學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2017年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分,共40分．在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項．1．已知全集U=R，集合A=｛x｜x＜2｝,B=｛x|x＜0},那么A∩?UB=(）A．｛x｜0≤x＜2｝ B．｛x|0＜x＜2｝ C．{x|x＜0｝ D．{x|x＜2}2．在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函數(shù)f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（)A． B．π C． D．2π4．函數(shù)f（x）=2x+log2|x|的零點個數(shù)為（)A．0 B．1 C．2 D．35．在△ABC中，點D滿足=3，則()A．=﹣ B．=+ C．=﹣ D．=+6．在正方形網(wǎng)格中,某四面體的三視圖如圖所示．如果小正方形網(wǎng)格的邊長為1，那么該四面體最長棱的棱長為（）A． B． C．6 D．7．?dāng)?shù)列｛an}的通項公式為．則“c≤1”是“{an}為遞增數(shù)列"的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．將五個1，五個2，五個3,五個4，五個5共25個數(shù)填入一個5行5列的表格內(nèi)（每格填入一個數(shù)），使得同一行中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過2．考察每行中五個數(shù)之和，記這五個和的最小值為，則的最大值為（A）（B）（C）（D）9。在（1+2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于．（用數(shù)字作答）10．設(shè)等比數(shù)列｛an}的前n項和為Sn．若a1=3,S2=9，則an=；Sn=．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為．12．曲線(θ為參數(shù)）與直線x+y﹣1=0相交于A，B兩點,則｜AB｜=．13．實數(shù)a，b滿足0＜a≤2，b≥1．若b≤a2，則的取值范圍是．14．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,點P在正方形ABCD的邊界及其內(nèi)部運動．平面區(qū)域W由所有滿足的點P組成，則W的面積是;四面體P﹣A1BC的體積的最大值是．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分)在△ABC中,角A，B，C的對邊分別為a,b，c,且atanC=2csinA．（Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ）求sinA+sinB的取值范圍．16．（14分）如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，PA=AB，E,F分別為PB,PD的中點．(Ⅰ)求證：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）求異面直線PC與AE所成角的余弦值;（Ⅲ）若平面AEF與棱PC交于點M，求的值．17．（13分)在測試中,客觀題難度的計算公式為,其中Pi為第i題的難度,Ri為答對該題的人數(shù)，N為參加測試的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進(jìn)行一次測試，共5道客觀題．測試前根據(jù)對學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度,如表所示：題號12345考前預(yù)估難度Pi0.90.80.70.60.4測試后，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下:題號12345實測答對人數(shù)161614144（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計這240名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù);（Ⅱ）從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(Ⅲ）試題的預(yù)估難度和實測難度之間會有偏差．設(shè)為第i題的實測難度，請用Pi和設(shè)計一個統(tǒng)計量，并制定一個標(biāo)準(zhǔn)來判斷本次測試對難度的預(yù)估是否合理．18．（13分）已知函數(shù)．設(shè)l為曲線y=f（x)在點P（x0,f（x0））處的切線，其中x0∈[﹣1，1]．（Ⅰ）求直線l的方程（用x0表示）；（Ⅱ）設(shè)O為原點，直線x=1分別與直線l和x軸交于A,B兩點，求△AOB的面積的最小值．19．（14分）如圖，已知橢圓的離心率為,F為橢圓C的右焦點．A（﹣a，0），|AF|=3．(Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，P為橢圓上一點，AP的中點為M．直線OM與直線x=4交于點D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E．求證：∠ODF=∠OEF．20．（13分)如表，將數(shù)字1，2，3，…，2n（n≥3)全部填入一個2行n列的表格中，每格填一個數(shù)字．第一行填入的數(shù)字依次為a1,a2,…，an，第二行填入的數(shù)字依次為b1，b2,…，bn．記．a(chǎn)1a2…anb1b2…bn（Ⅰ）當(dāng)n=3時，若a1=1,a2=3，a3=5，寫出S3的所有可能的取值；（Ⅱ）給定正整數(shù)n．試給出a1，a2，…，an的一組取值，使得無論b1，b2，…，bn填寫的順序如何，Sn都只有一個取值,并求出此時Sn的值；（Ⅲ)求證：對于給定的n以及滿足條件的所有填法，Sn的所有取值的奇偶性相同．

