找一點(diǎn)Q,使DA+DC之和最短，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

(3)若在x軸上找一點(diǎn)E,使aOAE為等腰三角形，則有個(gè)這樣的E點(diǎn).

6.如圖，乙4。8=30°,點(diǎn)P是/A08內(nèi)一點(diǎn)，尸。=8,在/A08的兩邊分別有點(diǎn)R、Q

(均不同于。)，求△PQR周長的最小值.

7.如圖，8。是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交A8,BD,BC于點(diǎn)E,F,G,

連接DG.

2

(1)請(qǐng)判斷四邊形EBG。的形狀，并說明理由.

(2)若NABC=30°,ZC=45°,E￡)=孰后，點(diǎn)”是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HG+HC

的最小值.

8.如圖，在△A8C中，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于M交AC于M.

(1)若/8=70°,則NM0A的度數(shù)是.

(2)連接MB,若4B=8cro,△M3C的周長是14a”.

①求BC的長；

②在直線上是否存在點(diǎn)P,使由P,B,C構(gòu)成的△P8C的周長值最小？若存在，標(biāo)

出點(diǎn)P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由.

9.如圖，草地邊緣0M與小河河岸ON在點(diǎn)0處形成30°的夾角，牧馬人從A地出發(fā)，先

讓馬到草地吃草，然后再去河邊飲水，最后回到A地.已知OA=2的?，請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)一

條路線，使所走的路徑最短，并求出整個(gè)過程所行的路程.

3

草地

小河

10.將軍在B處放馬，晚上回營，需要將馬趕到河CD去飲水一次，再回到營地4,已知A

到河岸的距離AE=2公里，B到河岸的距離BF=3公里，EF=12公里，求將軍最短需

要走多遠(yuǎn).

CEFD

4

參考答案

1.解：(1)如圖所示：

(2)設(shè)直線Q'P的解析式為y=^+6,將點(diǎn)。'、點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入得：,2k+b=6.

l-2k+b=2

解得:6=4.

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4).

2.解：過點(diǎn)C作CEL4B于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)M',過點(diǎn)M'作M'N'L8C于N',則

CE即為CM+MN的最小值，

,:BC=4啊,ZABC=45°,80平分/ABC,

...△BCE是等腰直角三角形，

；.CE=BC?cos45°=4&X返=4.

3.(1)證明：過尸作PQJ_4D于。,

則PQ=AB,

\'AD=2AB,E為AD中點(diǎn),

5

：.AD=2DE,

：.PQ=DE,

'：PE±EM,

:.NPQE=ND=NPEM=90°,

:.NQPE+NPEQ=NPEQ+NDEM=90°,

：.ZQPE=ZDEM,

:.叢PQEQ叢EDM(ASA),

:.PE=EM；

(2)解：三者的數(shù)量關(guān)系是：BAN^PN1.

①點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，P為BC的中點(diǎn)，顯然BP^+M^nP/V2成立;

②點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，N為BC的中點(diǎn)，顯然8產(chǎn)+NC2=PM成立;

③證明：如圖2,連接BE、CE,

:四邊形A8C。為矩形，AD=2AB,E為A。中點(diǎn)，

AZA=ZABC=90°,AB=CD=AE=DE,

：.ZAEB=45°,NDEC=45°,

'AB=CD

在AABE和△OCE中，，ZAEB=ZDEC>

,AE=DE

:.叢ABE\DCE(SAS),ZBEC=90°,

；.BE=CE,

：.ZEBC=ZECB=45°,

NEBC=ZECD,

又,.?NBEC=NPEM=90°,

NBEP=AMEC,

，ZEBP=ZECM

在△BEP和△CEM中，<BE=CE，

,ZBEP=ZCEM

.'.△BEP出ACEM(ASA),

：.BP=MC,PE=ME,

,:EN平分NPEM,

:.NPEN=NMEN=L=45°,

2

6

'PE=ME

在/\EPN和AEMN中，,ZPEN=ZMEN-

NE=NE

，Z\EPNgAEMN(SAS),

:.PN=MN,

在RtaMNC中有：MC1+NC2=MN2,

:.BF+N+MPN1；

(3)解：如圖3,連接PM,

由(2),可得

PN=MN,PE=ME,

垂直平分PM,PGLEN,

；.P、G、M三點(diǎn)共線，且G為尸M的中點(diǎn)，

為EM中點(diǎn)，

GK=1ME,

2

又；N￡>=90°,

:.DK=1ME,

2

由(2),可得

△PEM為等腰直角三角形，

根據(jù)勾股定理，可得

PG=GM=^ME,

2_

.?.OK+GK+PG=L=(1+返)ME,

22

當(dāng)ME取得最小值時(shí)，DK+GK+PG取得最小值,

即當(dāng)ME=OE=6時(shí)，OK+GK+PG有最小值，

最小值為：(1+返)X6=6+3V2-

2

7

圖2

圖1

4.解:(1)'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

二NA=180°-2ZB,

又垂直平分A8,

：.ZNMA=900-ZA=90°-(180°-2/8)=2/8-90°=70°

故答案為：70°；

(2)如圖：

：.MB=MA,

又?.,△MBC的周長是16cm,

：.AC+BC=\6cm,

:?BC=7cm.

②當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)M重合時(shí)，P8+CP的值最小，最小值是9<w.

5.解：（1）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)8的坐標(biāo)點(diǎn)為（3,-2）

8

點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)（-3,2）

故答案為（3,-2）>（-3>2）；

（2）如圖1中，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'C與x軸交于點(diǎn)。（與。重合）,

此時(shí)4D+C。最小.

：.D(0,0),

故答案為(0,0).

6.解：分別作P關(guān)于04、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N.

連接MN交04、OB交于Q、R,則△PQR符合條件.

9

連接。M、ON,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，0M=0N=0P=8,

NMON=/MOP+NNOP=2/AOB=2X30°=60°,

則△MON為等邊三角形，

:.MN=8,

VQP=QM,RN=RP,

.?.△尸。/?周長=MN=8,

7.解：四邊形E8G￡＞是菱形.

理由：；EG垂直平分BD,

:.EB=ED,GB=GD,

:.NEBD=NEDB,

,:NEBD=NDBC,

：.ZEDF^ZGBF,

在和aGFB中，

，ZEDF=ZGBF

-ZEFD=ZGFB-

,DF=BF

:.AEFD馬2GFB,

：.ED=BG,

:.BE=ED=DG=GB,

...四邊形EBG。是菱形；

(2)作EM_L8c于M,DNLBC于N,連接EC交于點(diǎn)H,此時(shí)HG+//C最小,

在RtZiEBM中，VZEMB=90°,NEBM=30°,EB=ED=4氓,

10

:.EM=^E=2瓜

'：DE//BC,EMLBC,DNLBC,

：.EM//DN,EM=DN=2瓜,MN=DE=4遍,

在RtZ^ONC中，；NDNC=90°,NDCN=45°,

：.ZNDC=ZNCD=45°,

:.DN=NC=2瓜

在RtZ\EMC中，；NEMC=90°,EM=2遙.MC=6瓜,

￡C=VEM2+MC2=4^

HG+HC=EH+HC=EC,

J.HG+HC的最小值為4J元.

8.解：(1)若NB=70°,則/M0A的度數(shù)是50°,

故答案為：50°；

(2)如圖:

①