求解海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的幾種Sturm變換方法（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）

求解海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的幾種Sturm變換方法基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50179024）．求解海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的幾種Sturm變換方法（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50179024）．作者簡(jiǎn)介：葉春生，1976~，男，博士，講師．主要從事物理海洋學(xué)及水力學(xué)的研究．Email:smileyshark@sina;Tel葉春生1蔣晶晶1沈國(guó)光2（1.鄭州大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，鄭州，450001；2.天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津，300072）摘要：海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的求解是研究海洋內(nèi)波的基礎(chǔ)，利用Sturm變換求解垂向結(jié)構(gòu)是一種行之有效的方法。首先，分析了二階線性變系數(shù)常微分特征值方程轉(zhuǎn)化為Sturm-Liouville標(biāo)準(zhǔn)型的一般方法。其次，利用一般方法，給出了將海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型的一次Sturm變換及其標(biāo)準(zhǔn)型。隨后，給出了另外兩種形式的一次Sturm變換及其標(biāo)準(zhǔn)型。然后，給出了二次Sturm變換的方法及其標(biāo)準(zhǔn)型。通過Sturm-Liouville理論的研究，獲得了用于海洋內(nèi)波研究的四種形式的Sturm變換，以及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)型。一次Sturm變換的三種形式可用于低頻內(nèi)波的求解，二次Sturm變換的形式可用于高頻內(nèi)波的求解。根據(jù)Sturm-Liouville理論，各種形式標(biāo)準(zhǔn)型的數(shù)值解構(gòu)成Hilbert空間，從而實(shí)測(cè)海洋內(nèi)波數(shù)據(jù)可以表示成解向量的廣義Fourier級(jí)數(shù)。關(guān)鍵詞：海洋內(nèi)波；垂向結(jié)構(gòu)；特征值方程；Sturm-Liouville標(biāo)準(zhǔn)型；Sturm變換；低頻內(nèi)波；高頻內(nèi)波；廣義Fourier級(jí)數(shù)中圖分類號(hào):O35312文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:ASeveralMethodsofSturmTransformationinSolvingtheVerticalStructureofOceanInternalWavesYeChunsheng1JiangJingjing1ShenGuoguang2（1.ZhengzhouUniversity,SchoolofWaterConservancyandEnvironmentEngineering,Zhengzhou450001;2.TianjinUniversity,SchoolofCivilEngineering,Tianjin,300072）Abstract:It’sabasisofsolvingtheverticalstructuretostudytheoceaninternalwaves,andSturmtransformationisaneffectivemethodinuse.First,itanalysesthegeneralmethodofhowtotransferasecondorderordinarydifferentialeigenvalueequationwithvariablecoefficientsintoSturm-Liouvillestandardtype.Second,applyingthegeneralmethod,itgivesone-timeSturmtransformationwhichisusedtotransfercontrolequationofinternalwavesintoitsstandardtype.Third,itgivesanothertwotypesofSturmtransformationandtheirstandardtypesrespectively.Later,itgivestwo-timeSturmtransformationanditsrelativestandardtype.ThroughthestudyofSturm-Liouvilletheory,itobtainsfourtypesofSturmtransformationandgivestheirstandardtypesrespectively.Threetypesofone-timeSturmtransformationcouldbeusedinsolvinglowerfrequencyinternalwaves,whilethetypeoftwo-timeSturmtransformationcouldbeusedinsolvinghigherfrequencyones.AccordingtoSturm-Liouvilletheory,numericalresultsofeachstandardtypeofverticalstructurecomposeHilbertspace,hencefielddataofoceaninternalwavescouldbeexpandintogeneralFourierseriesbasedonsolutionvectors.KeyWords:OceanInternalWaves;VerticalStructure;EigenvalueEquation;Sturm-LiouvilleStandardForms;Sturmtransformation;LowerFrequencyInternalWaves;HigherFrequencyInternalWaves;GeneralFourierSeriesSturm—Liouville理論基礎(chǔ)通常，二階線性變系數(shù)常微分特征值方程可以寫為如下形式（1）式中，。由數(shù)理方程可知，對(duì)于任意一個(gè)二階線性變系數(shù)常微分特征值方程，乘以適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)后總可以化為下面的形式[1]（2）上式稱為Sturm-Liouville方程，以下簡(jiǎn)記為SL。為自變量，稱為權(quán)重函數(shù)。為與密度函數(shù)區(qū)分，此處的權(quán)重函數(shù)記為，與文獻(xiàn)[1]有所不同。若令，則（2）式變?yōu)椋?）這是特殊情況下的SL方程，與（2）式相比，（3）式不存在未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。SL方程又可寫成如下形式（4）微分算符為（5）時(shí)，若且僅在有限個(gè)點(diǎn)上成立，則有如下結(jié)論：存在可數(shù)多個(gè)實(shí)的特征值，以及與特征值相對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)系，；所有特征值非負(fù)，即；特征函數(shù)系是關(guān)于權(quán)函數(shù)的完全正交系，即：（6）若在上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)及分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且在邊界上是第一、第二、三類齊次邊界條件或自然邊界條件，則關(guān)于的廣義Fourier級(jí)數(shù)在上絕對(duì)且一致收斂于。其中，各項(xiàng)的Fourier系數(shù)由下式?jīng)Q定 （7）海洋內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)[2]海洋內(nèi)波是發(fā)生在密度穩(wěn)定層化的海水內(nèi)部的一種波動(dòng)，其最大振幅出現(xiàn)在海洋內(nèi)部，波動(dòng)頻率介于慣性頻率和浮力頻率之間，其恢復(fù)力在頻率較高時(shí)主要是重力與浮力的合力。海洋內(nèi)波與表面波最顯著的區(qū)別在于內(nèi)波最大的振幅發(fā)生在海面以下，存在垂向波數(shù)，且內(nèi)波的控制方程決定了在其傳播的深度范圍內(nèi)，會(huì)有不同的內(nèi)波模態(tài)。內(nèi)波控制方程整理簡(jiǎn)化后為如下形式（8）式中：為海洋內(nèi)波垂向速度幅值，深度的函數(shù)；、分別為關(guān)于深度的一階、二階導(dǎo)數(shù)；為浮力頻率，深度的函數(shù)，可表示為；為重力加速度；為海洋內(nèi)波的圓頻率；為海洋內(nèi)波的水平波數(shù)；為地轉(zhuǎn)慣性頻率。（8）式的特征方程為（9）其判別式為（10）對(duì)于實(shí)際海洋，是個(gè)小量，可以不予考慮。由于地轉(zhuǎn)頻率相對(duì)于海洋內(nèi)波圓頻率小得多，亦可以忽略不計(jì)。從而，判別式的符號(hào)完全由與的大小關(guān)系決定。判別式的正負(fù)決定了解的特性，即在垂向上是否存在波動(dòng)。典型的海洋密度分層與浮力頻率分布如圖1所示[3]。