《振動力學(xué)》?精品課件合集振動力學(xué)

CAI單自由度系統(tǒng)自由振動2018年10月12日《振動力學(xué)》2單自由度系統(tǒng)自由振動轎車隔振器機(jī)床旋轉(zhuǎn)機(jī)械單自由度系統(tǒng)工程實例單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動工程實例衛(wèi)星調(diào)姿引起的帆板振動土壤基礎(chǔ)錘頭框架砧座彈性墊砧座和基礎(chǔ)土壤阻尼 土壤剛度鍛錘2018年10月12日《振動力學(xué)》4鍛錘敲擊后機(jī)器的振動教學(xué)內(nèi)容2018年10月12日《振動力學(xué)》5單自由度系統(tǒng)自由振動無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼5無阻尼自由振動令

x

為位移，以質(zhì)量塊靜平衡位置為原點，λ為靜變形受到初始擾動時，由牛頓第二定律，得：m

x

(t)

mg

k(

x(t))mg

k

靜平衡位置：固有振動或自由振動微分方程

：m

x

(t)

kx(t)

02018年10月12日《振動力學(xué)》單自由度系統(tǒng)自由振動

0 m

x靜平衡位置

彈簧原長位置k

0x靜平衡位置mk

彈簧原長位置2018年10月12日6單自由度系統(tǒng)自由振動牛頓（Sir

Isaac

Newton,

1642-1727）英國自然哲學(xué)家、劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)教授、英國皇家學(xué)會主席。他于1687年出版的論及物體運(yùn)動規(guī)律和條件的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書，被認(rèn)為是當(dāng)時最偉大的科學(xué)巨著。他的關(guān)于力、質(zhì)量和動量的定義以及三大運(yùn)動定律的相繼出現(xiàn)，構(gòu)成了動力學(xué)理論的基石。在國際單位制中，力的單位牛頓（N）就是用他的名字命名的?！墩駝恿W(xué)》20187單位：弧度/秒（rad/s）20x(t)

x(t)

0則有

：

1 2c2c2振幅

：A

1 2

1

tg (c /c

)初相位

：單自由度系統(tǒng)自由振動固有振動或自由振動微分方程

：m

x

(t)

kx(t)

0

通解

：

x(t)

cestc,

s:

待定系數(shù)i

1ms2

k

0特征方程s1,2

i

0特征根s1和s2都滿足特征方程，通解可寫為：s

t s

t1 21 2x(t)

Ae

A

e

Aei

t

A

e

i

t1 2A1,

A2:

常數(shù)e

cos

t

i

sin

t

i

t歐拉年公10式月1：2日

c1cos(

0t)

c2sin(

0t)

Asin(

0t

)k

/

m 固有頻率令

：

0

c1,

c2:

新常數(shù)，由初始條件決定《振動力學(xué)》m

x

(t)

kx(t)

0

k

m0

20x(t)

x(t)

0

A

c2

c21 22c

tg

1

c1x(t)

c1cos(

0t)

c2sin(

0t)

Asin(

0t

)單自由度系統(tǒng)自由振動xtA

0

0T

2

/

02018年10月12日《振動力學(xué)》9A

c2

c21 22c

tg

1

c1系統(tǒng)固有數(shù)值特征，與系統(tǒng)是否振動以及如何振動無關(guān)

0：非系統(tǒng)固有數(shù)字特征，與系統(tǒng)所受激勵和初始狀態(tài)有關(guān)A,

：x(t)

c1cos(

0t)

c2sin(

0t)

Asin(

0t

)單自由度系統(tǒng)自由振動m

x

(t)

kx(t)

0

k

m2018年10月12日《振動力學(xué)》100

20x(t)

x(t)

0

單自由度系統(tǒng)自由振動考慮系統(tǒng)在初始擾動下的自由振動x(t)

c1cos(

0t)

c2sin(

0t)

Asin(

0t

)零時刻初始條件：

x(0)

x0x

(0)

x

000

x2A

2

x

0 0x

0x

1

tg00000xsin(

t)

t)

x(t)

x

cos(零初始條件下的自由振動：0

Asin(

t

)0

0

2018年10月12日《振動力學(xué)》1102

x

c1

x0

, c

0000 0xsin(

t)

t)

x(t)

x

cos(0

Asin(

t

)無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以

0為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。初始條件的說明：單自由度系統(tǒng)自由振動初始條件下的自由振動：xtA

0

0T

2

/

0初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一

種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了 x

0彈性勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動能。2018年10月12日《振動力學(xué)》120000 0xsin(

t)

t)

x(t)

x

cos(0

Asin(

t

)單自由度系統(tǒng)自由振動初始條件下的自由振動：初始條件：x0

2, x

0

0固有頻率從左到右：

0

, 2

0

, 3

0時間位置2018年10月12日《振動力學(xué)》13無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以

0為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。m

x

(t)

kx(t)

