第四單元圖形的認(rèn)識與三角形角、相交線與平行線1、（2022萊蕪）如圖所示，將含有30°角的三角板的直角頂點放在相互平行的兩條直線其中一條上，若∠1=35°，則∠2的度數(shù)為（）A．10°B．20°C．25°D．30°解析:如圖，延長AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°.∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°.∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°，故選C．答案:C2.（2022重慶）如圖，直線a、b、c、d,已知，直線b、c、d交于一點，若∠1=50°，則∠2等于（）°°°°解析：∵，∴a∥b∴∠2=∠1=50°.答案：B3.（2022麗水）如圖，AB∥CD，AD和BC相交于點O，∠A=20°，∠COD=100°，則∠C的度數(shù)是（）A.80°B.70°C.60°D.50°解析：根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可知∠D=20°，又因∠COD=100°，∴∠C=60°.答案：C4．（2022孝感）如圖，∠1=∠2，∠3=40°，則∠4等于（）°B.130°C.140°D.40°解析：先根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得a∥b，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠3=∠5，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠4的度數(shù)．答案：C5.（2022白銀）如圖，把一塊含有45°的直角三角形的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果∠1=20°，那么∠2的度數(shù)是（）A．15°B．20°C．25°D．30°解析：∵直尺的兩邊平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°﹣20°=25°．故選C．6．（2022泰安）如圖，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分別是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，則∠1+∠2+∠3等于（）A．90° B．180° C．210° D．270°解析：∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠4+∠5=180°，根據(jù)多邊形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°，故選B．7.（2022南昌）如圖△ABC中，∠A=90°點D在AC邊上，DE∥BC，若∠1=155°，則∠B的度數(shù)為．解析：∵∠ADE=155°,∴∠EDC=25°.又∵DE∥BC，∴∠C=∠EDC=25，在△ABC中，∠A=90°，∴∠B+∠C=90°,∴∠B=65°.答案：65°8.(2022南寧)一副三角板如圖所示放置，則∠AOB=__________________.解析:本題考查角的和差,∠AOB等于兩個特殊角的和，即45°+60°=105°.答案：105°.9．(2022德州)如圖，為抄近路踐踏草坪是一種不文明的現(xiàn)象．請你用數(shù)學(xué)知識解釋出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因：____________________．解析：根據(jù)兩點之間線段最短或三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答.答案不唯一，如兩點之間，線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊10.（2022河南）將一副直角三角板和如圖放置（其中），使點落在邊上，且，則的度數(shù)為解析：∵ED∥BC∴∠DEC=∠ACB=30°∴∠CEF=45°-30°=15°.答案：15二、三角形與全等三角形1、（2022寧波）如果三角形的兩條邊分別為4和6，那么連結(jié)該三角形三邊中點所得的周長可能是下列數(shù)據(jù)中的（）A．6B．8C．10D．解析：本題依據(jù)三角形三邊關(guān)系，可求第三邊大于2小于10，原三角形的周長大于14小于20，連接中點的三角形周長是原三角形周長的一半，那么新三角形的周長應(yīng)大于7而小于10．答案：B2．(2022宜昌)下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（），2，6，2，4C解析：根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊來判斷。答案：D3．(2022武漢)已知△ABC,AB=AC，∠A=36°，BD是AC邊上的高，則∠DBC的度數(shù)是（）。A．18°B．24°C．30°D．36°解析：∵AB=AC，∠A=36°∴∠C=72°.∵BD是AC邊上的高,∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-72°=18°.答案：A4.(2022鄂州)一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則∠的度數(shù)是（）A．165° B．120°C．150° D．135°解析：根據(jù)外角和定理及平角的定義，利用三角板中的特殊角即可解答。答案：A5.（2022安順）如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC解析：求出AF=CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可.答案：B6.（2022郴州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°解析：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．答案：D7.（2022巴中）如圖，已知點B、C、F、E在同一直線上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件，這個條件可以是．（只需寫出一個）解析：可選擇添加條件后，能用SAS進(jìn)行全等的判定，也可以選擇AAS進(jìn)行添加.答案：CA=FD8.(2022上海)當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的“特征角”為100°，那么這個“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為__________．解析：由“特征三角形”定義可知=50°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的第三個角為：30°，∴特征三角形的最小內(nèi)角的度數(shù)為30°.答案：30°9.（2022義烏）如圖，AD⊥BC于點D，D為BC的中點，連結(jié)AB，∠ABC的平分線交AD于點O，連結(jié)OC，若∠AOC=125°，則∠ABC=.解析：根據(jù)外角可求出∠ODC=55°,又∵OD垂直平分BC,∴∠OBC=∠OCB=35°,∵BO平分∠ABC,∴∠ABC=70°答案：70°10.(2022長沙)如圖，BD是∠ABC的平分線，P是BD上的一點，PE⊥BA于點E，PE=4cm，則點P到邊BC的距離為_______cm.解析：根據(jù)角平分線上的點到角兩邊距離相等可得。答案：411.（2022珠海）如圖，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求證：BC=DC．證明：∵∠BCE=∠DCA，∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即∠ACB=∠ECD，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴BC=DC．12、（2022懷化）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的頂點D地邊AC上，點E、F在邊AB上，點G在邊BC上．求證：△ADE≌△BGF；證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B=∠A=45°，∵四邊形DEFG是正方形，∴∠BFG=∠AED=90°，故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，∵在△ADE與△BGF中，，∴△ADE≌△BGF（ASA）；ABCABCDE13.