--HZXNZ00G2G1圖1典型海洋密度及浮力頻率分布示意圖Fig.1DensityandBluntfrequencydistributionoftypicaloceanareas圖1中，、是選定的內(nèi)波圓頻率與浮力頻率曲線的兩個(gè)交點(diǎn)。設(shè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為、。由于內(nèi)波圓頻率不可能比來(lái)得更大，僅當(dāng)時(shí)，才可能有內(nèi)波的存在。由實(shí)際海洋浮力頻率的分布特性，決定了某一圓頻率為的內(nèi)波只能在一定的深度范圍內(nèi)傳播，即存在波導(dǎo)，內(nèi)波的傳播限于波導(dǎo)內(nèi)而不會(huì)穿越。從圖1中可以看到，圓頻率為的內(nèi)波僅存在于與的兩個(gè)交點(diǎn)、所限定的區(qū)間內(nèi)。海洋內(nèi)波控制方程為二階線性變系數(shù)常微分特征值方程，因此可以歸結(jié)為SL問題?？紤]到某一頻率的內(nèi)波，在整個(gè)水深范圍內(nèi)方程具有分層特性，可以利用兩次變換及一般二階方程的通用變換方法，將內(nèi)波控制方程轉(zhuǎn)化為SL標(biāo)準(zhǔn)型。獲取SL標(biāo)準(zhǔn)型的幾種方法獲取SL標(biāo)準(zhǔn)型的一般方法獲取SL標(biāo)準(zhǔn)型的一般方法，不妨稱之為一次Sturm變換。設(shè)，簡(jiǎn)記為，則（11）（12）將微分算符（5）式代入（4）式有（13）將代入原始微分方程（1）整理可得（14）比較（13）、（14）兩式得（15）方程組中，、、和是未知函數(shù)。由該方程組的前兩式可得（16）對(duì)（16）式兩邊同時(shí)積分得（17）求得之后，分別代入（15）式中的一、三、四式，相應(yīng)地可以求解、和。對(duì)于任意二階線性變系數(shù)常微分特征值方程，只須令（18）即可將原方程轉(zhuǎn)化為形如的SL標(biāo)準(zhǔn)型。海洋內(nèi)波控制方程的一次Sturm變換對(duì)于海洋內(nèi)波問題，其控制方程為（8）式。顯然，該式屬于自變量為的二階線性變系數(shù)常微分特征值方程。比較（1）式可得，，，注意到，由一次Sturm變換可得（19）從而有（20）（21）將（20）、（21）兩式代入（8）式整理可得（22）與（13）式相比可知（23）于是，（22）式可以整理為（24）由公式（4）可知，上式為SL標(biāo)準(zhǔn)型。數(shù)值求解上式，需要給出的邊界條件。的邊界條件可以由變換（19）式及下文的邊界條件給出。一次Sturm變換的第二種形式[3]在（8）式兩邊同時(shí)乘以密度函數(shù)，整理后不難得到（25） 顯然，上式為SL標(biāo)準(zhǔn)型，未知量以而不是來(lái)表述。這一點(diǎn)具有較為重要的實(shí)用價(jià)值，因?yàn)閺男问缴峡矗?5）式比（24）式簡(jiǎn)單。（24）、（25）兩式為一次Sturm變換之后的海洋內(nèi)波控制方程，但是僅對(duì)于低頻內(nèi)波的求解有實(shí)際意義，下面通過正交性的證明來(lái)說(shuō)明這個(gè)問題。解函數(shù)正交性的證明[4]以（25）式為例。設(shè)固有函數(shù)和分別滿足方程（25）式，即（26）（27）將式（26）×、（27）×，相減可得（28）對(duì)（28）式從到積分得（29）所以有（30）參照?qǐng)D1，對(duì)于低頻海洋內(nèi)波，表面邊界條件可以采用剛蓋近似，即（31）在海底，由于水質(zhì)點(diǎn)不可穿越，邊界條件可以表述為（32）將（31）、（32）兩式代入（30）式右端，不難得到（30）式右端為零，故（33）由SL理論，當(dāng)時(shí)，，所以有（34）因此，SL型方程（25）式，其解函數(shù)關(guān)于權(quán)函數(shù)是正交的。通過證明過程可知，低頻內(nèi)波滿足邊界條件（31）式和（32）式，此時(shí)（25）式才具有實(shí)用價(jià)值。當(dāng)時(shí)，將式（26）×得（35）從到積分得（36）由（31）式和（32）式，不難知道上式右端第一項(xiàng)為0。由于第二項(xiàng)被積函數(shù)非負(fù)，并且存在內(nèi)波的區(qū)域滿足，由（36）式可得（37）上式說(shuō)明，對(duì)于（25）式，其特征值。一次Sturm變換的第三種形式[5]根據(jù)SL理論，對(duì)SL標(biāo)準(zhǔn)型方程，如果，此時(shí)一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零。由（3）式的導(dǎo)出及其描述，對(duì)于海洋內(nèi)波的控制方程，可以尋求某種變換，如果一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為零，則獲得的方程為SL標(biāo)準(zhǔn)型。不妨設(shè)，則（38）（39）將式（38）、（39）代入內(nèi)波控制方程（8）式，不難得到一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，令其等于零可得（40）將代入上式，兩邊同時(shí)積分可得（41）因此，變換可以取為，將其代入（8）式可得（42）式中，，該式即欲求的SL標(biāo)準(zhǔn)型。