第八章λ─矩陣2021/12/218.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型§2λ－矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形§3不變因子§1λ－矩陣§4矩陣相似的條件§6若當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形§5初等因子§7最小多項式2021/12/228.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型主要內(nèi)容第六節(jié)Jordon形矩陣的定義若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的Jordon標(biāo)準(zhǔn)形矩陣相似的條件2021/12/238.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型從前面第七章的討論可以知道，并不是對于每一個線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣成為對角形.下面先介紹一下，在適當(dāng)選擇的基下,一般的一個線性變換能化簡成什么形狀.在這一節(jié)，我們的討論限制在復(fù)數(shù)域中.2021/12/248.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型定義1

形式為的矩陣稱為若爾當(dāng)(Jordan)塊，其中

是復(fù)數(shù).由若干個若爾當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對角矩陣稱為若爾當(dāng)形矩陣，其一般形狀如一、定義2021/12/258.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型其中并且

1,

2,…

s

中有一些可以相等.2021/12/268.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型例如都是若爾當(dāng)塊，是一個若爾當(dāng)形矩陣.而2021/12/278.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型1.一級若爾當(dāng)塊就是一級矩陣，因此若爾當(dāng)形矩陣中包括對角矩陣.2.在一個線性變換的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中，主對角線上的元素正是特征多項式的全部根(重根按重數(shù)計算).注意2021/12/288.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型二、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子我們用初等因子的理論來解決若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的計算問題.首先計算若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子.設(shè)有若爾當(dāng)塊引理1則其初等因子為(

-

0)n

.2021/12/298.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型證明考慮它的特征矩陣顯然|

E-J0|=(

-

0)n

，這就是

E-J0的n

級行列式因子.由于

E-J0有一個n-1級子式2021/12/2108.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型所以它的n-1級行列式因子是1，從而它以下各級的行列式因子全是1.因此，它的不變因子為d1(

)=…=dn-1(

)=1,dn(

)=(

-

0)n

.由此即得，

E-J0的初等因子為(

-

0)n

.證畢2021/12/2118.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)是一個若爾當(dāng)形矩陣，引理2其中則J的初等因子為2021/12/2128.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型既然Ji

的初等因子是所以

E-Ji與證明等價.于是2021/12/2138.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型與等價.因此，J

的全部初等因子是：2021/12/2148.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型2.每個若爾當(dāng)形矩陣由若爾當(dāng)塊個數(shù)、各個若爾當(dāng)塊的級數(shù)及對角線上元素決定，即它的全部初等因子是由它的全部若爾當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的.1.每個若爾當(dāng)塊完全被它的級數(shù)n

與主對角線上元素

0所刻劃，而這兩個數(shù)都反映在它的初等因子(

-

0)n

中.因此，若爾當(dāng)塊被它的初等因子唯一決定.由此可見，若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊排列的次序外是被它的初等因子唯一決定.注意2021/12/2158.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型定理1(1)每個n

級的復(fù)數(shù)矩陣A

都與一個若爾當(dāng)形矩陣相似；(2)這個若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣A

唯一決定的;(3)稱若爾當(dāng)形矩陣為A

的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.證明設(shè)n

級矩陣A

的初等因子為其中

1,

2,…,

s

可能有相同的，指數(shù)k1,k2,…,ks也可能有相同的.2021/12/2168.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型每一初等因子對應(yīng)于一個若爾當(dāng)塊這些若爾當(dāng)塊構(gòu)成一若爾當(dāng)形矩陣2021/12/2178.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型根據(jù)以上的計算，J

的初等因子也是因為J

與A

有相同的初等因子，所以它們相似.如果另一若爾當(dāng)形矩陣J

與A

相似，那么J

與A

就有相同的初等因子，因此J

與J除了其中若爾當(dāng)塊排列的次序外是相同的,由此即得唯一性.證畢2021/12/2188.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型步驟3得出矩陣A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.求矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的步驟步驟1求

E-A

的初等因子；步驟2寫出每一個初等因子對應(yīng)的若爾當(dāng)塊；說明2021/12/2198.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型例1

設(shè)12級矩陣A的不變因子是(

-1)2(

+1)(

2+1)2.1,1,…,1,(

-1)2,(

-1)2(

+1),9個按定義，它的初等因子有7個，即(

-1)2,(

-1)2,(

-1)2,(

+1),(

+1),(

-i)2,(

+i)2.于是其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為求矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.解2021/12/2208.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型2021/12/2218.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型例2

求矩陣A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.

解：

2021/12/2228.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的初等因子為

故A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為

2021/12/2238.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型換成線性變換的語言來說就是：定理2

設(shè)A

是復(fù)數(shù)域上n

維線性空間V

的線性變換，組基下的矩陣是若爾當(dāng)形，陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外是被A唯一決定的.在V

中必定存在一組基，使A在這并且這個若爾當(dāng)形矩2021/12/2248.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型證明在V

中任取一組基

1,

2,…,

n,設(shè)

A在這組基下的矩陣是A.由存在可逆矩陣T，使T-1AT

成若爾當(dāng)形矩陣.于是在由(

1,

2,…,

n

)=(

1,

2,…,

n

)T確定的基

1,

2,…,

n下，線性變換

A的矩陣就是T-1AT.由定理1，唯一性是顯然的.證畢2021/12/2258.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型應(yīng)該指出，若爾當(dāng)形矩陣包括對角矩陣作為特殊情形，那就是由一級若爾當(dāng)塊構(gòu)成的若爾當(dāng)形矩陣，由此即得定理3

復(fù)數(shù)矩陣A

與對角矩陣相似的充分必要條件是，A

的初等因子全為一次的.三、矩陣相似的條件2021/12/2268.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型例3

證明矩陣

與對角陣相似

.2021/12/2278.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

小結(jié)1.Jordon形矩陣的定義2.矩陣的Jordon標(biāo)準(zhǔn)形3.矩陣相似的條件2021/12/2288.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

Smith標(biāo)準(zhǔn)形Jordan標(biāo)準(zhǔn)形行列式因子不變因子初等因子Jordan塊2021/12/2298.6若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型求下列矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

練習(xí)

2021/12/2