復變函數(shù)論第三版第三章第一頁，共66頁。簡單閉曲線正向的定義:簡單閉曲線C的正向是指當曲線上的點P順此方向前進時,鄰近P點的曲線的內(nèi)部始終位于P點的左方.與之相反的方向就是曲線的負方向.

在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點,另一個作為終點,除特殊聲明外,正方向總是指從起點到終點的方向.分段光滑的簡單閉曲線簡稱為周線.第一頁2第二頁，共66頁。2.積分的定義:(第二頁3第三頁，共66頁。二、積分存在的條件及其計算方法1.存在的條件證參數(shù)增加的方向,,正方向為根據(jù)線積分的存在定理,第三頁4第四頁，共66頁。當n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,在形式上可以看成是公式第四頁5第五頁，共66頁。2.積分的計算方法在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.即第五頁6第六頁，共66頁。例1解直線方程為這兩個積分都與路線C無關(guān)例2

解積分路徑的參數(shù)方程為第六頁7第七頁，共66頁。例3解積分路徑的參數(shù)方程為重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).一個重要而常用的積分公式第七頁8第八頁，共66頁。復積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).絕對不等式三、復積分的性質(zhì)第八頁9第九頁，共66頁。例4解根據(jù)估值不等式知第九頁10第十頁，共66頁。一、問題的提出此時積分與路線無關(guān).第二節(jié)柯西積分定理由于不滿足柯西－黎曼方程,故而在復平面內(nèi)處處不解析.由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān),可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.第十頁11第十一頁，共66頁。二、柯西積分定理定理中的C可以不是簡單曲線.關(guān)于定理的說明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.第十一頁12第十二頁，共66頁。例1解根據(jù)柯西積分定理,有例2證由柯西積分定理,由柯西積分定理,由上節(jié)例4可知,三、典型例題第十二頁13第十三頁，共66頁。例3解根據(jù)柯西積分定理得第十三頁14第十四頁，共66頁。(1)注意定理的條件“單連通域”.(2)注意定理的不能反過來用.應用柯西積分定理應注意什么?第十四頁15第十五頁，共66頁。1.問題的提出根據(jù)本章第一節(jié)的討論可知,由此希望將柯西積分定理推廣到多連域中.四、柯西積分定理的推廣—復合閉路定理2.閉路變形原理︵︵第十五頁16第十六頁，共66頁。︵︵︵︵︵︵︵︵得第十六頁17第十七頁，共66頁。解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說明:在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點.第十七頁18第十八頁，共66頁。3.復合閉路定理那末第十八頁19第十九頁，共66頁。4.典型例題例1解依題意知,根據(jù)復合閉路定理,第十九頁20第二十頁，共66頁。例2解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理,第二十頁21第二十一頁，共66頁。例3解由復合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可.第二十一頁22第二十二頁，共66頁。例4解由上例可知

復合閉路定理與閉路變形原理是復積分中的重要定理,掌握并能靈活應用它是本章的難點.常用結(jié)論:第二十二頁23第二十三頁，共66頁。定理一由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點和終點有關(guān),1.兩個主要定理:五、原函數(shù)與不定積分第二十三頁24第二十四頁，共66頁。定理二證利用導數(shù)的定義來證.由于積分與路線無關(guān),第二十四頁25第二十五頁，共66頁。由積分的估值性質(zhì),此定理與微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似.[證畢]第二十五頁26第二十六頁，共66頁。2.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:3.不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)第二十六頁27第二十七頁，共66頁。證根據(jù)柯西積分定理,[證畢]說明:有了以上定理,復變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學中類似的方法去計算.4.典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,第二十七頁28第二十八頁，共66頁。例2解(使用了微積分學中的“湊微分”法)例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,另解此方法使用了微積分中“分部積分法”第二十八頁29第二十九頁，共66頁。例4解利用分部積分法可得課堂練習答案例5解第二十九頁30第三十頁，共66頁。例6解所以積分與路線無關(guān),由牛頓-萊布尼茲公式知,第三十頁31第三十一頁，共66頁。一、問題的提出根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C的變化而改變,求這個值。第三節(jié)柯西積分公式及其推論第三十一頁32第三十二頁，共66頁。二、柯西積分公式定理證此式稱為柯西積分公式第三十二頁33第三十三頁，共66頁。證根據(jù)閉路變形原理知,左端積分的值與R無關(guān),所以只有在對所有的R積分值為零時才有可能.[證畢]第三十三頁34第三十四頁，共66頁。(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的值表示.(這是解析函數(shù)的又一特征)(2)公式不但提供了計算某些復變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3)解析函數(shù)的平均值定理：一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.則有