獲取SL標(biāo)準(zhǔn)型的兩次Sturm變換[3][6]一次Sturm變換利用上述一次Sturm變換的另一種形式，得到（42）式。二次Sturm變換整理（42）式可得（43）參照?qǐng)D1，對(duì)于分布而言，在整個(gè)坐標(biāo)軸上，將其分成上、中、下三個(gè)區(qū)域，分別記為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)。由分布知，在Ⅰ、Ⅲ區(qū)，；在Ⅱ區(qū)，。故（43）式是對(duì)應(yīng)的Ⅰ、Ⅲ區(qū)Sturm-liouville微分方程；在Ⅱ區(qū)，因?yàn)?lt;0，所以對(duì)應(yīng)的SL型微分方程應(yīng)為下式（44）因?yàn)閮H當(dāng)時(shí)，才可能有內(nèi)波的存在。以下討論將內(nèi)波方程在Ⅱ區(qū)轉(zhuǎn)化為SL標(biāo)準(zhǔn)型的情形。由數(shù)理方程，對(duì)于Ⅱ區(qū)的微分方程（44）式，如果設(shè)，并做第二次Sturm變換，則變換的結(jié)果仍為SL標(biāo)準(zhǔn)型[6]。由變換關(guān)系，不難求得（45）對(duì)二次Sturm變換求一階導(dǎo)數(shù)可得（46）對(duì)（46）式求二階導(dǎo)數(shù)可得（47）考慮到，將（46）、（47）式整理可得（48）（49）下面計(jì)算項(xiàng)。由（48）、（49）式消去可得（50）從而，（51）將（51）式代入（44）式，將替換成，等式兩邊再同時(shí)乘以，整理可得（52）上式便是海洋內(nèi)波控制方程在Ⅱ區(qū)時(shí)的SL標(biāo)準(zhǔn)型。邊界條件由圖1可以看出，在、點(diǎn)處，有，即，故不難得出如下邊界條件（53）（54）需要提到的一點(diǎn)是，當(dāng)內(nèi)波的圓頻率較低的時(shí)候（如半日潮頻），可以預(yù)見理論上的與兩點(diǎn)會(huì)超出水深范圍，此時(shí)內(nèi)波存在的區(qū)間為，而不是。菲利普斯曾經(jīng)就該問題提出過一個(gè)判別準(zhǔn)則[7]，即如果下式成立 （55）則剛蓋條件仍可以使用。在水面，可以驗(yàn)證該式是可以得到滿足的。從而在兩次變換之后，仍滿足齊次邊界條件。解函數(shù)的正交性及一個(gè)重要結(jié)論類似于一般通用變換方法中正交性的證明，對(duì)于二次Sturm變換，正交性表示為（56）將二次Sturm變換代入（56）式得（57）由此可見，（56）、（57）兩式是等價(jià)的。由于（57）式僅適用于低頻海洋內(nèi)波的求解，而（56）式對(duì)于求解波導(dǎo)內(nèi)的高頻內(nèi)波也是可行的，因此前者更具有普遍意義。結(jié)論以上給出了求解海洋內(nèi)波控制方程的四種Sturm變換方法。利用Sturm變換，可以求解海洋內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)，具體的數(shù)值解過可以參考文獻(xiàn)[3、6]，此處不再給出數(shù)值結(jié)果。通過理論分析，可以得到如下一些結(jié)論：文中一次Sturm變換的三種形式，以及兩次Sturm變換，都可以將海洋內(nèi)波控制方程轉(zhuǎn)化為SL標(biāo)準(zhǔn)型；由SL方程的性質(zhì)，其解向量構(gòu)成完備的Hilbert內(nèi)積空間，從而實(shí)際測(cè)量的海洋內(nèi)波可以表示成解向量的廣義Fourier級(jí)數(shù)；由一般二階線性變系數(shù)常微分特征值方程的通用變換方法給出的一次Sturm變換，以及另外兩種形式的Sturm變換，僅適用于低頻海洋內(nèi)波的情形，即全水深范圍內(nèi)存在海洋內(nèi)波的情形；采用兩次Sturm變換的方法，可以獲得波導(dǎo)處的邊界條件，從而可以僅針對(duì)波導(dǎo)區(qū)域求解具有垂向波動(dòng)性質(zhì)的海洋內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)。根據(jù)各層的邊界銜接條件，進(jìn)而給出全水深的結(jié)果。參考文獻(xiàn)吳崇試.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：北京大學(xué)出版社，2004.WuChongshi.MethodsofMathematicalPhysics[M].Beijing:BeijingUniversityPress,2004.方欣華，杜濤.海洋內(nèi)波基礎(chǔ)和中國(guó)海內(nèi)波[M].青島：中國(guó)海洋大學(xué)出版社，2004.FangXinhua,DuTao.FundamentalsofOceanicInternalWavesandInternalWavesintheChinaSeas[M].Qingdao:OceanUniversityofChinaPress,2004.