0

k

m0

mg

k

靜平衡位置處：k

gm

0可得：對于不易得到

m

和

k

的系統(tǒng)，若能測出靜變形

，則用該式計算較為方便。單自由度系統(tǒng)自由振動固有頻率計算的另一種方式：0m

x靜平衡位置

彈簧原長位置k2018年10月12日《振動力學(xué)》14例：

礦用提升機(jī)系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)自由振動Wv絞車罐籠2018年10月12日《振動力學(xué)》152日例：

礦用提升機(jī)系統(tǒng)重物重

量 W

1.47

105

N鋼絲繩的彈簧剛度k

5.78

104N/cm重物以

v

15m

/

min 的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時：（1）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力單自由度系統(tǒng)自由振動Wv鋼絲繩有可能斷裂造成事故2012年甘肅白銀礦車鋼絲繩斷裂造成20人死亡2018年10月1《振動力學(xué)》162018年10月12日《振動力學(xué)》16W0

gk

19.6rad

/

s振動頻率重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置x

0

v00(cm)vx(t)

sin(

t)

1.28sin(19.6t)

00000xsin(

t)

t)

x(t)

x

cos(則

t

=

0

時，有：

x0

0振動解：單自由度系統(tǒng)自由振動解：W靜平衡位置kxWv00x(t)

v sin(

t)

1.28sin(19.6t) (cm)

繩中最大張力等于靜張力與動張力之和

：

2.21

105(N

)

1.47

105

0.74

105kA

W

kATmax

Ts動張力幾乎是靜張力的一半由于kA

k v

v km

0為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度。單自由度系統(tǒng)自由振動振動解：Wv分析：2018年10月12日《振動力學(xué)》18例：

重物落下與簡支梁做完全非彈性碰撞梁長

L，抗彎剛度

EJ求：梁的自由振動頻率和最大撓度單自由度系統(tǒng)自由振動mh0l/2l/2基礎(chǔ)土壤錘頭砧座彈性墊框架砧座和基礎(chǔ)土壤阻尼 土壤剛度鍛錘2018年10月12日《振動力學(xué)》19由材料力學(xué)

：48EJ3

mglg

自由振動頻率

：

0單自由度系統(tǒng)自由振動解：取平衡位置以梁承受重物靜平衡位置為坐標(biāo)原點靜變形

ml348EJ

mh0l/2l/2x

靜平衡位置2018年10月12日《振動力學(xué)》200

0

A

x202

x

梁的最大擾度：

max

A

0000xsin(

t)

t)

x(t)

x

cos(單自由度系統(tǒng)自由振動

2

2h

撞擊時刻為零時刻，則

t=0

時，有：x0

x

0

2gh自由振動振幅

：mh0l/2l/2x

靜平衡位置2018年10月12日《振動力學(xué)》0212018年10月12日《振動力學(xué)》21圓盤轉(zhuǎn)動慣量

I在圓盤靜平衡位置任選一根半徑作為角位移的起點位置I

(t)

k

(t)

0

0

k

/

I扭振固有頻率020(t)

(t)

單自由度系統(tǒng)自由振動例：圓盤轉(zhuǎn)動k

為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩

(N

m

/

rad

)k

I

由牛頓第二定律：汽輪機(jī)軸系扭振由上例可看出，除坐標(biāo)不同外，角振動與直線振動的數(shù)學(xué)描述完全相同。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將

m、k

稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的。m

x

(t)

kx(t)

0

0

k/

m單自由度系統(tǒng)自由振動I

(t)

k

(t)

0

0

k

/

Ik

I

0m

x靜平衡位置彈簧原長位置k2018年10月12日《振動力學(xué)》23單自由度系統(tǒng)自由振動從上兩例還可看出，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件。慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量；而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度的彈性體。同一個系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。

0

k/

m

0

k

/

I

kI

0m

x靜平衡位置彈簧原長位置km

x

(t)

kx(t)

02018年10月12日《振動力學(xué)》24I

(t)

k

(t)

0

2018年10月12日例：復(fù)擺單自由度系統(tǒng)自由振動mgI0a0C集裝箱碼頭龍門吊工廠行吊25《振動力學(xué)》海洋平臺塔吊2018年10月12日例：復(fù)擺剛體質(zhì)量

m對懸點的轉(zhuǎn)動慣量I0重心

C單自由度系統(tǒng)自由振動mg求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率0Ia0C26《振動力學(xué)》解：由牛頓定律

：I0

(t)

mga

sin

(t)

0微振動：sin

I0

(t)

mga

(t)

0mga/

I0固有頻率

：

0

若已測出物體的固有頻率

0

，則可求出I0，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：Ic

I0

ma2單自由度系統(tǒng)自由振動mgI0a0

C2018年實10驗月1確2日定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法《振動力學(xué)》272018年10月12日單自由度系統(tǒng)自由振動例：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動斜面傾角

300質(zhì)量

m=1kg彈簧剛度

k=49N/cm開始時彈簧無伸長，且速度為零m300k重力加速度取

9.8求：

系統(tǒng)的運(yùn)動方程28《振動力學(xué)》2018年10月12日《振動力學(xué)》單自由度系統(tǒng)自由振動解：x00

k/

m

49

102/1

70 (rad/

s)振動初始條件：0kx

mg

sin

300x

0.1

(cm)考慮方向0

280000xsin(

t)

t)

x(t)

x

cos(0初始速度：

x

0

0運(yùn)動方程： x(t)

