專題2.5.1直線與圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一、直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C:(xa)2+(yb)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0,圓心C(a,b)到直線l的距離d=?,由?消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2

1

0

幾何法

d<r

d=r

d>r

代數(shù)法Δ>0

Δ=0

Δ<0

知識(shí)點(diǎn)二、圓的切線1.若點(diǎn)在圓外,則過此點(diǎn)可以作圓的兩條切線;2.若點(diǎn)在圓上,則過此點(diǎn)只能作圓的一條切線,且此點(diǎn)是切點(diǎn);3.若點(diǎn)在圓內(nèi),則過此點(diǎn)不能作圓的切線.4.過點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程的求法(1)若點(diǎn)P在圓上,求點(diǎn)P與圓心連線的斜率,若斜率存在且不為0,記為k,則切線斜率為?;若斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,則切線斜率為0.(2)若點(diǎn)P在圓外,設(shè)切線斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半徑r,解出k即

可(若僅求出一個(gè)k值,則有一條斜率不存在的切線).5.過圓上一點(diǎn)的切線僅有一條,可熟記下列結(jié)論(1)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上,則過點(diǎn)P的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓(xa)2+(yb)2=r2(r>0)上,則過點(diǎn)P的切線方程為(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=r2;(3)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)上,則過點(diǎn)P的切線方程為x0x+y0y+D·

+E·+F=0.知識(shí)點(diǎn)三、圓的弦長的方法1.交點(diǎn)法:若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)容易求出,則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.2.弦長公式:設(shè)直線l:y=kx+b與圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程代入圓的方程,消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長公式:|AB|=.(3)幾何法:圓的半徑r、圓心到弦的距離d、弦長l三者之間的關(guān)系為r2=d2+,即弦長l=知識(shí)點(diǎn)四、利用圓的方程解決最大(小)值問題的方法1.由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關(guān)

知識(shí)并結(jié)合圖形的直觀性來分析解決問題,常涉及的幾何量有:①關(guān)于x、y的一次分式形式常轉(zhuǎn)化為直線的斜率;②關(guān)于x、y的一次式常轉(zhuǎn)化為直線的截距;③關(guān)于x、y的二次式常轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離等.2.轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)解決.3.利用三角代換,若點(diǎn)P(x,y)在圓(xa)2+(yb)2=r2(r>0)上,則設(shè)?(θ為參數(shù)),代入目標(biāo)函數(shù),利用三角函數(shù)知識(shí)求最大(小)值.重難點(diǎn)題型1直線與圓的位置關(guān)系例1、（1）、（2023春·四川成都·高二成都七中校考期末）圓：與直線：的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【答案】A【分析】求出圓心坐標(biāo)與半徑，再將直線方程化為一般式，根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】圓：的圓心為，半徑，直線：即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.故選：A（2）、（2023春·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)校考期末）“”是“直線與圓相離”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)直線和圓相離求得參數(shù)a的取值范圍，比較該范圍和的關(guān)系，即可判斷出答案.【詳解】將配方，即，表示圓需滿足，所以或，其圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相離，故圓心到直線的距離，解得，結(jié)合或可得或，（）則成立推不出直線與圓相離；反之成立，故“”是“直線與圓相離”的必要不充分條件，故選：B【變式訓(xùn)練11】、（2023秋·湖南常德·高二臨澧縣第一中學(xué)?？计谀┲本€與圓的位置關(guān)系是.【答案】相交【分析】由圓的一般方程可求得圓心和半徑，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得圓心到直線距離小于半徑，由此可得結(jié)論.【詳解】由圓方程知：圓心，半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相交.故答案為：相交.【變式訓(xùn)練12】、（2023春·山西長治·高二統(tǒng)考期末）已知直線與圓存在公共點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】由圓心到直線的距離為，然后求解的范圍.【詳解】直線與圓有公共點(diǎn)等價(jià)于圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：例2、（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獔A.(1)過點(diǎn)作圓的切線，求的方程；(2)若直線方程為與圓相交于兩點(diǎn)，求.【答案】(1)或(2)【分析】（1）討論切線l斜率是否存在設(shè)方程，利用相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑列關(guān)系計(jì)算即得結(jié)果；（2）計(jì)算到直線AB的距離d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦長.【詳解】（1）圓方程可化為，則圓心，半徑為1，由，可得點(diǎn)在圓外，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，即，則圓心到直線l的距離為，解得，的方程為，即，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)與圓相切，的方程為或；（2）直線方程為，則圓心到直線的距離，直線與圓相交，【變式訓(xùn)練21】、（2022秋·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知圓和直線.(1)求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)圓C有一動(dòng)點(diǎn)P，直線l上有一動(dòng)點(diǎn)Q，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)稱求解，即可得對(duì)稱圓心，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用圓的幾何性質(zhì)即可判斷的最小值.【詳解】（1）圓整理得：，圓心，半徑設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為所以，解得則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）圓心到直線的距離P在圓上，直線l上有一動(dòng)點(diǎn)Q，根據(jù)圓的性質(zhì)可得.重難點(diǎn)題型2切線問題例3、（1）、（2023秋·全國·高二期末）過點(diǎn)引圓的切線，其方程是（

