第2課時(shí)離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念．(重點(diǎn))2．掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差．(重點(diǎn))3．會(huì)用方差解決一些實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))1．通過(guò)學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助方差的性質(zhì)及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差解題，提高數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．山東省要從甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員中選出一人參加第十四屆全運(yùn)會(huì)，根據(jù)以往數(shù)據(jù)，這兩名運(yùn)動(dòng)員射擊環(huán)數(shù)分布列如下所示．甲的環(huán)數(shù)8910P乙的環(huán)數(shù)8910P問(wèn)題：如果從平均水平和發(fā)揮穩(wěn)定性角度分析，你認(rèn)為派誰(shuí)參加全運(yùn)會(huì)更好一些？[提示]甲參加全運(yùn)會(huì)更好一些．知識(shí)點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義：如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示．Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn則D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))[xi－E(X)]2pi，稱為離散型隨機(jī)變量X的方差；eq\r(DX)稱為離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)意義：方差和標(biāo)準(zhǔn)差均刻畫一個(gè)離散型隨機(jī)變量的離散程度(或波動(dòng)大小)．(3)性質(zhì)：若X與Y都是隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b(a≠0)，則D(Y)＝a2D(X)．1．隨機(jī)變量的方差和樣本方差之間有何關(guān)系？[提示](1)隨機(jī)變量的方差即為總體的方差，它是一個(gè)常數(shù)，不隨樣本的變化而變化；(2)樣本方差則是隨機(jī)變量，它是隨樣本不同而變化的．對(duì)于簡(jiǎn)單的隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來(lái)越接近于總體方差．1．設(shè)隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)＝1，則D(2ξ＋1)的值為()A．2B．3C．4D．5C[因?yàn)镈(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故選C．]知識(shí)點(diǎn)2兩點(diǎn)分布及二項(xiàng)分布的方差(1)若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．(2)若隨機(jī)變量X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．2．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差間存在怎樣的聯(lián)系．[提示]由于兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布，故兩者之間是特殊與一般的關(guān)系．即若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)，取n＝1，則D(X)＝p(1－p)就是兩點(diǎn)分布的方差．2．若隨機(jī)變量ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，則D(ξ)＝________．1[∵ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，∴D(ξ)＝4×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝1．]類型1離散型隨機(jī)變量的方差【例1】袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值．[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)題意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．(2)運(yùn)用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b．[解](1)X的分布列為X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5．D(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75．(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2．又E(Y)＝aE(X)＋b，所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4))即為所求．1．求離散型隨機(jī)變量X的方差的基本步驟eq\x(理解X的意義，寫出X可能取的全部值)↓eq\x(寫出X取每個(gè)值的概率)↓eq\x(寫出X的分布列)↓eq\x(由均值的定義求出EX)↓eq\x(利用公式DX＝\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))xi－EX2pi求值)2．對(duì)于變量間存在關(guān)系的方差，在求解過(guò)程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，這樣處理既避免了求隨機(jī)變量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁雜的計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)已知隨機(jī)變量X的分布列為X123Pxy若E(X)＝eq\f(15,8)，則D(X)等于()A．eq\f(33,64) B．eq\f(55,64)C．eq\f(7,32) D．eq\f(9,32)(2)已知X的分布列如下．X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,4)a①求X2的分布列；②計(jì)算X的方差；③若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．(1)B[由分布列的性質(zhì)得x＋y＝0.5，又E(X)＝eq\f(15,8)，所以2x＋3y＝eq\f(11,8)，解得x＝eq\f(1,8)，y＝eq\f(3,8)，所以D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(15,8)))2×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(15,8)))2×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64)．](2)[解]①由分布列的性質(zhì)，知eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋a＝1，故a＝eq\f(1,4)，從而X2的分布列為X201Peq\f(1,4)eq\f(3,4)②由①知a＝eq\f(1,4)，所以X的均值E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)．故X的方差D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,4)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(11,16)．③E(Y)＝4E(X)＋3＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＋3＝2，D(Y)＝16D(X)＝11．類型2兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差【例2】(對(duì)接教材P85例4)某5G芯片生產(chǎn)流水線檢測(cè)員每天隨機(jī)從流水線上抽取100個(gè)新生產(chǎn)的5G芯片進(jìn)行檢測(cè)．若每塊芯片的生產(chǎn)成本為1000元，一級(jí)品每個(gè)芯片可賣1500元，二級(jí)品每個(gè)芯片可賣900元，三級(jí)品禁止出廠且銷毀．某日檢測(cè)抽取的100個(gè)5G芯片的柱狀圖如圖所示(用樣本的頻率代替概率)．