0.1cos(70t)

(cm)m300k以靜平衡位置為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系振動固有頻率：如果系統(tǒng)豎直放置，振動頻率是否改變？教學(xué)內(nèi)容2018年10月12日《振動力學(xué)》30無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動dt2018年10月12日《振動力學(xué)》31d

T

V

0單自由度系統(tǒng)自由振動能量法對于不計阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，可利用能量守恒原理建立自由振動微分方程，或直接求出固有頻率無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒，即動能

T 和勢能V

之和保持不變

，即：T

V

const或：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)動能：12mx

2T

勢能：mgx（重力勢能）（彈性勢能）x

0k

(

x)dx

（T

V）

0dx

V

mgx

0k

(

x)dx(m

x

kx)x

0x

不可能恒為

0m

x

(t)

kx(t)

0單自由度系統(tǒng)自由振動22

mgx

k

x

1

kx2

1

kx20m

x靜平衡位置mg

k

彈簧原長位置k零勢能點T

V

1

mx

2

1

kx22 22018年d1t0月12日《振動力學(xué)》32能量法能做：（1）列方程，（2）求固有頻率2018年10月12日3212動能： T

mx

2x

kxdx勢能： V

mgx0dtd (T

V

)

0設(shè)新坐標(biāo)ky

x

mgm

x

(t)

kx(t)

mgm

y

(t)

ky(t)

0單自由度系統(tǒng)自由振動1

mgx

kx22m

x

x

mgx

kxx

0

x

mxk如果將坐標(biāo)原點不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長時的位置 0 零勢能點

y靜平衡位置彈簧原長如果重力的影響僅是改變了慣性元件的靜平衡位置，那么將坐標(biāo)原點取在靜平衡位《置振上動力，學(xué)方》程中就不會出現(xiàn)重力項33考慮兩個特殊位置上系統(tǒng)的能量靜平衡位置上，系統(tǒng)勢能為零，動能達(dá)到最大122maxVmax

0mxTmax

最大位移位置，系統(tǒng)動能為零，勢能達(dá)到最大2maxmax2V

kxTmax

01T

V

const《振0

動力學(xué)》2

018年

10月k12/日mmax

xx

單自由度系統(tǒng)自由振動Tmax

Vmax

0

max0 max對于轉(zhuǎn)動：

max

0

mx靜平衡位置k靜平衡位置

最大位移位置xmax0mxk2max2max1212kxmx

例：如圖所示倒置擺單自由度系統(tǒng)自由振動lamk/2k/22018年10月12日《振動力學(xué)》35例：如圖所示倒置擺擺球質(zhì)量

m每個彈簧的剛度剛桿質(zhì)量忽略k2求:倒擺作微幅振動時的固有頻率擺球

m

0.9kg 時，測得頻率

f

為

1.5HZ，

m

1.8kg時，測得頻率為

0.75HZ

，問擺球質(zhì)量為多少千克時恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？單自由度系統(tǒng)自由振動lamk/2k/22018年10月12日《振動力學(xué)》362018年10月12日《振動力學(xué)》36解法1：廣義坐標(biāo)

動能T

1I

2

1ml

2

22 2 勢能maxmaxT

U0 maxmax

ml

2

0

零勢能位置11 12

2

2

k (

a)

mgl(1

cos

)V

2

零勢能位置1

單自由度系統(tǒng)自由振動

2

1ka2

2

mgl

1

1

2

sin

2 2

1(ka2

2

mgl

2)

1(ka2

mgl)

22 2lamk/2k/22maxmax2 22ka2

mgl12ml

1(ka2

mgl)

37解法2：零勢能位置2動能2121T

I

2

ml

2

2勢能1 12k (

a)

mgl

cos

2

2

V

2

dtd

T

U

02ml

2

2

(ka2

mgl)

02ml

2

2(ka2

mgl)

00ml

2ka2

mgl

零勢能位置2

單自由度系統(tǒng)自由振動

2

1

ka2

2

mgl

1

2

sin

2

22 221ka

mgl

mgl

2

1222

(ka22018年10月12日《振動力學(xué)》1mgl)

mgllamk/2k/2列方程，求頻率單自由度系統(tǒng)自由振動例：均質(zhì)圓柱質(zhì)量m，半徑R與地面純滾動在A、B點掛有彈簧確定系統(tǒng)微振動的固有頻率k1abR2018年10月12日《振動力學(xué)》39k1k2k2AB單自由度系統(tǒng)自由振動解：k1abRk1k2k2AB廣義坐標(biāo)：圓柱微轉(zhuǎn)角

圓柱做一般運(yùn)動，由柯希尼定理，動能：2232 2

T

1

( mR )

C點為瞬心勢能：CA點速度：

vAB點速度：

vB

(R

a)

(R

b)

xA

(R

a)

xB

(R

b)