2017年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知全集U=R,集合A={x｜x＜2｝,B=｛x|x＜0｝，那么A∩?UB=（）A．｛x|0≤x＜2｝ B．｛x|0＜x＜2｝ C．{x｜x＜0｝ D．{x｜x＜2}【考點】1H：交、并、補(bǔ)集的混合運算．【分析】根據(jù)題意，由集合B以及補(bǔ)集的定義可得?UB=｛x|x≥0}，又由集合A，結(jié)合交集的定義計算可得A∩?UB，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，全集U=R，B={x｜x＜0}，則?UB={x|x≥0｝，又由A={x|x＜2}，則A∩?UB=｛x|0≤x＜2｝；故選：A．【點評】本題考查集合的混合運算，關(guān)鍵是掌握集合交、并、補(bǔ)集的意義．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】先進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分母變成一個實數(shù)，分子進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運算，整理成復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，寫出對應(yīng)點的坐標(biāo)，看出所在的象限．【解答】解:∵復(fù)數(shù)===，∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（，）∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，故選A．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的實部和虛部的符號，是一個概念題,在解題時用到復(fù)數(shù)的加減乘除運算，是一個比較好的選擇或填空題,可能出現(xiàn)在高考題的前幾個題目中．3．函數(shù)f(x)=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）A． B．π C． D．2π【考點】H1:三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用二倍角的余弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的周期性得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，∴它的最小正周期是=π，故選：B．【點評】本題主要考查二倍角的余弦公式的應(yīng)用,余弦函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．4．函數(shù)f（x）=2x+log2｜x|的零點個數(shù)為(）A．0 B．1 C．2 D．3【考點】52：函數(shù)零點的判定定理．【分析】由題意可得，本題即求函數(shù)y=﹣2x的圖象和函數(shù)y=log2|x|的圖象的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．【解答】解：函數(shù)f(x）=2x+log2|x｜的零點個數(shù)，即為函數(shù)y=﹣2x的圖象和函數(shù)y=log2｜x｜的圖象的交點個數(shù)．如圖所示：數(shù)形結(jié)合可得，函數(shù)y=﹣2x的圖象和函數(shù)y=log2｜x|的圖象的交點個數(shù)為2，故選C．【點評】本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．5．在△ABC中，點D滿足=3，則（）A．=﹣ B．=+ C．=﹣ D．=+【考點】9F：向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義．【分析】根據(jù)三角形法則，寫出的表示式，根據(jù)點D的位置，得到與之間的關(guān)系，根據(jù)向量的減法運算，寫出最后結(jié)果．【解答】解：∵點D滿足=3,∴=+=+=+（﹣）=+,故選:D【點評】本題考查向量的加減運算,考查三角形法則,是一個基礎(chǔ)題，是解決其他問題的基礎(chǔ),若單獨出現(xiàn)在試卷上，則是一個送分題目．6．在正方形網(wǎng)格中，某四面體的三視圖如圖所示．如果小正方形網(wǎng)格的邊長為1，那么該四面體最長棱的棱長為(）A． B． C．6 D．【考點】L!:由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可得,該幾何體為三棱錐，直觀圖為側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長為4，底面為底邊長，為4，高為4的等腰三角形,即可求出該多面體的最長的棱長．【解答】解：由三視圖可得，該幾何體為三棱錐，直觀圖為側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長為4，底面為底邊長，為4，高為4的等腰三角形，∴多面體的最長的棱長為=6．故選C．【點評】三視圖中長對正，高對齊，寬相等;由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構(gòu)建直觀圖,本題考查了學(xué)生的空間想象力，識圖能力及計算能力．7．?dāng)?shù)列｛an｝的通項公式為．則“c≤1"是“｛an}為遞增數(shù)列"的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用等差數(shù)列為遞增數(shù)列的等價條件,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行求解．