柯西積分公式的重要性在于:一個解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示,所以它是研究解析函數(shù)的重要工具.第三十四頁35第三十五頁，共66頁。三、典型例題例1解由柯西積分公式第三十五頁36第三十六頁，共66頁。例2解(1)由柯西積分公式由柯西積分公式這種解法對嗎？為什么？第三十六頁37第三十七頁，共66頁。例3解由柯西積分公式第三十七頁38第三十八頁，共66頁。例4解由閉路復合定理,得第三十八頁39第三十九頁，共66頁。例5解根據(jù)柯西積分公式知,比較兩式得第三十九頁40第四十頁，共66頁。例6解被積函數(shù)是多值函數(shù)，支點為f(z)的原函數(shù)仍是多值函數(shù)，在代入上、下限時需要考慮對應的單值分支。01第四十頁41第四十一頁，共66頁。其中積分方向應是順時針方向.柯西積分公式對無界區(qū)域也是成立的，五、解析函數(shù)的無窮可微性問題:(1)解析函數(shù)是否有高階導數(shù)?(2)若有高階導數(shù),其定義和求法是否與實變函數(shù)相同?回答:(1)解析函數(shù)有各高階導數(shù).(2)高階導數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示,這與實變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導數(shù)的定義是什么?第四十一頁42第四十二頁，共66頁。定理證根據(jù)導數(shù)的定義,從柯西積分公式得第四十二頁43第四十三頁，共66頁。第四十三頁44第四十四頁，共66頁。再利用以上方法求極限從而證明了一個解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類推,利用數(shù)學歸納法可證[證畢]第四十四頁45第四十五頁，共66頁。高階導數(shù)公式的作用:不在于通過積分來求導,而在于通過求導來求積分.

例1解第四十五頁46第四十六頁，共66頁。由復合閉路定理第四十六頁47第四十七頁，共66頁。例2解第四十七頁48第四十八頁，共66頁。例3解由柯西積分定理得由柯西積分公式得第四十八頁49第四十九頁，共66頁。例4解第四十九頁50第五十頁，共66頁。六、柯西不等式與劉維爾(Liouville)定理定理1

(柯西不等式)設在區(qū)域D內(nèi)解析，為D內(nèi)一點，區(qū)域包含于D，則有其中證明：在上應用高階導數(shù)公式，則有由柯西不等式，容易得到劉維爾定理。劉維爾定理:z平面上解析且有界的函數(shù)必為常數(shù)．由劉維爾定理，可以證得到代數(shù)學基本定理。第五十頁51第五十一頁，共66頁。代數(shù)學基本定理

在z平面上，n次多項式

（）至少有一個零點．證(反證法)假設在z平面上無零點，由于在平面上解析，從而在z平面上也是解析的．其次，由于所以，于是，使得，。又因為在上連續(xù)，故，使得，從而在z平面上有，即在z平面上解析且有界，因此根據(jù)劉維爾定理，為常數(shù)，故亦為常數(shù)，這與已知為多項式矛盾，定理得證．第五十一頁52第五十二頁，共66頁。七、摩勒拉(Morera)定理柯西積分定理說明，只要在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一圍線均有。我們現(xiàn)在證明其逆也是正確的．摩勒拉定理設函數(shù)在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且對D內(nèi)任一圍線C，有，則在D內(nèi)解析．證依題意可知可由導數(shù)的定義證明因為解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù),第五十二頁53第五十三頁，共66頁。例6證不等式即證.第五十三頁54第五十四頁，共66頁。例7證積分值與R無關(guān)，故有f(a)=f(b).由a,b的任意性得f(z)為常數(shù).第五十四頁55第五十五頁，共66頁。例8證任取一點z=a,取圍道C為|z|=R>|a|,逆時針方向,由柯西積分公式有即有由a的任意性得f(z)為常數(shù).小結(jié)：高階導數(shù)公式是復積分的重要公式.它表明了解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結(jié)論,同時表明了解析函數(shù)與實變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.第五十五頁56第五十六頁，共66頁。高階導數(shù)公式這一點與實變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別.定義

調(diào)和函數(shù)在流體力學和電磁場理論等實際問題中有很重要的應用.第四節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)的定義第五十六頁57第五十七頁，共66頁。定理

任何在區(qū)域

D

內(nèi)解析的函數(shù),它的實部和虛部都是

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系根據(jù)解析函數(shù)高階導數(shù)定理,[證畢]第五十七頁58第五十八頁，共66頁。三、共軛調(diào)和函數(shù)的定義

區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù).四、偏積分法如果已知一個調(diào)和函數(shù)u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v,從而構(gòu)成一個解析函數(shù)u+vi.這種方法稱為偏積分法.第五十八頁59第五十九頁，共66頁。解得一個解析函數(shù)這個函數(shù)可以化為例1第五十九頁60第六十頁，共66頁。例2

解所求解析