2 222 2112(2k

)(R

b)

12(2k

)(R

a)

U

2018年10月12日《振動力學(xué)》402018年10月12日單自由度系統(tǒng)自由振動解：k1abRk1k2k2AB2 21 3( mR

2)

2動能：

T

勢能：C2 222 2112(2k

)(R

b)

12(2k

)(R

a)

U

max

0

maxTmax

U

max,) ]42222203m 1 2 3mR2/

2bR)

k2(1aR

[k1

(12[k

(R

a)

k

(R

b)

]

42 21 20a b[k

(1

)

k

(1

)

]

3mRR41《振動力學(xué)》單自由度系統(tǒng)自由振動k2k1RMm例：鉛垂面內(nèi)滑輪-質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)人工葫蘆2018年10月12日《振動力學(xué)》42電動葫蘆單自由度系統(tǒng)自由振動確定系統(tǒng)微振動的固有頻率滑輪為勻質(zhì)圓柱

，繩子不可伸長，且與滑輪間無滑動，繩右下端與地面固結(jié)。k1Rk2Mm2018年10月12日《振動力學(xué)》43例：鉛垂面內(nèi)滑輪-質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)k1Rk2Mm單自由度系統(tǒng)自由振動解：廣義坐標(biāo)：質(zhì)量塊的垂直位移

xx222 22 2 22R( MR )(x

)2

1 1

1 1動能：

T

1

mx

2 M

( x)

1(m

1M

1M

)x

22 4 8

1

(m

3

M

)x

22 821221 12 212k

(

x)k x

U

勢能：

1k

)x2212018年10月12日2《振動力學(xué)》444

1

(kk1Rk2Mm單自由度系統(tǒng)自由振動解：廣義坐標(biāo)：質(zhì)量塊的垂直位移

xx1 32(m

M

)x

2動能：

T

212k

)x8

14勢能：

U

1

(k202k1

8k23M

8m

2Tmax

U

max,x

max

0

xmax02018年10月12日《振動力學(xué)》453M

8m2k1

8k2

教學(xué)內(nèi)容2018年10月12日《振動力學(xué)》46無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動mkx0單自由度系統(tǒng)自由振動瑞利法

利用能量法求解固有頻率時，對于系統(tǒng)的動能的計算只考慮了慣性元件的動能，而忽略不計彈性元件的質(zhì)量所具有的動能，因此算出的固有頻率是實際值的上限

這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高2018年10月12日《振動力學(xué)》47設(shè)彈簧的動能:221t t

T

m

x系統(tǒng)最大動能：2max1212m

xmx2t max

Tmax

系統(tǒng)最大勢能：2maxmax21V

kxtkm

m0x

max

0

xmax

t0若忽略

m

，則

增大單自由度系統(tǒng)自由振動例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)122t max

(m

m

)x

mt彈簧等效質(zhì)量mtmkx02018年10月12日因此忽略彈簧動能所算出的固有頻率是實際值的上限47《振動力學(xué)》教學(xué)內(nèi)容2018年10月12日《振動力學(xué)》48無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動212M xe

T

221eV

K

x當(dāng)

x

、x分別取最大值時：則可得出：T

TmaxV

Vmax

0

Ke/

Me2等018效年1的0月1含2日義是指簡化前后的系統(tǒng)的動能和勢能分別相等《振動力學(xué)》49Ke：簡化系統(tǒng)的等效剛度Me：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量單自由度系統(tǒng)自由振動等效質(zhì)量和等效剛度方法1：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動能、勢能寫成如下形式：2動能 T

1ml

2

2勢能0ml

2ka2

mgl

V

1(ka2

mgl)

2eM

ml

22Ke

ka

mgl2單自由度系統(tǒng)自由振動零勢能位置1

lamk/2k/22018年10月12日《振動力學(xué)》50單自由度系統(tǒng)自由振動k1baR

k1k2k2AB動能勢能2 2T

1(3

mR2)

232mR2eM

2月《振動力學(xué)》512 21 221

U

[(2k)(R

a)

(2k )(R

b) ]K

(2k)(R

a)2

(2k )(R

b)2e 1 22 1 2 202018年10

12日3mR2/

22[k(R

a)

k (R

b)2

]

單自由度系統(tǒng)自由振動k1Rk2Mmx動能勢能T

1(m

3M

)x

22 8212142k

)xU

1

(k

202k1

8k23M

8m

2018年10月e8M

m

3

M2 112日《振動力學(xué)》524eK

k

1

k方法2：定義法2018年10月12日《振動力學(xué)》53等效剛度：使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效剛度等效質(zhì)量：使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效質(zhì)量單自由度系統(tǒng)自由振動2018年10月12日54例：串聯(lián)系統(tǒng)11k22k2121

(

1

1

)P總變形：

k kk1k2eK

P

k1

k22Ke k1 k1

1

1在質(zhì)量塊上施加力

P彈簧1變形：

P彈簧2變形：

P根據(jù)定義：或Pmk1k2單自由度系統(tǒng)自由振動使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施《加振動的力學(xué)力》，叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效剛度55例：并聯(lián)系統(tǒng)兩彈簧變形量相等：