【解答】解:數(shù)列｛an｝的通項公式為，若“{an}為遞增數(shù)列”，則an+1﹣an=｜n+1﹣c｜﹣｜n﹣c｜＞0,即（n+1﹣c)2＞（n﹣c)2，解得c＜n+，∵n+≥∴c≤1”是“｛an｝為遞增數(shù)列充分不必要條件，故選：A【點評】本題主要考查遞增數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．8．將五個1，五個2，五個3，五個4，五個5共25個數(shù)填入一個5行5列的表格內(nèi)（每格填入一個數(shù)），使得同一行中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過2．考察每行中五個數(shù)之和,記這五個和的最小值為，則的最大值為（A)（B）(C）(D）8.C9.（2017?西城區(qū)一模）在（1+2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于40．（用數(shù)字作答)【考點】DA：二項式定理．【分析】在二項展開式的通項公式中,令x的冪指數(shù)等于2,求出r的值，即可求得x2的系數(shù)．【解答】解:由于（1+2x）5的展開式的通項公式為Tr+1=?（2x）r，令r=2求得x2的系數(shù)等于×22=40,故答案為40．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式,求展開式中某項的系數(shù),屬于中檔題．10．設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn．若a1=3，S2=9,則an=3?2n﹣1；Sn=3?（2n﹣1)．【考點】88:等比數(shù)列的通項公式．【分析】由等比數(shù)列的前n項和公式求出公比q=2,由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵等比數(shù)列{an｝的前n項和為Sn．a(chǎn)1=3，S2=9，∴S2=3+3q=9，解得q=2，∴，Sn==3?（2n﹣1）．故答案為:3?2n﹣1；3?(2n﹣1）．【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為6．【考點】EF：程序框圖．【分析】根據(jù)程序框圖進(jìn)行模擬計算即可得到結(jié)論．【解答】解：第一次循環(huán)，k=2，S=20﹣2=18,k＞5不成立,第二次循環(huán)，k=4，S=18﹣4=14，k＞5不成立,第三次循環(huán),k=8,S=14﹣8=6，k＞5成立,輸出S=6，故答案為:6【點評】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，根據(jù)程序框圖進(jìn)行模擬計算是解決本題的關(guān)鍵．12．曲線（θ為參數(shù))與直線x+y﹣1=0相交于A，B兩點，則｜AB｜=2．【考點】QK：圓的參數(shù)方程．【分析】根據(jù)題意，將曲線的參數(shù)方程變形可得其普通方程，求出其圓心坐標(biāo)及半徑，分析可得圓心在直線上，則|AB｜=2r，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，曲線的普通方程為x2+(y﹣1)2=1，圓心坐標(biāo)為（0，1）,半徑r=1,而直線的方程為x+y﹣1=0，圓心在直線上，則AB為圓的直徑，故｜AB｜=2r=2；故答案為:2．【點評】本題考查圓的參數(shù)方程,涉及直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是將圓的參數(shù)方程化為普通方程．13．實數(shù)a,b滿足0＜a≤2，b≥1．若b≤a2，則的取值范圍是．【考點】R3：不等式的基本性質(zhì)．【分析】利用換元法，結(jié)合條件，即可求出的取值范圍．【解答】解：設(shè)t=,則b=at，∵b≤a2，∴at≤a2，∴t≤a，∴t≤2，∵b≥1，∴at≥1,∴t≥，∴t，∴的取值范圍是．故答案為．【點評】本題考查不等式的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．14．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P在正方形ABCD的邊界及其內(nèi)部運動．平面區(qū)域W由所有滿足的點P組成,則W的面積是；四面體P﹣A1BC的體積的最大值是．【考點】L2：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】由已知可得平面區(qū)域W是以A為圓心，以1為半徑的圓面，由圓的面積公式求得W的面積;由題意可得,當(dāng)p在邊AD上時，四面體P﹣A1BC的體積有最大值，再由棱錐體積公式求解．【解答】解：連接AP，則A1A⊥AP，∵A1A=2，，∴AP=1，以A為圓心,以1為半徑作圓交正方形ABCD所得圓，∴W的面積是；由題意可知，當(dāng)p在邊AD上時，四面體P﹣A1BC的體積的最大值是．故答案為：；．【點評】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力和思維能力,是中檔題．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）（2017?西城區(qū)一模）在△ABC中,角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且atanC=2csinA．（Ⅰ)求角C的大??；(Ⅱ）求sinA+sinB的取值范圍．【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】（Ⅰ）由題意,根據(jù)正弦定理即可求得，即可求得角C的大小；（Ⅱ)由題意sinA+sinB=,根據(jù)兩角差的正弦公式即可求得sinA+sinB=,根據(jù)A的取值范圍，即可求得sinA+sinB的取值范圍．【解答】解:(Ⅰ）由atanC=2csinA，得．［(1分）]由正弦定理得．［（3分）］所以．