葉春生，沈國(guó)光.海洋內(nèi)波的特性和內(nèi)波荷載[D].天津大學(xué)博士學(xué)位論文，2004.YeChunsheng,ShenGuoguang.CharactersofInternalWavesanditsLoad[D].Tianjin,2004.嚴(yán)鎮(zhèn)軍.數(shù)學(xué)物理方程[M].合肥：中國(guó)科技大學(xué)出版社，2005.YanZhenjun.Equationsofmathematicalphysics[M].Hefei:TechnologyUniversityofChinaPress,2005.徐肇廷.海洋內(nèi)波動(dòng)力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，1999.XuZhaoting.DynamicsofOceanInternalWaves[M].Beijing:SciencePress,1999.葉春生，沈國(guó)光.內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的分段求解方法[J].天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，37（12）：1041-1045.YeChunsheng,ShenGuoguang.ASubsectionSolutiontotheVerticalStructureofInternalWaves[J].JournalofTianjinUniversity,2004,37(12):1041-1045.O.M.菲利普斯.上層海洋動(dòng)力學(xué)[M].徐德倫，李心銘譯.北京：科學(xué)出版社，1983.PhillipsO.M.TheDynamicsoftheUpperOcean[M].XuDelun,LiXinmingTrans.Beijing:SciencePress,1983.由遞推公式求通項(xiàng)公式的幾種方法an+1=an+f（n）型累加法:an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+a1=f（n-1）+f（n-2）+…f（1）+a1例1已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an+1=an+2n（n∈N*）,求an解:an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+a1=2n-1+2n-2+…+21+1=2n-1（n∈N*）2、型累積法:所以例2:已知數(shù)列｛an｝滿足,求解:=3．型（p,q為常數(shù)）方法：（1），再根據(jù)等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)求.(2)再用累加法求.(3),先用累加法求再求例3．已知的首項(xiàng)（a為常數(shù)），，求解設(shè)，則為公比為2的等比數(shù)列。4．型（p為常數(shù)）方法：變形得，則可用累加法求出，由此求得.例4．已知滿足，求解為等差數(shù)列。5.型（p,q為常數(shù)）方法：待定糸數(shù)法設(shè)構(gòu)造等比數(shù)列例5．?dāng)?shù)列中，且，求.一階數(shù)列的一般求法——轉(zhuǎn)換法對(duì)于一般的一階數(shù)列，其求法具有一般式，形如或者等等，都可以通過變式求出其通項(xiàng)公式出來(lái)。欲知其通項(xiàng)公式的一般求法還需要從最簡(jiǎn)單的一階等差數(shù)列開始；下面我就我就告訴大家怎樣運(yùn)用一階等差數(shù)列來(lái)求一般的一階數(shù)列。對(duì)于簡(jiǎn)單的一節(jié)數(shù)列題目如；題一，數(shù)列滿足為已知道的表達(dá)式，試求的表達(dá)式。解：由題目條件滿足所以有：……然后兩邊各自疊加，又，所以有由題一我們知道了一階數(shù)列之中最簡(jiǎn)單的形式求和，下面我就一般的一階數(shù)列求和進(jìn)行分類討論。已知數(shù)列滿足，為已知關(guān)于n的函數(shù)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：由滿足，則定義那么可變成為：所以有……然后左右兩邊各自疊加，又由可得；最后有：題二，已知數(shù)列滿足，為已知函數(shù)，試求的表達(dá)式。解：由數(shù)列滿足，則定義那么可變式為:所以有……又經(jīng)等式兩邊各自相加可得所以有：題三，已知數(shù)列滿足，為已知函數(shù)，試求的通項(xiàng)表達(dá)式。解：由題三，知道數(shù)列滿足并定義；則數(shù)列的遞推式可變成；所以有又由數(shù)列的一階遞推式的簡(jiǎn)單求法?？芍杂?；以上三個(gè)通項(xiàng)式子就是我們所要求的一般的一階數(shù)列通向式的表達(dá)式。由這三個(gè)數(shù)列的求通方法我們知道它們?cè)诮忸}的