9.2用樣本估計(jì)總體9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)9.2.2總體百分位數(shù)的估計(jì)必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.頻率分布直方圖的畫法導(dǎo)思1.怎樣制作樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表,畫頻率分布直方圖?2.如何求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)?(1)本質(zhì):頻率分布表與頻率分布直方圖是對(duì)紛雜的樣本數(shù)據(jù)整理和表示的一種方法,目的是可以清晰地得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布,從而估計(jì)總體分布.(2)應(yīng)用:①數(shù)據(jù)頻數(shù)、頻率的計(jì)算;②估計(jì)總體分布.【思考】(1)用圖、表整理數(shù)據(jù)有哪些好處?提示:用表格整理數(shù)據(jù)是通過改變數(shù)據(jù)的組織方式,為數(shù)據(jù)的解釋提供新方式.用圖表示數(shù)據(jù)不僅有利于從數(shù)據(jù)中提取信息,還可以利用圖形傳遞信息.(2)同一組數(shù)據(jù),如果組距不同,得到的頻率分布直方圖會(huì)相同嗎?提示:對(duì)于同一組數(shù)據(jù),不同的組距決定不同的組數(shù),得到的頻率分布直方圖也會(huì)不同.2.總體取值規(guī)律的估計(jì)(1)從頻率分布表可以看出,樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的比例大小,例如哪組最多,哪組最少.(2)從頻率分布直方圖可以看出,樣本的觀測(cè)數(shù)據(jù)分布對(duì)稱情況,左右高低情況,數(shù)據(jù)集中情況,從左到右的變化趨勢(shì)等.【思考】頻率分布直方圖的組數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)分析有何影響?提示:當(dāng)組數(shù)少、組距大時(shí),容易從中看出數(shù)據(jù)整體的分布特點(diǎn),但由于無法看出每組內(nèi)的數(shù)據(jù)分布情況,損失了較多的原始數(shù)據(jù)信息;當(dāng)組數(shù)多、組距小時(shí),保留了較多的原始數(shù)據(jù)信息,但由于小長(zhǎng)方形較多,有時(shí)圖形會(huì)變得非常不規(guī)則,不容易看出總體數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn).3.其他統(tǒng)計(jì)圖表不同的統(tǒng)計(jì)圖在表示數(shù)據(jù)上有不同的特點(diǎn).(1)扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的_____.(2)條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的_____和_____.(3)折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的_________.不同的統(tǒng)計(jì)圖適用的數(shù)據(jù)類型也不同.條形圖適用于描述離散型的數(shù)據(jù),直方圖適用描述連續(xù)型數(shù)據(jù).比例頻數(shù)頻率變化趨勢(shì)4.百分位數(shù)(1)定義:一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有___的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有_________的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.(2)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟:第1步,按_________排列原始數(shù)據(jù).第2步,計(jì)算i=______.第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第__項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第__項(xiàng)與第______項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).p%(100-p)%從小到大n×p%ji(i+1)【思考】如何理解第25,50,75百分位數(shù)?提示:第25,50,75百分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)恰好分成四等份,因此稱為四分位數(shù).第25百分位數(shù)也叫第一四分位數(shù)或下四分位數(shù),第50百分位數(shù)即中位數(shù),第75百分位數(shù)也叫第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)決定組距和組數(shù)時(shí),組數(shù)越多越好. (

)(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率. (

)(3)頻率分布直方圖中各小矩形的面積之和可以不為1. (

)(4)一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)與第75百分位數(shù)相同. (

)提示:(1)×.應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)的多少合理確定組數(shù),不是說組數(shù)越多越好.(2)×.頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率/組距.(3)×.各小矩形的面積之和一定為1.(4)×.不同,第25百分位數(shù)是第一四分位數(shù),第75百分位數(shù)是第三四分位數(shù).2.100輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示,則時(shí)速在[60,70)km的汽車大約有 (

)

A.30輛 B.40輛 C.60輛 D.80輛【解析】選B.0.04×10×100=40(輛).3.(教材二次開發(fā):例題改編)下列四個(gè)圖中,用來表示不同品種的奶牛的平均產(chǎn)奶量最為合適的是 (

)【解析】選D.用統(tǒng)計(jì)圖表示不同品種的奶牛的平均產(chǎn)奶量,即從圖中可以比較各種數(shù)量的多少,因此“最為合適”的統(tǒng)計(jì)圖是條形統(tǒng)計(jì)圖.注意B選項(xiàng)中的圖不是規(guī)范的統(tǒng)計(jì)圖.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一頻率分布表、頻率分布直方圖(直觀想象)