受力不等：

P1

k1

P2

k2

在質(zhì)量塊上施加力

P由力平衡：P

P1

P2

(k1

k2

)

21根據(jù)定義：

Ke

P

k

k

Pmk1k2單自由度系統(tǒng)自由振動mk1k2并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個彈簧剛度的總和使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施20加18年的10力月12，日

叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效剛度《振動力學(xué)》例：杠桿系統(tǒng)杠桿是不計質(zhì)量的剛體求：系統(tǒng)對于坐標(biāo)

x

的等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動k1k2m1m2l1l2l3x2018年10月12日《振動力學(xué)》57解法1：能量法動能：2211 l22 2 l1x

)T

m1

x

m2

(勢能：12212k

( x)1

1 l32 lV

k

x1l

2l

2Me

m1

2

m2211l

2l

2e

3

kee0

K /

M單自由度系統(tǒng)自由振動2121l

2l

2

(m1

2

m2

)x

212l

2l(k1

3

k2

)x2

12等效質(zhì)量：等效剛度：

K

k固有頻率：k1k2m1m2l1l2l3x2018年10月12日《振動力學(xué)》58解法2：定義法設(shè)使系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力P2121 1 1 2llPl

(m

1)l

(m

)l21l

2l

2e 1M

P

m

2

m3131 1 1llPl

(k

1)l

(k

)l2223kl

2lKe

P

k1

單自由度系統(tǒng)自由振動1 2則在m

、m

上產(chǎn)生慣性力，對支座取矩：設(shè)使系統(tǒng)在x坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移需要施加力P則在k1、k2處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，對支點取矩：122llP

m

m1

1

x

1k1

112llk

3Px

1k1k2m1m2l1l2l3x2018年10月12日《振動力學(xué)》159教學(xué)內(nèi)容2018年10月12日《振動力學(xué)》60無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動阻尼自由振動實際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，存在各種各樣的阻力振動中將阻力稱為阻尼：摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法，但是實際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定最常用的一種阻尼力學(xué)模型是粘性阻尼例如：在流體中低速運(yùn)動或沿潤滑表面滑動的物體，通常就認(rèn)為受到粘性阻尼2018年10月12日《振動力學(xué)》61粘性阻尼力與相對速度稱正比，即：Pd

cvc：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù)單位：

N

s

/

m動力學(xué)方程：

m

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

020 0x(t)

2

x(t)

x(t)

0

或?qū)憺椋?/p>

k

m02018年10

12日

c 2 km固有頻率相對阻尼系數(shù)mkc單自由度系統(tǒng)自由振動建立平衡位置，并受力分析xmm

x

0kx cx

0月《振動力學(xué)》62m

c

2

動力學(xué)方程：20 0x(t)

2

x(t)

x(t)

0

k

m

0

c 2 km

令： x

e

t特征方程：2002

0

2

特征根：02018年10月12日《振動力學(xué)》6301,2

2

1三種情況：

1欠阻尼

1過阻尼

1臨界阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動第一種情況：欠阻尼

120

0動力學(xué)方程：

x(t)

2

x(t)

x(t)

特征方程：20020

2

0特征根：1,2

2

10 0

1,2

0

i

d特征根：1

22018年10月12日《振動力學(xué)》64

d

0阻尼固有頻率有阻尼的自由振動頻率0d(c1cos

dt

c2

sin

t)x(t)

e

t振動解：c1、c2：初始條件決定單自由度系統(tǒng)自由振動兩個復(fù)數(shù)根

1

欠阻尼

1

過阻尼

1

臨界阻尼210dd(c

cos

t

c

sin

t)欠阻尼

1x(t)

e

t振動解：設(shè)初始條件：x(0)

x0x

(0)

x

0dsin

d

t)

0x0(x0cos

dt

x(t)

e

0tx

0則：x(t)

e

0tAsin(

t

)d或：2020 0

)d

A

x0

(x

x x0

d

0x02018年10月12日《振動力學(xué)》65

tg

1x

0單自由度系統(tǒng)自由振動欠阻尼

1阻尼固有頻率

d

0 1

2阻尼自由振動周期：d

dT0：無阻尼自由振動的周期阻尼自由振動的周期大于無阻尼自由振動的周期單自由度系統(tǒng)自由振動0

1

201

2T

2

2

T 02018年10月12日《振動力學(xué)》6600 0 0

t

)Asin(

sin

t)

ex

x振動解：

x(t)

ed

tdd(x0cos

dt

t

Ae

0t

Ae

0tTdtAA0響應(yīng)圖形單自由度系統(tǒng)自由振動000 00

t

)Asin(

sin

t)

e

xx振動解：

x(t)

ex(t)d

tdd(x0cos

dt

t

ξ=0

ξ<1時間位置欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動2018年10月12日《振動力學(xué)》67欠阻尼

