學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精北京市第十三中學(xué)2017～2018學(xué)年度第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)期中(理科）測試一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．設(shè)集合，集合，則()．A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，,．故選．2．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,則實數(shù)的取值范圍是(）．A． B． C． D．【答案】C【解析】復(fù)數(shù),,，對應(yīng)點在第四象限，，解出．故選．3．已知，，則（)．A． B． C． D．【答案】D【解析】且，,．故選．4．設(shè)、為直線與圓的兩個交點，則(）．A． B． C． D．【答案】C【解析】圓心到直線距離為，．故選．5．已知函數(shù),則（）．A．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】B【解析】，，∴為奇函數(shù),又∵函數(shù)與都是減函數(shù),兩個減函數(shù)之和仍為減函數(shù)．故選．6．設(shè)是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）． A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】項．∵，∴,的正負(fù)無法判斷,正負(fù)無法判斷,錯誤，項錯誤，∵，∴，正負(fù)無法判斷，項錯誤，,項正確，∵，∴，．∴．7．設(shè)，是非零向量,且．則“”是“"的（）． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】充分性：當(dāng)時，,∴，必要性：當(dāng)時，，∵，∴．故選．8．某地區(qū)在六年內(nèi)第年的生產(chǎn)總值(單位：億元）與之間的關(guān)系如圖所示，則下列四個時段中，生產(chǎn)總值的年平均增長率最高的是（)． A．第一年到第三年 B．第二年到第四年C．第三年到第五年 D．第四年到第六年【答案】A【解析】設(shè)年平均增長率為，末年生產(chǎn)總值為，起始年生產(chǎn)總值為,則．（為年間隔數(shù)）∴兩年間的年平均增長率,由圖知，第一年到第三年的最大．故選．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分)9．在的展開式中,的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答)【答案】【解析】展開式中含項為．10．已知雙曲線的一條漸近線為，則__________．【答案】【解析】的漸近線為，∴．11．在極坐標(biāo)系中，點到直線的距離為__________．【答案】【解析】直角坐標(biāo)系中，直線方程為,點坐標(biāo)為，到直線距離．12．在中,，，，則__________．【答案】【解析】∵，且，即，∴．13．已知點在圓上,點的坐標(biāo)為，為原點，則的最大值為__________．【答案】【解析】設(shè),，，∴，∵，當(dāng)時，∴．14．某科技小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件：（=1\＊romani）男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)．(=2\*ROMAN=2\*romanii）女學(xué)生人數(shù)多余教師人數(shù)．（=3\*romaniii）教師人數(shù)的兩倍多余男學(xué)生人數(shù)．①若教師人數(shù)為，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為__________．②該小組人數(shù)的最小值為__________．【答案】 【解析】設(shè)男學(xué)生，女學(xué)生,教師人數(shù)分別為，，．由題意,建立方程組．，【注意有文字】①當(dāng)時，由方程組解出，故此時女學(xué)生最多有人．②設(shè)小組總?cè)藬?shù)為,∵由上述方程組可得，即最小為才能滿足條件,此時，，故，即小組人數(shù)最少為人．三、解答題(本大題共6小題,共80分)15．(本小題滿分分）已知函數(shù)．（=1\*ROMANI)求的值．（=2\*ROMANII）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及對稱軸方程．【答案】（=1\＊ROMANI） （=2\＊ROMANII）單調(diào)遞減區(qū)間為，，對稱軸為，．【解析】（=1\＊ROMANI），．(=2\*ROMANII）∵，，,，，單調(diào)遞減區(qū)間為，對稱軸為，．16．（本小題滿分分）某花店每天以每枝元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．（=1\＊ROMANI）若花店一天購進枝玫瑰花，寫出當(dāng)天的利潤(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，)的函數(shù)解析式．(=2\*ROMANII）花店記錄了天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量頻數(shù)以天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．（=1\*romani)若花店一天購進枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤(單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望．（=2\＊romanii）若花店計劃一天購進枝或枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購進枝還是枝？只寫結(jié)論．【答案】（=1\*ROMANI)． （=2\*ROMANII）（=1\＊romani）的分布列為：．（=2\*romanii）支．【解析】（=1\*ROMANI）當(dāng)時，,當(dāng)時，，故．（=1\*romani）可取，,，，，，故的分布列如下：,．（=2\*romanii）購進枝時，當(dāng)天利潤為，，故應(yīng)購進枝．17．（本小題滿分分）如圖，在直角梯形中，，,．直角梯形可以通過直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且平面平面．（=1\*ROMANI)求證：．（=2\＊ROMANII）求直線和平面所成角的正弦值．（=3\*ROMANIII)設(shè)為的中點，，分別為線段，上的點(都不與點重合）．若直線平面，求的長．【答案】（=1\*ROMANI）略 （=2\*ROMANII） （=3\*ROMANIII）【解析】（=1\＊ROMANI）∵，∴，∵平面平面且平面平面,∴面，∵平面，∴．(=2\＊ROMANII)由（=1\*ROMANI)知，平面，∴,，∵，，，兩兩垂直,如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，∵，,,，,，．設(shè)平面的一個法向量為,∴，∴，令，，設(shè)直線與平面所成角為,∵，，．（=3\＊ROMANIII）在以為原點的空間直角坐標(biāo)系中,,，，，．設(shè)，，∵，∴，，，若平面，則，即，，解得，∴，．18．（本小題滿分分）已知函數(shù)．(=1\＊ROMANI）求曲線在點處的切線方程．（=2\＊ROMANII）求證：當(dāng)時，．（=3\＊ROMANIII）設(shè)實數(shù)使得對恒成立，求的最大值．【答案】(=1\＊ROMANI） (=2\＊ROMANII）略 (=3\*ROMANIII）最大值為【解析】（=1\＊ROMANI）∵，，∴，∴．∵,,，∴在處切線方程為．（=2\＊ROMANII)證明：令，，，∴，∴，即在時,．（=3\＊ROMANIII）由（=2\＊ROMANII）知，在時，對恒成立，當(dāng)時，令，則，，∴當(dāng)時,，此時在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，,即，∴當(dāng)時，，對不恒成立，∴最大值為．19．（本小題滿分分)已知橢圓的兩個焦點是，，點在橢圓上，且．(=1\*ROMANI)求橢圓的方程．（=2\＊ROMANII）設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，是橢圓上一點，直線和與軸分別相交于點，，為原點．證明：為定值．【答案】（=1\＊ROMANI) (=2\*ROMANII）見解析【解析】（=1\*ROMANI）在橢圓中，，∴，代入于中,解出，∴橢圓的方程為．（=2\＊ROMANII）證明：∵、關(guān)于軸對稱,∴，設(shè)，則，，，直線，令，則，∴，直線，令，,∴，∴，,∴為定值．20．已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項的最大值記為,第項之后各項，,的最小值記為，．（=1\＊ROMANI）若為,，,，，,，，，是一個周期為的數(shù)列(即對任意,），寫出，，，的值．（=2\*ROMANII）設(shè)是正整數(shù)，證明:的充分必要條件為是公比為的等比數(shù)列．(=3\＊ROMANIII）證明：若，,則的項只能是或者,且有無窮多項為．【答案】（=1\＊ROMANI）， （=2\*ROMANII）(=3\*ROMANIII）見解析【解析】（=1\*ROMANI)由題知,在中，，，,∴，