角度1頻率分布表、頻率分布直方圖的畫法

【典例】某高校在2019年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組,得到的頻率分布表如下:組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[160,165)50.05第2組[165,170)①0.35第3組[170,175)30②第4組[175,180)200.20第5組[180,185]100.10合計(jì)1001.00(1)請(qǐng)先求出頻率分布表中①②處應(yīng)填寫的數(shù)據(jù),并完成如圖所示的頻率分布直方圖;

(2)為了選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績(jī)高的第3,4,5組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3,4,5組每組各應(yīng)抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試.【思路導(dǎo)引】(1)利用頻率=計(jì)算,根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)畫頻率分布直方圖.(2)利用分層隨機(jī)抽樣的方法按比例分配進(jìn)行抽取.【解析】(1)由題意可知,第2組的頻數(shù)為0.35×100=35,第3組的頻率為=0.30,故①處填35,②處填0.30.頻率分布直方圖如圖所示.(2)因?yàn)榈?,4,5組共有60名學(xué)生,所以利用分層隨機(jī)抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生,抽樣比為故第3組應(yīng)抽取30×=3(名)學(xué)生,第4組應(yīng)抽取20×=2(名)學(xué)生,第5組應(yīng)抽取10×=1(名)學(xué)生,所以第3,4,5組應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)分別為3,2,1.角度2頻率分布直方圖的應(yīng)用

【典例】某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求直方圖中x的值.(2)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?【思路導(dǎo)引】(1)利用各組頻率之和為1計(jì)算x值.(2)先計(jì)算四組的頻數(shù),再按比例分配抽取樣本.【解析】(1)x=[1-(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.005+0.0025)×20]÷20=0.0075.(2)由頻率分布直方圖知,月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的共有[(0.0125+0.0075+0.005+0.0025)×20]×100=55(戶),其中在[220,240)中的有0.0125×20×100=25(戶),因此,在所抽取的11戶居民中,月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取×11=5(戶).【解題策略】1.繪制頻率分布直方圖的注意事項(xiàng)(1)計(jì)算極差,需要找出這組數(shù)的最大值和最小值,當(dāng)數(shù)據(jù)很多時(shí),可選一個(gè)數(shù)當(dāng)參照.(2)將一批數(shù)據(jù)分組,目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律,要根據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定分組數(shù)目,一般來說,數(shù)據(jù)越多,分組越多.(3)將數(shù)據(jù)分組,決定分點(diǎn)時(shí),一般使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù),并且把第一組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn).(4)列頻率分布表時(shí),可通過逐一判斷各個(gè)數(shù)據(jù)落在哪個(gè)小組內(nèi),以“正”字確定各個(gè)小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).(5)畫頻率分布直方圖時(shí),縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值,一定不能標(biāo)成頻率.2.頻率分布直方圖的應(yīng)用中的計(jì)算問題(1)小長(zhǎng)方形的面積=組距×=頻率.(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1.(3)=頻率,此關(guān)系式的變形為=樣本量,樣本量×頻率=頻數(shù).【題組訓(xùn)練】1.為了解學(xué)生在課外活動(dòng)方面的支出情況,抽取了n個(gè)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果顯示這些學(xué)生的支出金額(單位:元)都在[10,50],其中支出金額在[30,50]的學(xué)生有117人,頻率分布直方圖如圖所示,則n= (

)

A.180 B.160 C.150 D.200【解析】選A.[30,50]對(duì)應(yīng)的頻率為1-(0.01+0.025)×10=0.65,所以n==180.2.某廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè),如圖是抽檢產(chǎn)品凈重(單位:克)的頻率分布直方圖,樣本數(shù)據(jù)分組為[76,78),[78,80),…,[84,86].若這批產(chǎn)品有120個(gè),估計(jì)其中凈重大于或等于78克且小于84克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是 (

)