［（4分）]因為C∈（0，π），[]所以．[（6分）]（Ⅱ)sinA+sinB=，［（7分）］=，[（8分）］=．［(9分）]因為,所以,［（10分）]所以，［（11分)]所以，［（12分）]所以sinA+sinB的取值范圍是．[（13分)]【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，兩角差的正弦公式，正弦定理,考查計算能力，屬于中檔題．16．（14分）（2017?西城區(qū)一模）如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中,PA=AB，E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點．(Ⅰ)求證:AC⊥平面PBD;（Ⅱ）求異面直線PC與AE所成角的余弦值；（Ⅲ)若平面AEF與棱PC交于點M,求的值．【考點】LM：異面直線及其所成的角;LW：直線與平面垂直的判定．【分析】(Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，則O為底面正方形ABCD中心．連接PO，推導(dǎo)出PO⊥AC，BD⊥AC，由此能證明AC⊥平面PBD．（Ⅱ）由OA，OB，OP兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出異面直線PC與AE所成角的余弦值．（Ⅲ）連接AM．設(shè)，其中λ∈［0，1］,求出平面AEMF的法向量,利用向量法能求出．【解答】(本小題滿分14分）證明:（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，則O為底面正方形ABCD中心．連接PO．因為P﹣ABCD為正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD．（1分）所以PO⊥AC．（2分）又BD⊥AC，且PO∩BD=O，(3分)所以AC⊥平面PBD．（4分）（Ⅱ）因為OA，OB，OP兩兩互相垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．因為PB=AB,所以Rt△POB≌Rt△AOB．所以O(shè)A=OP．（6分）設(shè)OA=2．所以A(2,0，0）,B（0，2,0）,C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P(0，0，2），E（0，1,1)，F(xiàn)（0,﹣1，1)．所以=（﹣2，1，1），=（﹣2，0，﹣2)．(7分）所以|cos＜＞|==．即異面直線PC與AE所成角的余弦值為．（9分）(Ⅲ）連接AM．設(shè)，其中λ∈[0，1］，則==（﹣2λ,0，﹣2λ)，（10分）所以==（﹣2﹣2λ，0，2﹣2λ）．設(shè)平面AEMF的法向量為=（x,y,z），又=（﹣2,﹣1，1），所以，即所以y=0．令x=1,z=2，所以=(1，0,2)．（12分）因為AM?平面AEF，所以=0,（13分)即﹣2﹣2λ+2(2﹣2λ）=0,解得,所以．(14分）【點評】本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的求法,考查線段比值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運用意識，是中檔題．17．（13分）（2017?西城區(qū)一模）在測試中,客觀題難度的計算公式為，其中Pi為第i題的難度,Ri為答對該題的人數(shù)，N為參加測試的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進(jìn)行一次測試，共5道客觀題．測試前根據(jù)對學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如表所示：題號12345考前預(yù)估難度Pi0。90。80。70。60。4測試后，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計,結(jié)果如下：題號12345實測答對人數(shù)161614144（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計這240名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù)；（Ⅱ）從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;（Ⅲ）試題的預(yù)估難度和實測難度之間會有偏差．設(shè)為第i題的實測難度，請用Pi和設(shè)計一個統(tǒng)計量,并制定一個標(biāo)準(zhǔn)來判斷本次測試對難度的預(yù)估是否合理．【考點】CG:離散型隨機(jī)變量及其分布列;CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（Ⅰ）由20人中答對第5題的人數(shù)為4人,求出第5題的實測難度為0.2，由此能估計240人中實測答對人數(shù)．(Ⅱ)X的可能取值是0，1，2．分別求出相應(yīng)概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（Ⅲ）將抽樣的20名學(xué)生中第i題的實測難度，作為240名學(xué)生第i題的實測難度．由題設(shè)條件推導(dǎo)出該次測試的難度預(yù)估是合理的．【解答】（本小題滿分13分）解：(Ⅰ)因為20人中答對第5題的人數(shù)為4人，因此第5題的實測難度為．［（2分）］所以，估計240人中有240×0.2=48人實測答對第5題．［（3分）］（Ⅱ）X的可能取值是0，1，2．[(4分）];；．［(7分）］X的分布列為：X012P［(8分）］．［(10分）]（Ⅲ）將抽樣的20名學(xué)生中第i題的實測難度，作為240名學(xué)生第i題的實測難度．定義統(tǒng)計量，其中Pi為第i題的預(yù)估難度．并規(guī)定:若S＜0。05，則稱本次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理．