（2022荊門）如圖，在ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上.⑴求證：BE=CE；⑵若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC,垂足為F，∠BAC=45°，原題設(shè)其它條件不變.求證：AEF≌BCF.證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點CEABDCEABDF在ABE和ACE中，∵AB=AC,∠BAE=∠EAC,AE=AE∴ABE≌ACE∴BE=CE(2)∵∠BAC=45°,BF⊥AF∴ABF為等腰直角三角形，∴AF=BF,由（1）知AD⊥BC∴∠EAF=∠CBF]在AEF和BCF中,AF=BF,∠AFE＝∠BFC=90°∠EAF=∠CBF∴AEF≌BCF三、等腰三角形與直角三角形1．（2022畢節(jié)）已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為8，則這個等腰三角形的周長為（）A.16B.20或16C.20D.12解析：當(dāng)4為腰長，則三邊為：4、4和8，構(gòu)不成三角形，舍去；當(dāng)8為腰長，則三邊為：4、8和8，可以構(gòu)成三角形，周長為20.答案：C2．（2022衢州）如圖，將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的矩形紙帶邊沿上，另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，則三角板最大邊的長為（）30°A．3cmB．6cmC．3cmD．30°解析：直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊一半，故三角板的直角邊長是6，再利用勾股定理可得斜邊長為6。答案：D3．（2022佛山）如圖，若∠A=60°，AC=20m，則BC大約是(結(jié)果精確到0.1m)()A．34.64mB．34.6mC．28.3mD．17.3m解析：首先計算出∠B的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AB=40m，再利用勾股定理計算出BC長即可。答案：B4.（2022萊蕪）如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，N為AC的三等分點，三角形邊上的動點M從點A出發(fā)，沿A→B→C的方向運(yùn)動，到達(dá)點C時停止．設(shè)點M運(yùn)動的路程為x，MN2=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）ABCD解析：∵等邊三角形ABC的邊長為3，N為AC的三等分點，∴AN=1．∴當(dāng)點M位于點A處時，x=0，y=1．①當(dāng)動點M從A點出發(fā)到AM=1的過程中，y隨x的增大而減小，故排除D；②當(dāng)動點M到達(dá)C點時，x=6，y=3﹣1=2，即此時y的值與點M在點A處時的值不相等．故排除A、C，故選B．5.（2022黔西南州）一直角三角形的兩邊長分別為3和4．則第三邊的長為（）A．5B．C．D．5或解析：當(dāng)兩邊均為直角邊時，由勾股定理得，第三邊為5;當(dāng)4為斜邊時，由勾股定理得，第三邊為.答案：D6.（2022萊蕪）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（1，），M為坐標(biāo)軸上一點，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數(shù)為（）A．4B．5C．6D．解析：如圖，滿足條件的點M的個數(shù)為6．答案：C7.（2022濱州）如圖，等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD、BD，則下列結(jié)論：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四邊形ACED是菱形．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 解析：△ABC、△DCE是等邊三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，∴∠ACD=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AD=AC=BC，故①正確；由①可得AD=BC，∵AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴BD、AC互相平分，故②正確；由①可得AD=AC=CE=DE，故四邊形ACED是菱形，即③正確．綜上可得①②③正確，共3個．答案：D8.（2022深圳）如圖，已知，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角△ABC的三個項點分別在這三條平行直線上，則的值是（）A.B.C.D.解析：分別過點A，B作易得設(shè)平行線間距離為d＝1，CE＝BF＝1，AE＝CF＝2，AC＝BC＝，AB＝，則答案：D9.（2022欽州）如圖，圖1、圖2、圖3分別表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路線圖（箭頭表示行進(jìn)的方向）．其中E為AB的中點，AH＞HB，判斷三人行進(jìn)路線長度的大小關(guān)系為（）A．甲＜乙＜丙B．乙＜丙＜甲C．丙＜乙＜甲D．甲=乙=丙解析：圖1中，甲走的路線長是AC+BC的長度；延長ED和BF交于C，如圖2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路線長是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的長；延長AG和BK交于C，如圖3，與以上證明過程類似GH=CK，CG=HK，即丙走的路線長是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的長；即甲=乙=丙，故選D．10.（2022鄂州）著名畫家達(dá)芬奇不僅畫藝超群，同時還是一個數(shù)學(xué)家、發(fā)明家．他曾經(jīng)設(shè)計過一種圓規(guī)如圖所示，有兩個互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計），一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內(nèi)自由滑動，將筆插入位于木棒中點P處的小孔中，隨著木棒的滑動就可以畫出一個圓來．若AB=20cm，則畫出的圓的半徑為cm．解析：連接OP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OP的長，畫出的圓的半徑就是OP長．答案：1011.（2022黔西南）如圖，已知是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=度.解析：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°.∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°.∵DF=DE，∴∠E=15°．答案：1512．（2022聊城）如圖，在等邊△ABC中，AB=6，D是BC的中點，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，那么線段DE的長度為．解析：首先，利用等邊三角形的性質(zhì)求得AD=3；然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)推知△ADE為等邊三角形，則DE=AD．答案：3．13.（2022衢州）小芳同學(xué)有兩根長度為4cm、10cm的木棒，她想釘一個三角形相框，桌上有五根木棒供她選擇（如圖所示），從中任選一根，能釘成三角形相框的概率是．解析：∵小芳同學(xué)有兩根長度為4cm、10cm的木棒，∴桌上有五根木棒供她選擇（如圖所示），從中任選一根，能釘成三角形相框的有：10cm，12cm長的木棒，∴從中任選一根，能釘成三角形相框的概率是：．答案：14.（2022鄂州）如圖，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，此時線段A′B′與BO的交點E為BO的中點，則線段B′E的長度為．解析：利用勾股定