遼寧省丹東市第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的圖象在區(qū)間[0，1]上恰有3個(gè)最高點(diǎn)，則ω的取值范圍為（）A．[，） B．[，） C．[，） D．[4π，6π）參考答案：C【分析】根據(jù)區(qū)間[0，1]上，求出ωx+的范圍，由于在區(qū)間[0，1]上恰有3個(gè)最高點(diǎn)，建立不等式關(guān)系，求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，圖象在區(qū)間[0，1]上恰有3個(gè)最高點(diǎn)，∴+，解得：．故選C．【點(diǎn)評】本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．2.已知，則復(fù)數(shù)z=（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】解：，∴=（1+i）（2+i）=1+3i．則復(fù)數(shù)z=1﹣3i．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，則M∪N=(

)A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}參考答案：A【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；一元二次不等式的解法．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)題意先求出集合M和集合N，再求M∪N．解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故選A．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．4.將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，則所得的圖象的解析式為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.已知下圖（1）中的圖像對應(yīng)的函數(shù)為，則下圖（2）中的圖像對應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四個(gè)式子中，只可能是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.函數(shù)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若，且（﹣1）′（）＜0，若，，，則的大小關(guān)系是

（）A．B．C．D．參考答案：C7.已知a＞b，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣3＞b﹣3B．a(chǎn)c＞bcC．＜D．a(chǎn)+2＞b+3參考答案：A考點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：由a＞b，可得a﹣3＞b﹣3．即可得出．解答：解：∵a＞b，∴a﹣3＞b﹣3．故選：A．點(diǎn)評：本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8.已知向量，，若與共線.則等于（

）A．

B．

C．

D．4參考答案：A9.已知函數(shù)是偶函數(shù)，上是單調(diào)減函數(shù)，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：A10.某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則

.參考答案：2略12.平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,且，則點(diǎn)的軌跡方程是

.參考答案：x-y-1=013.已知函數(shù)若，則a=

．參考答案：或14.觀察下列算式：，

，

，，…

…

…

…若某數(shù)按上述規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“”這個(gè)數(shù)，則_______．

參考答案：15.閱讀程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間[]內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是．參考答案：[﹣2，﹣1]【分析】由程序框圖可得分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的值域，即可確定實(shí)數(shù)x的取值范圍．【解答】解：由程序框圖可得分段函數(shù)：∴令，則x∈[﹣2，﹣1]，滿足題意；故答案為：[﹣2，﹣1]16.如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，設(shè)頂點(diǎn)P（x,y）的軌跡方程是，則在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為

。參考答案：

17.設(shè)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間D上的兩個(gè)函數(shù)，若，使得|f（x0）﹣g（x0）|≤1，則稱f（x）和g（x）是D上的“接近函數(shù)”，D稱為“接近區(qū)間”；若x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|＞1，則稱f（x）和g（x）是D上的“遠(yuǎn)離函數(shù)”，D稱為“遠(yuǎn)離區(qū)間”．給出以下命題：①f（x）=x2+1與g（x）=x2+是（﹣∞，+∞）上的“接近函數(shù)”；②f（x）=x2﹣3x+4與g（x）=2x﹣3的一個(gè)“遠(yuǎn)離區(qū)間”可以是[2，3]；③f（x）=和g（x）=﹣x+b（b＞）是（﹣1，1）上的“接近函數(shù)”，則＜b≤+1；④若f（x）=+2ex與g（x）=x2+a+e2（e是自然對數(shù)的底數(shù)）是[1，+∞）上的“遠(yuǎn)離函數(shù)”，則a＞1+．其中的真命題有

．（寫出所有真命題的序號）參考答案：①③【知識點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．解析：對于①，若f（x）=x2+1與g（x）=x2+，則|f（x0）﹣g（x0）|=1恒成立，故f（x）=x2+1與g（x）=x2+是（﹣∞，+∞）上的“接近函數(shù)”；故①正確；對于②，若f（x）=x2﹣3x+4與g（x）=2x﹣3，則|f（x0）﹣g（x0）|=|x02﹣5x0+7|=|（x0﹣）2+|，當(dāng)x0∈[2，3]時(shí)，|f（x0）﹣g（x0）|≤1恒成立，故[2，3]是f（x）=x2﹣3x+4與g（x）=2x﹣3的一個(gè)“接近區(qū)間”，故②錯(cuò)誤；對于③，若f（x）=和g（x）=﹣x+b（b＞）是（﹣1，1）上的“接近函數(shù)”，則x0∈（﹣1，1）使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，即x0∈（﹣1，1）使﹣x0+b﹣≤1，即x0∈（﹣1，1）使b≤+1+x0，令h（x）=+1+x，則h′（x）=1﹣，則當(dāng)x∈（﹣，）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)；當(dāng)x∈（，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)；故當(dāng)x=時(shí)，h（x）取最大值+1，則＜b≤+1；故③正確；④若f（x）=+2ex與g（x）=x2+a+e2（e是自然對數(shù)的底數(shù)）是[1，+∞）上的“遠(yuǎn)離函數(shù)”，即?x∈[1，+∞），|+2ex﹣x2﹣a﹣e2|=|a﹣﹣2ex+x2+e2|=|（x﹣e）2+a﹣|＞1，令p（x）=（x﹣e）2+a，則p（x）在（﹣∞，e）上遞減，在（e，+∞）上遞增，∴當(dāng)x=e時(shí)，p（x）取最小值a；令q（x）=，則q′（x）=，易得q（x）在（﹣∞，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減，∴當(dāng)x=e時(shí)，p（x）取最大值；∴|a﹣|＞1，即a＞1+或a＜﹣1+．故④錯(cuò)誤；故真命題有：①③，故答案為：①③【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知中“接近函數(shù)”和“遠(yuǎn)離函數(shù)”的定義，逐一分析題目中給定的四組函數(shù)是否符號定義，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側(cè)棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且．（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

參考答案：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)M，，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，∴，在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，，且，則四邊形A1DBM為平行四邊形，，，又平面，平面，平面． 5分（Ⅱ）連接DM，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，．設(shè)面BC1D的一個(gè)法向量為，面BC1E的一個(gè)法向量為，則由得取，又由得取，則，……………11分故二面角E－BC1－D的余弦值為．……………12分19.如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點(diǎn)A。（I）求實(shí)數(shù)b的值；（11）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．參考答案：解：（I）由，（*）因?yàn)橹本€與拋物線C相切，所以解得b=-1。（II）由（I）可知，解得x=2，代入故點(diǎn)A（2，1），因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y=-1的距離，即所以圓A的方程為20.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；（2）已知點(diǎn)，直線l和曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|.參考答案：解：（1）的直角坐標(biāo)方程，的普通方程：；（2）在上，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將的參數(shù)方程代入得：，即，∴，∴.21.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，

且平面⊥底面（1）求證：⊥平面（2）求直線與底面所成角的余弦值；（3）設(shè)，求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：（1）∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD,∵平面PAD⊥底面ABCD，AB底面ABCD，底面ABCD∩平面PAD=AD，∴AB⊥平面PAD.（2）取AD的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，CF∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面BCD∴CF是PC在平面ABCD上的射影，∴∠PCF是直線PC與底面ABCD所成的角（3）設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為h，在△PBC中，易知PB=PC=又_ks5u即點(diǎn)D到平面PBC的距離為22.本小題滿分12分）

本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某