自行車存放問題湖南省婁底市雙峰縣第一中學451作者：朱天成指導老師：賀永鐵摘要本文以雙峰縣一中存車區(qū)為例，試圖說明在具有確定面積和形狀的區(qū)域內(nèi)如何擺放最大數(shù)量的自行車問題。學生使用的交通工具普遍是自行車，因此學校必須有適當?shù)淖孕熊嚧娣艆^(qū)域。但由于場地有限，會出現(xiàn)擺放擁擠的情況。關(guān)鍵詞確定面積和形狀的區(qū)域擺放最大數(shù)量的自行車方程思想現(xiàn)雙峰縣一中高中存車區(qū)（長6288cm；寬936cm）俯視平面圖如圖1所示（圖附后），陰影部分為自行車停放區(qū)域（簡稱“存車帶”——分別用I、II、III、W標明），均寬170cm,；空白部分為通道，其中標出“A左”“B右”等符號的帶狀通道（簡稱“車道”均寬85cm,圖中存車帶箭頭所示方向為車輛停置時車頭指向E、E、為出、入口。12帶有箭頭的虛線表示學生進校后進入存車區(qū)的路線。據(jù)調(diào)查，現(xiàn)一中高中學生騎車上學的人數(shù)約為1400人，進校時間集中在6:10—6:20約400人。此時存車區(qū)內(nèi)擁擠，疏通緩慢。故需對車輛的擺放做適當?shù)恼{(diào)整，以增大疏通速率。分析堵塞原因：（1）車道狹窄，推車通過車道較慢。（2）存車帶分布不當，引起學生過于集中。一、分析問題據(jù)統(tǒng)計:1） 6:10?6:20到校學生以37人/分鐘的平均速度進入存車區(qū).因在I、II存車帶存車都將進入A道，所以單位時間通過A道的人數(shù)（設(shè)為2p）是B.C兩道的2倍，即PA=2PB=2PCABC2） 車道的寬度d不小于75cm.當d=75cm時，人推車恰好通過，且此時速度最小,等于50cm/s.車道每增寬1cm，通行速度增加2cm/s.若干道在110cm的基礎(chǔ)上繼續(xù)增寬，通行速率將不再增加.據(jù)以上四點計算當車道寬度各為多少時,相同人數(shù)全部通過車道用時最短.設(shè):當A道寬為(75+x)cm時，用時最省。因為：車道寬必須大于等于75cm，且A.B.C車道總寬為(85x3)cm，0<x<30此時，2p人通過A道的時間T(x)=2px6288 (0<x<30)A 50+2x其中2x為A道增加的寬度所對應(yīng)的速率增加值。同理，p人通過B或C道所用的時間TB(x)=TC(x)=px6288BC 50+2x心2(0<x<30)因為4p人同時通過A、B、C道，所以4p人全部通過的時間是TA(x)TB(x)TC(x)中較大的一個。ABC即max{T(x)、T(x)、T(x)}=6188xpxT(x).A B C21其中，T(x)=max{50丄2x 30-x}.50+2x50+2x x2所以最短時間即為：當xe［0,30］時T(x)的最小值。在［0,30］上考察函數(shù)T(x)，T(x)=2是減函數(shù)，Tb= 1 是增函數(shù)，a 50+2x b 30-x50+2x???當x滿足T（x）=T（x）時,T（x）達到最小值T（x）.0ab0解方程2 = 1 得x0=27.5（cm）50+2x50+2x30二 02???當A道寬為75+27.5=102.5（cm）,B、C道各寬75+1.25=76.25（cm）時,通過相同人數(shù)所用時間最短.二、分析問題（2）1） 若進入A左（或B左），則存車后需原路返回.據(jù)統(tǒng)計,在未出A左（或B左）之前約六人隨后進入A左（或B左）相遇,每與一人相遇,需停留t0（t0為擱放車所需時間），且在第七人未進入之前可出A左（或B左）。2） 若進入A中（或B中），則由E1進，E2出，不需停留?，F(xiàn)右存車帶長固定為860cm（不考慮右存車帶的變動），則左，中存車帶共長4556cm。試計算，當左，中存車帶長度之比為何時，通過相同的人數(shù)所用時間最少。據(jù)統(tǒng)計：1） 6:10—6:20通A左和A中的人數(shù)約為155人；通過B左和B中的人數(shù)約為78人。2） 在6:10之前約有400人已到校，占1400人的29%，所以可粗略的認為從各道口向內(nèi)延伸的0.4倍車道長已有車輛存放（如圖1交叉的陰影部分）。即6:10—6:20到校的學生至少需推車通過的0.4倍的車道長。3） 每人放車時間約15s。（注：C道臨存車區(qū)外部，不存在（2）中問題，不考慮）

設(shè)：左道長xcm,則中道長（4556-x）cm.由（2）的結(jié)論得出：A道通行速率為50+2x27.5=105^100cm/s;B道通行速率為52.5cm/Sv50cmS不推車速率為100cmS.又進入某車道存車的人數(shù)與該道長度成正比，???進A道存車所用時間TA=（進入時間+返回時間+停留時間+A左存車時間）X人數(shù)=（0.4x+0.4x+6X15+15）xxX155TOC\o"1-5"\h\z100 100 2 4556同理T=(空+業(yè)+6xE+15)x亠X78,B左100 100 2 4556T=(通行時間+存車時間)X人數(shù)=(4556-x+15)4556-xX155,A中 100 4556同理Tb中同理Tb中=[0.4x(4556-x)500.6x(4556-x)

1^0+15]X4556-xX78.4556?T左=Ta左+Tb左'T中=Ta左=Tb中與問題(1)同理，學生全部通過的時間為max{T(x),T(x)}左右設(shè)T(x)=max{T(x),T(x)}'當x滿足T(x)左 右 0 左=T(x)時，T(x)達到最小值T(x).右0解方程( 業(yè)+業(yè)+6xE+15 )1001002x4556x155+(0.4x

w0.4x

w+6x匕+15)x2x4556x155+(0.4x

w0.4x

w+6x匕+15)x2x4556x78二(4556-4556+15)x4556-x4556x155+[0.4x(4556一x)+50 *0.6x(4556-x)100+15]X4556-x4556x78.整理得0.466x2-41548.904x+70763573.31=0解得x=1737(cm)???左車道長(即左存車道長)為1737cm,中車道長為4556-1737=2819cm時，通過相同的人數(shù)用時最少。三、調(diào)整將A道加長至102.5cm,BC道相應(yīng)變窄。將左部的存車帶加長至1737cm,中部的存車帶縮短至2819m。調(diào)整后的存車區(qū)俯視平面圖如圖2所示。注：1)如圖1、圖2,存車區(qū)外向內(nèi)52cm的區(qū)域無車篷，故其最外層為車道。因此,按存車帶箭頭所示方向最佳。氣、E2所正對的存車帶1,其面積較小且不影響周圍車域的車輛存放,故在上述計算中忽略不計。由E2進入中車道的人數(shù)很少，忽略不