）A． B．C． D．和【答案】D【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心和半徑，分切線的斜率是否存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，半徑r＝1；過點(diǎn)引圓的切線，若切線的斜率不存在，切線的方程為x＝2，符合題意；若切線的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則有，即kx－y＋3－2k＝0，則有，解得，此時(shí)切線的方程為，即12x－5y－9＝0．綜上：切線的方程為x＝2和12x－5y－9＝0．故選：D．（2）、（2023春·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意可知點(diǎn)在圓上，結(jié)合切線性質(zhì)結(jié)合直線的點(diǎn)斜式運(yùn)算求解.【詳解】圓的圓心，∵，則點(diǎn)在圓上，即點(diǎn)為切點(diǎn)，則圓心到切點(diǎn)連線的斜率，可得切線的斜率，故切線的方程，即.故答案為：.【變式訓(xùn)練31】、（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)校考期末）由直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為.【答案】【分析】切點(diǎn)與圓心的連線垂直切線，利用勾股定理，切線段長轉(zhuǎn)化為直線上點(diǎn)與圓心連線和半徑關(guān)系，求圓心與直線上點(diǎn)距離的最小值，即可求解.【詳解】圓的圓心為，在直線上取一點(diǎn)P，過P向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為A．連接．在中，．要使最小，則應(yīng)最?。之?dāng)PC與直線垂直時(shí)，最小，其最小值為．故的最小值為．故答案為：.【變式訓(xùn)練32】、（2023秋·北京房山·高二統(tǒng)考期末）過定點(diǎn)作圓的切線．則切線的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得切線方程，【詳解】依題意可知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，即，圓的圓心為，半徑為，所以，解得或，所以切線方程為或，即或.故選：C重難點(diǎn)題型3弦長問題例4、（1）、（2023·廣東深圳·?？级＃┻^點(diǎn)且被圓所截得的弦長為的直線的方程為.【答案】【分析】首先將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，由弦長求出圓心到直線的距離，分析可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，即可得解.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，若弦長，則圓心到直線的距離，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，即，所以，解得，所以直線方程為.故答案為：（2）、（2022秋·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓的方程為，過點(diǎn)的該圓的所有弦中，最短弦的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】整理圓的方程，寫出圓心坐標(biāo)，利用圓的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)之間距離公式，結(jié)合勾股定理，可得答案.【詳解】整理為，故圓心為，半徑為，設(shè)，故當(dāng)與圓的弦垂直時(shí)，弦最短，其中，由垂徑定理得：.故選：B【變式訓(xùn)練41】、（2023秋·高一單元測(cè)試）已知圓，過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線被圓所截得的最短弦的長度為2，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】D【分析】求出圓心和半徑，由幾何關(guān)系得到當(dāng)過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與垂直時(shí)，被圓所截得的弦長最短，由垂徑定理列出方程，求出答案.【詳解】整理得，故圓心為，半徑為，當(dāng)過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與垂直時(shí)，被圓所截得的弦長最短，其中，由垂徑定理得，即，解得，故選：D【變式訓(xùn)練42】、（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）若直線截圓所得弦長，則的值為.【答案】或【分析】根據(jù)直線截圓的弦長公式計(jì)算.【詳解】圓心到直線的距離為，由得，解得或，故答案為：或重難點(diǎn)題型4最值問題例5、（1）、（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用三角形的面積公式及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】依題意，如圖所示則，，∴即時(shí)，面積最大，此時(shí)圓心到直線的距離為,,解得，又，故選：B.（2）、（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┮阎c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，若求的最大值，轉(zhuǎn)化為求的最大值，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合從而得解.【詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，若求的最大值，轉(zhuǎn)化為求的最大值，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為B，設(shè)B坐標(biāo)為，則，解得，故B，因?yàn)?，可得，?dāng)P，B，A三點(diǎn)共線，即P點(diǎn)為時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故答案為：.【變式訓(xùn)練51】、（2023春·安徽阜陽·高二安徽省太和中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為.【答案】【分析】先求得面積的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積的最大值.【詳解】圓的圓心，半徑，直線恒過定點(diǎn)，