1響應(yīng)圖形單自由度系統(tǒng)自由振動000 00

t

)Asin(

sin

t)

e

xxd

tdd(x0cos

dt

t

ξ<1

ξ=0Ae

0t

Ae

0tTdt振動解：

x(t)

ex(t)AA0動畫3欠阻尼

1欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動2018年10月12日《振動力學(xué)》68單自由度系統(tǒng)自由振動不同阻尼大小的振動衰減情況：阻尼?。鹤枘岽蟛煌枘?，振動衰減的快慢不同阻尼大，則振動衰減快阻尼小，則衰減慢2018年10月12日《振動力學(xué)》682018年10月12日

i

1

i 征反映在特征方程的特征根的實部和虛部與

t

無關(guān)，任意兩個相鄰振幅之比均為衰減振動的頻率為

d，振幅衰減的快慢取決于

0

，這兩個重要的特

1,2

0

i

d減幅系數(shù)單自由度系統(tǒng)自由振動定義為相鄰兩個振幅的比值：

Ae

0tiAe

0(ti

Td)

e

0Td000 0 0

Asin(

t

)sin

t)

ex

xx(t)

ed

td(x0cos

dt

t

Ae

0td70《振動力學(xué)》

0tAeTdtx(t)A評價阻尼對振幅衰減快慢的影響A0

i 0

di

1

T

e

0(ti

Td

)Ae

0ti

Ae減幅系數(shù)：含有指數(shù)項，不便于工程應(yīng)用實際中常采用對數(shù)衰減率

：單自由度系統(tǒng)自由振動Ae

0t

Ae

0tTdtx(t)AA00

1-

22

ln

0Td

01-

22

小阻尼情況

1

2

0

0.3

區(qū)間內(nèi)兩條曲線很接近00 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.914540353025精確近似

2018年10月12日《振動力學(xué)》71

2015105對數(shù)衰減率

：

2

1-

2單自由度系統(tǒng)自由振動Ae

0t

Ae

0tdTtx(t)AA0

2

小阻尼情況

1

(2

)2

22

只要知道

，即可得到

對于一個阻尼未知的系統(tǒng)，可以通過實驗測量相差一個周期的兩個位移x1和x2，對x1和x2取自然對數(shù)即可得到衰減率，進(jìn)而可得阻尼系數(shù)。2018年10月12日《振動力學(xué)》7272實驗求解

利用相隔

j

個周期的兩個峰值

進(jìn)行求解

i

j

ij

i

j取自然對數(shù)：

ln

1

ln

i

ln

ln

i

1

i單自由度系統(tǒng)自由振動

(

i )(

i

1

)

(

i

j

1

)

i

1

i

2

i

j

j0

d

T

e

i2018年10月12

日

《振動力學(xué)》

i

1Ae

0t

Ae

0tdTtx(t)AA0在測得相隔

j 個周期的兩個位移并取自然對數(shù)后，可得衰減率，進(jìn)而可得阻尼系數(shù)

(2

)2

22

2018年10月12日《振動力學(xué)》73第二種情況：過阻尼

1020

x(t)

x(t)

動力學(xué)方程：

x

(t)

2特征方程：20020

2

0特征根：001,2

2

1*0

1,2

特征根：0

1

2

*

兩個不等的負(fù)實根振動解：c1、c2：初始條件決定*2*10c sh

t)(cch

t

x(t)

e

t單自由度系統(tǒng)自由振動ex

e

xshx

22ex

e

xchx

1

欠阻尼

1

過阻尼

1

臨界阻尼振動解：設(shè)初始條件：x(0)

x02x

(0)

x

0* *10(cch

t

c sh

t)過阻尼

1x(t)

e

t0*0x

*

0x0

sh

*t)(xch

t

則： x(t)

e

t

一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生單自由度系統(tǒng)自由振動響應(yīng)圖形0x(t)2018年10月12日《振動力學(xué)》75x0t0第三種情況：臨界阻尼

1動力學(xué)方程：20

0x(t)

2

x(t)

x(t)

特征方程：20020

2

0特征根：02018年10月12日《振動力學(xué)》7601,2

2

1

1,2

0特征根：二重根振動解：c1、c2：初始條件決定0x(t)

e (c1

c2t)

t單自由度系統(tǒng)自由振動

1

欠阻尼

1

過阻尼

1

臨界阻尼振動解：10(c

c

t)x(t)

e

t

1臨界阻尼x(0)

x02x

(0)

x

0則：也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動，但比過阻尼衰減快些

0x0)t]x(t)

e

0t

[x

(x

0 0

c 2 kmcr臨界阻尼系數(shù)

ccrc

2

km單自由度系統(tǒng)自由振動設(shè)初始條件：響應(yīng)圖形x(t)2018年10月12日《振動力學(xué)》77x0t0t2018年10月12日《振動力學(xué)》78x(t)

0.2

1.4

1三種阻尼情況比較：

1

1欠阻尼

1過阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動，但比過阻尼衰減快些小結(jié)：m

x

(t)

cx

(t)

kx(t)