A.12 B.18 C.25 D.90【解析】選D.凈重大于或等于78克且小于84克的頻率為(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以在該范圍內(nèi)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為120×0.75=90.3.為了了解學(xué)校高一年級(jí)男生的身高情況,選取一個(gè)容量為60的樣本(60名男生的身高),分組情況如表(單位:cm):分組[147.5,155.5)[155.5,163.5)[163.5,171.5)[171.5,179.5]頻數(shù)62127m頻率a0.1(1)求出表中a,m的值.(2)畫出頻率分布直方圖.【解析】(1)由題意得:6+21+27+m=60,所以m=6.a==0.45.(2)畫出頻率分布直方圖如圖所示.【補(bǔ)償訓(xùn)練】為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖),圖中從左到右各小長(zhǎng)方形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組的頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少?樣本量是多少?(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo),則該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少?【解析】(1)頻率分布直方圖是以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小的,因此第二小組的頻率為=0.08.又因?yàn)榈诙〗M的頻率=,所以樣本量==150.(2)由頻率分布直方圖可估計(jì),該校高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為:×100%=88%.類型二其他統(tǒng)計(jì)圖(直觀想象)【題組訓(xùn)練】

1.經(jīng)過中央電視臺(tái)《魅力中國(guó)城》欄目的三輪角逐,黔東南州以三輪競(jìng)演總分排名第一成為“最具人氣魅力城市”.如圖統(tǒng)計(jì)了黔東南州從2012年到2019年的旅游總?cè)藬?shù)(萬人次)的變化情況,從一個(gè)側(cè)面展示了大美黔東南的魅力所在.根據(jù)這個(gè)圖表,在下列給出的黔東南州從2012年到2019年的旅游總?cè)藬?shù)的四個(gè)判斷中,錯(cuò)誤的是 (

)A.旅游總?cè)藬?shù)逐年增加B.2019年旅游總?cè)藬?shù)超過2017、2018兩年的旅游總?cè)藬?shù)的和C.2012年到2015年旅游總?cè)藬?shù)增長(zhǎng)較慢D.從2016年起旅游總?cè)藬?shù)增長(zhǎng)加快【解析】選B.從題干圖表中看出,旅游總?cè)藬?shù)逐年增加是正確的;2012年到2015年旅游總?cè)藬?shù)增長(zhǎng)較慢,是正確的;從2016年起旅游總?cè)藬?shù)增長(zhǎng)加快是正確的;其中選項(xiàng)B明顯錯(cuò)誤.2.某教育局為了解“跑團(tuán)”每月跑步的平均路程,收集并整理了2019年1月至2019年11月期間“跑團(tuán)”每月跑步的平均路程(單位:千米)的數(shù)據(jù),繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)折線圖,下列結(jié)論正確的是 (

)A.月跑步平均路程的中位數(shù)為6月份對(duì)應(yīng)的路程B.月跑步平均路程逐月增加C.月跑步平均路程高峰期大致在8,9月份D.1月至5月的月跑步平均路程相對(duì)于6月至11月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)【解析】選D.由題干折線圖知,月跑步平均路程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的路程;月跑步平均路程不是逐月增加的;月跑步平均路程高峰期大致在10月份,故A,B,C錯(cuò).3.如圖是2019年各級(jí)學(xué)校每10萬人口中平均在校生的人數(shù)扇形統(tǒng)計(jì)圖,則下列結(jié)論正確的是 (

)

A.2019年有6%的高中生升入高等學(xué)校B.2019年全國(guó)高等學(xué)校在校生6000人C.2019年各級(jí)學(xué)校10萬人口中平均在校生人數(shù)在高等學(xué)校學(xué)生中占6%D.2019年高等學(xué)校的學(xué)生比高中階段的學(xué)生多【解析】選C.由扇形統(tǒng)計(jì)圖可以看出,2019年各級(jí)學(xué)校每10萬人口中平均在校生的人數(shù)所占的百分比分別為幼兒園占8%,高等學(xué)校占6%,高中階段占12%,初中階段占26%,小學(xué)占48%,A項(xiàng)中應(yīng)是高等學(xué)校在校學(xué)生.B項(xiàng)中6000人應(yīng)是平均數(shù),D項(xiàng)顯然錯(cuò)誤.【解題策略】條形圖、折線圖、扇形圖分別要關(guān)注的問題(1)在條形統(tǒng)計(jì)圖中,各個(gè)矩形圖的寬度沒有嚴(yán)格要求,但高度必須以數(shù)據(jù)為準(zhǔn),它直觀反映了各部分在總體中所占比重的大小.實(shí)際問題中,我們需根據(jù)需要進(jìn)行分組,橫軸上的分組越細(xì),對(duì)數(shù)據(jù)的刻畫(描述)就越精確.(2)在折線統(tǒng)計(jì)圖中,從折線的上升、下降可分析統(tǒng)計(jì)數(shù)量的增減變化情況,從陡峭程度上,可分析數(shù)據(jù)間相對(duì)增長(zhǎng)、下降的幅度.(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖表示總體的各部分之間的百分比關(guān)系,但不同總量下的扇形統(tǒng)計(jì)圖,其不同的百分比不可以作為比較的依據(jù).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示.為了了解該地區(qū)中小學(xué)生近視的形成原因,用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為 (

