第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理

第二節(jié)函數(shù)性質(zhì)第三節(jié)洛必達(dá)法則

第1頁第一節(jié)微分中值定理

本節(jié)主要內(nèi)容:

一.羅爾中值定理二.拉格朗日中值定理三.柯西中值定理第2頁一、羅爾中值定理

費(fèi)馬（Fermat）引理函數(shù)y=f(x)在N(x0,

)有定義，y=f

(x0)存在，f(x)

f(x0)(f(x)

f(x0))

定義3.1.1

導(dǎo)數(shù)等于零點(diǎn)稱為函數(shù)駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn))．第3頁引理直觀意義:可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)處切線平行于x

軸.第4頁

定理3.1.1（羅爾中值定理）設(shè)函數(shù)y=

f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，假如（1）函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）函數(shù)f(x)在區(qū)間兩端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)；則在（a，b）內(nèi)最少存在一個(gè)點(diǎn)a<

<b，使得f

(

)=0.比如,第5頁因?yàn)楹瘮?shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上必能取到最大值M

和最小值m,考慮兩種可能情況：

(1)若m=M,則f(x)在[a,b]上恒等于常數(shù)M(或m),因而在(a,b)內(nèi)處處有f

(x)=0，所以可取(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn)作為ξ而使得f

(ξ)=0成立。定理證實(shí)第6頁

(2)若m<M，因?yàn)?/p>

f(a)=f(b)，所以m、M不可能同時(shí)是兩端點(diǎn)函數(shù)值，即最小值m

和最大值M最少有一個(gè)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)部取得，不妨設(shè)

f(ξ)=M，ξ∈(a,b).

由條件(2)和費(fèi)馬定理推知f

(ξ)=0.第7頁

羅爾定理幾何意義：假如連續(xù)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸切線，而且兩端點(diǎn)處縱坐標(biāo)相等，那么在曲線上最少存在一點(diǎn)

，在該點(diǎn)處切線平行于x

軸(以下列圖）。第8頁

1.羅爾定理中ξ是(a,b)內(nèi)某一點(diǎn)，定理僅從理論上指出了它存在性，而沒有給出它詳細(xì)取值；

2.羅爾定理?xiàng)l件是充分非必要條件，只要三個(gè)條件均滿足，就充分確保結(jié)論成立。但假如三個(gè)條件不全滿足，則定理結(jié)論可能成立也可能不成立?？匆韵吕樱簝牲c(diǎn)說明：第9頁例連續(xù)內(nèi)可導(dǎo)連續(xù)內(nèi)可導(dǎo)第10頁例連續(xù)內(nèi)可導(dǎo)第11頁例1

驗(yàn)證羅爾中值定理對(duì)函數(shù)f(x)=x3+4x2-7x-10在區(qū)間[-1,2]上正確性，并求出

．解得令f

(x)=3x2+8x-7=0（1）

f(x)=x3+4x2-7x-10在區(qū)間[-1,2]上連續(xù)；（2）

f

(x)=3x2+8x-7在（-1,2）內(nèi)存在；（3）f(-1)=f(2)=0；所以f(x)滿足定理三個(gè)條件.則就是要找點(diǎn)，顯然有f

(ξ)=0.解第12頁例2

證實(shí)方程x5-5x+1=0有且僅有一個(gè)小于1正實(shí)根．存在性：令f(x)=x5-5x+1，則f(x)在[0,1]上連續(xù)f(0)=1，f(1)=-3，由介值定理：最少存在一點(diǎn)x0∈(0,1),使f(x0)=0，x0即為方程小于1正實(shí)根.唯一性：設(shè)另有x1∈(0,1),x1≠x0,使f(x1)=0因?yàn)閒(x)在x1，x0之間滿足羅爾定理?xiàng)l件所以最少存在一點(diǎn)ξ(在x1，x0之間),使得f

(ξ)=0但f

(x)=5x4-5<0,x∈(0,1),矛盾,所認(rèn)為唯一實(shí)根.證實(shí)第13頁例3

不求函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)導(dǎo)數(shù)，說明方程f

(x)=0有幾個(gè)實(shí)根．

函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),所以在區(qū)間[1,2],[2,3]上滿足羅爾定理?xiàng)l件,所以在區(qū)間（1,2)（2,3)內(nèi)分別最少有一實(shí)根；又f(x)=0是二次方程,至多有二個(gè)實(shí)根；所以方程f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,它們分別落在區(qū)間（1,2)

（2,3)內(nèi)．解第14頁

定理3.1.2（拉格朗日中值定理）設(shè)函數(shù)

y=f(x)滿足（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；那么在(a，b)內(nèi)最少存在一點(diǎn)

(a<

<b)，使得

f(b)-f(a)=f

(

)(b-a)或二、拉格朗日中值定理第15頁注意到,Rolle定理是Lagrange定理特殊情況。證實(shí)思想結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)法

因?yàn)樽C實(shí)這個(gè)定理，當(dāng)前只有Rolle定理可用，所以想若能結(jié)構(gòu)一個(gè)輔助函數(shù)

(x),使其滿足Rolle定理?xiàng)l件，同時(shí)想方法靠近要證實(shí)結(jié)論.第16頁則函數(shù)j(x)在區(qū)間[a

b]上滿足羅爾定理?xiàng)l件(1)(2)

又作輔助函數(shù)所以，由羅爾中值定理，在(a,b)內(nèi)最少存在一點(diǎn)

,使即

f(a)-f(b)=f

(

)(b-a)定理證實(shí)第17頁拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.

1.拉格朗日中值定理兩個(gè)條件是使結(jié)論成立充分無須要條件；

2.當(dāng)f(a)=f(b)時(shí)，拉格朗日中值定理即為羅爾中值定理；

3.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),x0,x0+

x∈(a,b)則有幾點(diǎn)說明：第18頁拉格朗日定理幾何意義：當(dāng)曲線方程滿足拉格朗日定理要求時(shí)，在區(qū)間內(nèi)最少存在一點(diǎn)

，使得該點(diǎn)切線平行于曲線兩端點(diǎn)(a,f(a))與(b,f(b))連線，其斜率為第19頁

推論1

設(shè)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，若在(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒為零，則在[a,b]上f(x)為常數(shù).

推論2

假如函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)處處相等，即f

(x)=g

(x)，則這兩個(gè)函數(shù)在(a,b)內(nèi)只相差一個(gè)常數(shù)，即f(x)-g(x)=C．第20頁

設(shè)f(x)=arcsinx+arccosx,由推論1知

f(x)=C所以例4

證實(shí)：又因?yàn)榧醋C實(shí)則f(x)在[0,1]上連續(xù)，又第21頁

設(shè)f(x)=ln(1+x),則f(x)在[0,x]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，即由于因?yàn)?<

<x，所以例5

證實(shí)：當(dāng)x>0時(shí)，所以上式變?yōu)榧醋C實(shí)第22頁

定理3.1.3（柯西中值定理）設(shè)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g

(x)在(a,b)內(nèi)恒不為零，則最少存在一點(diǎn)

∈(a,b)，使得

注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理當(dāng)g(x)=x時(shí)一個(gè)特例。三、柯西中值定理第23頁分析:問題轉(zhuǎn)化為證結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)證:

作輔助函數(shù)且第24頁使即由羅爾定理知,最少存