0

1

欠阻尼

1

過阻尼

1

臨界阻尼0 0 00ddsin

t)

x

x(x0cos

dt

x(t)

e

t

0

1

2d0*00x

*

0x0

sh

*t)(xch

t

x(t)

e

t

0

1

2

*

按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動x(t)

e

0t

[x

(x

x

)t]0 0 0 0ccr2018年10月12日《振動力學(xué)》79

2

km按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動，比過阻尼衰減快振幅衰減振動例：阻尼緩沖器靜載荷

P

去除后質(zhì)量塊越過平衡位置的位移為初始位移的

10％求：緩沖器的相對阻尼系數(shù)

單自由度系統(tǒng)自由振動kcx0x0Pm平衡位置2018年10月12日《振動力學(xué)》802018年10月12日80解：由題知 x

(0)

0設(shè)

x(0)

x00 0 00ddsin

t)

x

x(x0cos

dt

x(t)

e

t

求導(dǎo)

：dd

e sin

t0

2x 0 0

tx(t)

設(shè)在時刻

t1

質(zhì)量越過平衡位置到達(dá)最大位移，此時速度：0

1d1dsin

t

0

2

x

tx

(t)

0 0

ed

t

1即經(jīng)過半個周期后出現(xiàn)第一個振幅

x1

1

2

x0ex1

x(t1)

x0e

0t1單自由度系統(tǒng)自由振動kcx0x0Pm平衡位置《振動力學(xué)》由題知

10%

1

2

ex0x1解得：

0.590

12018年10月12日《振動力學(xué)》820011

1

2

x

e

x

ex

x(t

)

t單自由度系統(tǒng)自由振動例：單自由度系統(tǒng)自由振動求：寫出運(yùn)動微分方程臨界阻尼系數(shù)，阻尼固有頻率小球質(zhì)量

m剛桿質(zhì)量不計lakcmb2018年10月12日《振動力學(xué)》8383單自由度系統(tǒng)自由振動無阻尼固有頻率：m

解：

廣義坐標(biāo)

力矩平衡：m

(t)l

l

c

(t)a

a

k

(t)b

b

0ml

2

(t)

ca2

(t)

kb2

(t)

00kb2

b kml

2 l m

2

0ml

2ca20ca2

2ml

2

2

ca m2mlb k0阻尼固有頻率：

d14kmb2l

22ml

2c2a41

2

2018年10

月1

21日《振動力學(xué)》mkccra2

2bl受力分析c

ak

bm

l20 0x

2

x

x

0

m

x

cx

kx

0lakcmb教學(xué)內(nèi)容2018年10月12日《振動力學(xué)》85無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動等效粘性阻尼阻尼在所有振動系統(tǒng)中是客觀存在的大多數(shù)阻尼是非粘性阻尼，其性質(zhì)各不相同非粘性阻尼的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜處理方法之一：采用能量方法將非粘性阻尼簡化為等效粘性阻尼原則：等效粘性阻尼在一個周期內(nèi)消耗的能量等于要簡化的非粘性阻尼在同一周期內(nèi)消耗的能量2018年10月12日《振動力學(xué)》862018年10月12日《振動力學(xué)》86單自由度系統(tǒng)自由振動通常假設(shè)在簡諧激振力作用下非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然為簡諧振動該假設(shè)只有在非粘性阻尼比較小時才是合理的

粘性阻尼在一個周期內(nèi)消耗的能量

E

可近似地利用無阻尼振動規(guī)律計算出：x(t)

Asin(

0t

)

E

cx

dx

0

T T0022 20cos (

t

)dtcxdt

c

A2 20

c

A目的是為了采用該式計算等效粘性阻尼系數(shù)—

討論以下幾種非粘性阻尼情況：干摩擦阻尼

平方阻尼結(jié)構(gòu)阻尼2018年10月12日《振動力學(xué)》87單自由度系統(tǒng)自由振動（1）干摩擦阻尼0

E

c

2

A2庫侖阻尼摩擦力：Fd

FNsgn

x

(t)：摩擦系數(shù)FN

：正壓力sgn

x

：符號函數(shù)

1,x

(t)

0x

(t)

0x

(t)

0

1,sgn

x

(t)

,

0摩擦力一個周期消耗能量：

E

4

FN

A等效粘性阻尼系數(shù)：

0

A4

FNce

em

x

cx

kx

0m

x

Nsgn(x

)

kx

0 k 0mx2018年10月12日《振動力學(xué)》單自由度系統(tǒng)自由振動2d d

F

c x (t)

sgnx(t) cd

：阻力系數(shù)等效粘性阻尼系數(shù)：（2）平方阻尼工程背景：低粘度流體中以較大速度運(yùn)動的物體阻尼力與相對速度的平方成正比，方向相反阻尼力：在運(yùn)動方向不變的半個周期內(nèi)計算耗散能量，再乘2：

d

E

c x (t)

sgnx(t)dx2

3

2T/

4

T/

4dc x (t)dt

2 238d 0

c

Ae d 03

c

8 c

A0x(t)

Asin(

t

)