(1)若該生產(chǎn)線每天生產(chǎn)2000個(gè)5G芯片，求出該生產(chǎn)線每天利潤(rùn)的平均值；(2)若從出廠的所有5G芯片中隨機(jī)取出3個(gè)，求其中二級(jí)品5G芯片個(gè)數(shù)X的分布列、期望與方差．[解](1)該生產(chǎn)線每天利潤(rùn)的平均值＝20×(70×500－20×100－10×1000)＝460000元．(2)由題意得X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,9)))，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\s\up12(3)＝eq\f(343,729)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))＝eq\f(294,729)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))eq\s\up12(2)＝eq\f(84,729)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,729)．其分布列為X0123Peq\f(343,729)eq\f(294,729)eq\f(84,729)eq\f(8,729)E(X)＝np＝3×eq\f(2,9)＝eq\f(2,3)．D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(2,9)×eq\f(7,9)＝eq\f(14,27)．1．如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p為成功概率)．2．如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，計(jì)算時(shí)直接代入求解，從而避免了繁雜的計(jì)算過(guò)程．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和eq\x\to(A)，且P(A)＝m，令隨機(jī)變量ξ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，A不發(fā)生，))則ξ的方差D(ξ)等于()A．m B．2m(1－mC．m(m－1) D．m(1－m)(2)若隨機(jī)變量X～B(3，p)，D(X)＝eq\f(2,3)，則p＝________．(1)D(2)eq\f(1,3)或eq\f(2,3)[(1)隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ01P1－mm∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m．∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．(2)∵X～B(3，p)，∴D(X)＝3p(1－p)，由3p(1－p)＝eq\f(2,3)，得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(2,3)．]類型3期望、方差的綜合應(yīng)用1．A，B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表．A機(jī)床次品數(shù)X10123PB機(jī)床次品數(shù)X20123P試求E(X1)，E(X2)．[提示]E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44．E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44．2．在問(wèn)題1中，由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？[提示]不能．因?yàn)镋(X1)＝E(X2)．3．在問(wèn)題1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A，B兩臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量？[提示]利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定．【例3】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a，，(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．[思路點(diǎn)撥](1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望，然后再看其方差值．[解](1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2．所以ξ，η的分布列如下表所示．ξ10987Pη10987P(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21．由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，說(shuō)明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績(jī)比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好．利用均值和方差的意義分析解決實(shí)際問(wèn)題的步驟1．比較均值．離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，因此，在實(shí)際決策問(wèn)題中，需先計(jì)算均值，看一下誰(shuí)的平均水平高．2．在均值相等的情況下計(jì)算方差．方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度．通過(guò)計(jì)算方差，分析一下誰(shuí)的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定．3．下結(jié)論．依據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等．兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：X0123P乙保護(hù)區(qū)：Y012P試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平．[解]甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21．乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41．因?yàn)镋(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的平均違規(guī)次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散，故乙保護(hù)區(qū)的管理水平較高．1．有甲、乙兩種水稻，測(cè)得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計(jì)算出樣本方差分別為D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4．由此可以估計(jì)()A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊不能比較B[∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊．]2．設(shè)二項(xiàng)分布B(n，p)的隨機(jī)變量X，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為()A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，pC．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，pB[由題意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6．]3．(多選題)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為()X01234Pq若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有()A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(XC．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(YACD[因?yàn)閝＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正確；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正確；因?yàn)閅＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正確．故選ACD．]4．已知隨機(jī)變量X，且D(10X)＝eq\f(100,9)，則X的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______．eq\f(1,3)[由題