習(xí)題3.1參考答案1.用初等行變換，將下列矩陣化為行階梯形和行最簡(jiǎn)階梯形。（1）解：行階梯形為：行最簡(jiǎn)階梯形為：（2）解：行階梯形為：行最簡(jiǎn)階梯形為：（3）解：行階梯形為：行最簡(jiǎn)階梯形為：（4）解：行階梯形為：行最簡(jiǎn)階梯形為：2.把下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。（1）解：（2）解：標(biāo)準(zhǔn)形為：（3）解：（4）解：3.計(jì)算下列矩陣：（1）解：（2）解：（3）解：4.用初等變換法判斷下列矩陣是否可逆，如果可逆，求其逆矩陣。（1）解：由上式可知矩陣可逆，其逆為：（2）解：由上式可知矩陣可逆，其逆為：（3）解：由上式可知矩陣可逆，其逆為：5.利用初等變換求解下列矩陣方程：（1）設(shè)求使得成立。解：由題意可知故可得解為：（2）設(shè)求使得成立。解：由題意可知，又可得解為：（3）設(shè)求解：因?yàn)樗杂?.設(shè)矩陣求矩陣使得成立,其中為三階單位矩陣。解：因?yàn)椋杂杏忠驗(yàn)榫仃囁约?.將可逆矩陣分解為初等矩陣的乘積。解：即故8.求矩陣的逆矩陣。解：9.設(shè)求可逆矩陣使為矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。解：令則習(xí)題3.2參考答案1.求下列矩陣的秩，并求出一個(gè)最高階非零子式：（1）解：故秩為三。（2）解：故秩為三。（3）解：故秩為二。（4）解：故秩為四。2.已知矩陣的秩為求的值，其中解：又因?yàn)榫仃嚨闹葹樗?.對(duì)于的不同取值，討論矩陣的秩，其中（1）解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（3）解：所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（4）解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，4.設(shè)是矩陣，且的秩為而求解：因?yàn)樗怨示仃嚍榭赡婢仃?。又因?yàn)槭蔷仃嚕业闹葹闉榭赡婢仃?，所?.設(shè)矩陣是秩為的階方陣，證明：（1）（2）解：略。6.設(shè)矩陣是二階方陣，且矩陣證明：證明：因?yàn)榫仃囀嵌A方陣，且所以又因?yàn)樗匀粲煽傻门c題設(shè)矛盾，故即同理可得7.設(shè)階方陣滿足且可逆，證明：證明：因?yàn)橛忠驗(yàn)榭赡妫杂忠驗(yàn)橛忠驗(yàn)榭赡?，所以所以有?xí)題3.3參考答案1.用初等變換法求解下列齊次線性方程組：（1）解：則對(duì)應(yīng)的同解方程為：通解為：為任意常數(shù)。（2）解：所以對(duì)應(yīng)的同解方程的解為：（3）解：則對(duì)應(yīng)的同解方程為：通解為：為任意常數(shù)。（4）解：則對(duì)應(yīng)的同解方程為：通解為：為任意常數(shù)。2.用初等變換法求解下列非齊次線性方程組：（1）解：所以對(duì)應(yīng)的同解方程的解為：（2）解：所以該方程組無解。（3）解：所以對(duì)應(yīng)的同解方程的解為：（4）解：所以該方程組無解。3.給定如下線性方程組：當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組無解、有唯一解、有無窮多組解，在有解時(shí)，求出其解。解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組有唯一解，其解為：當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組無解。當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組有無窮解。則對(duì)應(yīng)的同解方程為：通解為：為任意常數(shù)。4.取何值時(shí)，下列非齊次線性方程組有唯一解、無解、無窮多組解，并在無窮多組解時(shí)，求出其解。（1）（2）解：（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組有無窮解，此時(shí)方程組的解為：為任意常數(shù)。當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組無解，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組有唯一解。（2）當(dāng)或者時(shí)，此時(shí)方程組無解，當(dāng)時(shí)，則對(duì)應(yīng)的同解方程為：通解為：為任意常數(shù)。當(dāng)時(shí)，則