[（11分）]=0。012．[（12分）］因為S=0。012＜0.05，所以，該次測試的難度預(yù)估是合理的．［（13分）］注：本題答案不唯一,學(xué)生可構(gòu)造其它統(tǒng)計量和臨界值來進(jìn)行判斷．如“預(yù)估難度與實測難度差的平方和”，“預(yù)估難度與實測難度差的絕對值的和”，“預(yù)估難度與實測難度差的絕對值的平均值”等，學(xué)生只要言之合理即可．【點評】本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．18．（13分）（2017?西城區(qū)一模)已知函數(shù)．設(shè)l為曲線y=f(x）在點P(x0，f(x0））處的切線，其中x0∈［﹣1，1]．（Ⅰ）求直線l的方程（用x0表示）;(Ⅱ）設(shè)O為原點,直線x=1分別與直線l和x軸交于A，B兩點，求△AOB的面積的最小值．【考點】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù),確定切線斜率，即可求直線l的方程(用x0表示)；（Ⅱ）表示三角形面積，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求△AOB的面積的最小值．【解答】解：（Ⅰ）對f(x）求導(dǎo)數(shù)，得f’（x）=ex﹣x，［（1分)］所以切線l的斜率為，［（2分）］由此得切線l的方程為:，即．［（4分）］（Ⅱ）依題意，切線方程中令x=1，得．［]所以A（1,y)，B（1，0）．所以==，x0∈［﹣1,1]．[（7分）]設(shè),x∈[﹣1，1]．[(8分）]則．[（10分）］令g'（x）=0，得x=0或x=1．g（x），g’(x）的變化情況如下表:x﹣1（﹣1，0）0（0，1）1g’（x）﹣0+g（x)↘1↗所以g（x）在（﹣1，0）單調(diào)遞減;在（0,1)單調(diào)遞增,［(12分)］所以g(x）min=g（0)=1，從而△AOB的面積的最小值為1．［（13分）］【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題．19．（14分）（2017?西城區(qū)一模）如圖，已知橢圓的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點．A（﹣a，0），｜AF|=3．（Ⅰ）求橢圓C的方程;(Ⅱ）設(shè)O為原點，P為橢圓上一點，AP的中點為M．直線OM與直線x=4交于點D,過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E．求證:∠ODF=∠OEF．【考點】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由題意可知：a=2c，a+c=3，求得a與c的值，則b2=a2﹣c2,即可求得橢圓方程;(Ⅱ）解法一:設(shè)AP的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式求得M坐標(biāo)，求得直線OM的方程，分別取得D和E點坐標(biāo),則EF⊥OM,DF⊥OE，在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，即可求得∠ODF=∠OEF；方法二：分別表示出M，D和E點坐標(biāo)，求得EF和OM的斜率，由kOM?kEF=﹣1,則EF⊥OM，討論證明DF⊥OE在,則Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，即可求得∠ODF=∠OEF．【解答】解:（Ⅰ)設(shè)橢圓C的半焦距為c．橢圓的離心率e=，丨AF丨=a+c=3，解得a=2,c=1．所以b2=a2﹣c2=3，所以橢圓C的方程是．［（4分）]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得A（﹣2，0）．設(shè)AP的中點M（x0，y0)，P(x1，y1）．設(shè)直線AP的方程為：y=k（x+2)（k≠0)，將其代入橢圓方程，整理得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0，[(6分）]所以．[（7分）］所以，,即．［（8分)］所以直線OM的斜率是，［(9分)］所以直線OM的方程是．令x=4,得．［(10分）］直線OE的方程是y=kx．令x=4，得E（4，4k）．［（11分）］由F(1，0),得直線EF的斜率是，所以EF⊥OM，記垂足為H；因為直線DF的斜率是，所以DF⊥OE，記垂足為G．［（13分）］在Rt△EHO和Rt△DGO中,∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余,所以∠ODF=∠OEF．[（14分)］解法二：由（Ⅰ）得A(﹣2,0）．設(shè)P（x1，y1）（x1≠±2)，其中．因為AP的中點為M，所以．[（6分）]所以直線OM的斜率是，[（7分)]所以直線OM的方程是．令x=4，得．[(8分）]直線OE的方程是．令x=4，得．［（9分)］由F(1,0），得直線EF的斜率是，[（10分）］因為，所以EF⊥OM，記垂足為H；［(12分)］同理可得，所以DF⊥OE,記垂足為G．［（13分)］在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，所以∠ODF=∠OEF．［(14分）]【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理，中點坐標(biāo)公式,直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．20．(13分）（2017?西城區(qū)一模）如表，將數(shù)字1，2,3，…,2n（n≥3）全部填入一個2行n列的表格中，每格填一個數(shù)字．第一行填入的數(shù)字依次為a1，a2，…，an,第二行填入的數(shù)字依次為b1,b2，…，bn．記．a(chǎn)1a2…anb1b2…bn（Ⅰ)當(dāng)n=3時,若a1=1，a2=3,a3=5，寫出S3的