)

A.100,10 B.100,20C.200,10 D.200,20【解析】選D.由題得樣本容量為(3500+2000+4500)×2%=10000×2%=200,抽取的高中生人數(shù)為2000×2%=40,則近視人數(shù)為40×0.5=20.類型三百分位數(shù)(數(shù)據(jù)分析)【典例】1.貴陽軌道交通1號(hào)線2018年12月1日全線試運(yùn)營(yíng),某機(jī)車某時(shí)刻從下麥西站駛往貴陽北站的過程中,10個(gè)車站上車的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的和為(

)

A.70 B.65 C.75 D.902.某經(jīng)銷商從外地一水殖廠購(gòu)進(jìn)一批小龍蝦,并隨機(jī)抽取40只進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按重量分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖:(1)估計(jì)這批小龍蝦質(zhì)量的第10百分位數(shù)與第90百分位數(shù).(2)該經(jīng)銷商將這批小龍蝦分成三個(gè)等級(jí),如表:等級(jí)三等品二等品一等品重量/克[5,25)[25,45)[45,55]試估計(jì)這批小龍蝦劃為幾等品比較合理?【思路導(dǎo)引】1.將數(shù)據(jù)從小到大排列,確定第25百分位數(shù),第50百分位數(shù).2.第(1)問,將數(shù)據(jù)按從小到大排列,即自左到右,分別求出第10百分位數(shù)與第90百分位數(shù),第(2)問用樣本估計(jì)總體.【解析】1.選C.數(shù)據(jù)70,60,60,60,50,40,40,30,30,10是從大到小排列的,因?yàn)?0×25%=2.5,按從小到大排列后,第25百分位數(shù)是第3項(xiàng),即30;易知,第50百分位數(shù)是=45,所以第25百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的和為75.2.(1)因?yàn)?0×10%=4,所以第10百分位數(shù)為第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的平均數(shù),在[5,15)范圍內(nèi)約為=10,因?yàn)?0×90%=36,所以第90百分位數(shù)為第36項(xiàng)與第37項(xiàng)的平均數(shù),在[35,55]范圍內(nèi),約為=45,所以估計(jì)這批小龍蝦重量的第10百分位數(shù)為10,第90百分位數(shù)為45.(2)由(1)知,將這批小龍蝦重量集中在[10,45]范圍內(nèi),所以劃為二等品比較合理.【解題策略】1.求百分位數(shù)的注意事項(xiàng)(1)求百分位數(shù)時(shí),一定要將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列.(2)計(jì)算i=n×p%后要弄清i是整數(shù)還是非整數(shù).2.利用頻率分布直方圖求百分位數(shù)百分位數(shù)對(duì)應(yīng)左側(cè)小矩形的面積之和.首先確定在哪個(gè)區(qū)間,然后從左到右計(jì)算左側(cè)所有的小矩形的面積和,百分位數(shù)所在區(qū)間需按照對(duì)應(yīng)比例計(jì)算面積.【跟蹤訓(xùn)練】求1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位數(shù),75%分位數(shù),90%分位數(shù).【解析】因?yàn)閿?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為10,而且10×25%=2.5,10×75%=7.5,10×90%=9.所以該組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為3,75%分位數(shù)為8,90%分位數(shù)為=9.5.總體取值規(guī)律的估計(jì)總體百分位數(shù)的估計(jì)繪制頻率分布直方圖的注意事項(xiàng)(1)計(jì)算極差當(dāng)數(shù)據(jù)很多時(shí)，可選一個(gè)數(shù)當(dāng)參照.(2)數(shù)據(jù)越多，分組越多。(3)將數(shù)據(jù)分組決定分點(diǎn)時(shí)，一般使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)。(4)畫頻率分布直方圖時(shí)，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，.頻率分布表頻率分布直方圖百分位數(shù)核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)直觀想象：在繪制頻率分布直方圖時(shí)體現(xiàn)的是直觀想象的核心素養(yǎng)第p百分位數(shù)四分位數(shù)其他統(tǒng)計(jì)圖扇形圖折線圖條形圖計(jì)算百分位數(shù)的步驟：：將原始數(shù)據(jù)排列→計(jì)算i=n×p％→若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則取與i