880

E

c

2

A2mx

cx

kx

0e

89單自由度系統(tǒng)自由振動等效粘性阻尼系數(shù)：2018年10月12日內(nèi)摩擦所耗散的能量等于滯回環(huán)所圍的面積：

E

A2：比例系數(shù)0

ec

加載和卸載沿不同曲線應(yīng)變《振動力學(xué)》加載卸載00（3）結(jié)構(gòu)阻尼由于材料為非完全彈性，在變形過程中材料的內(nèi)摩擦所引起的阻尼稱為結(jié)構(gòu)阻尼應(yīng)力特征：應(yīng)力－應(yīng)變曲線存在滯回曲線

E

c

2

A2em

x

cx

kx

0單自由度系統(tǒng)自由振動庫倫摩擦單自由度系統(tǒng)自由振動的精確分析庫倫（Charles

Augustin

de

Coulomb,

1736-1806）法國物理學(xué)家、軍事工程師。1779年，總結(jié)其早年關(guān)于靜力學(xué)和機(jī)械學(xué)工作的論文集《簡單機(jī)械原理》面世，其描述的摩擦力與正壓力成正比的關(guān)系，即人們熟知的庫倫摩擦定理。1784年，他得到了剛體微幅扭振問題的精確解。他因提出電磁力的計算公式而廣為人知。在國際的單位制中，電荷的單位庫倫就是用他的名字命名的。2018年10月12日《振動力學(xué)》91 k 0mx平衡位置單自由度系統(tǒng)自由振動庫倫摩擦單自由度系統(tǒng)自由振動的精確分析在許多機(jī)械系統(tǒng)中，為了簡單與方便經(jīng)常采用庫倫摩擦：動摩擦系數(shù)N：法向力F

N摩擦自由振動問題兩種情形mWkxμN(yùn)情形1mx

kxN N情形1：x和dx/dt都為正；或x為負(fù)，dx/dt為正。物體從左向右運(yùn)動的半個周期。情形2：x為正，dx/dt為負(fù)；或x和dx/dt都負(fù)。物體從右向左運(yùn)動的半個周期。Wx

μN(yùn)情形22018年10月12日《振動力學(xué)》92動力學(xué)方程：m

x

kx

N二階非齊次微分方程k1 0 2 0通解： x(t)

Acos

t

Asin

t

N

0

k/

m振動固有頻率A1和A2為常數(shù)，由這半個周期的初始條件確定m

x

kx

NmNx

μN(yùn)k3 0 4 0x(t)

Acos

t

Asin

t

N k 0mmN2018年10月12日《振動力學(xué)》93A3和A4為常數(shù)，由這半個周期的初始條件確定kxμN(yùn)x

kxx

情形1 W 情形2 W單自由度系統(tǒng)自由振動情形1：x和dx/dt都為正；或x為負(fù)，dx/dt為正。物體從左向右運(yùn)動的半個周期情形2：x為正，dx/dt為負(fù)；或x和dx/dt都負(fù)。物體從右向左運(yùn)動的半個周期。2018年10月12日93單自由度系統(tǒng)自由振動情形1：

m

x

kx

N情形2：

m

x

kx

N

N

/

k可以看做常力

N

以靜載荷方式作用在質(zhì)量塊上時彈簧產(chǎn)生的虛位移。這兩式同時表明，在每一個半周期中運(yùn)動都是簡諧的，只是對應(yīng)的平衡位置從

N

/

k

變?yōu)?/p>

-

N

/

k

。 k 0

m

x

tx(t)x0

Nk0

02

0

03

4

0

Nk

Nkt

Nk0

02

0

03

0

4

Nk

Nk由左向右《振動力學(xué)》由右向左2018年10月12日94單自由度系統(tǒng)自由振動k0x0

mxmNWkxμN(yùn)x

情形1情形1：

m

x

kx

N

情形2：

m

x

kx

N mkxN《振動力學(xué)》Wx

μN(yùn)情形2m

x

N

sgn(

x

)

kx

0

x

0x

0

1 x

0

1sgn(x

)

0非線性方程可以分段求解無解析解單自由度系統(tǒng)自由振動k0mxx0情形1：

m

x

kx

N假定初始條件：0x

(t

0)

0x(t

0)

x

，k

NA

x034A

0k1 0 2 0x(t)

Acos

t

Asin

t

Nk3 0 4 0x(t)

Acos

t

Asin

t

Nk k0 0x(t)

(x

N

)cos

t

N0在半周期內(nèi)成立

0

t

/

t

/

0

時質(zhì)量塊到達(dá)最左端位置：0 01 0k k

2

N

)kx

x(t

)

(x

N

)cos

t

N

(xx1質(zhì)量塊由右向左運(yùn)動情形√2√：

m

x

kx

N02018年10月12日《振動力學(xué)》952018年10月12日《振動力學(xué)》96單自由度系統(tǒng)自由振動0 001 0k

2

N

)kx

x(t

)

(x

N

)cos

t

N

(x0

2

N

)k(x半個周期位移大小的減小量：k k2

N

2

N00)

x

(x

情形√2：

m

x

kx

N情形？1：

m

x

kx

N質(zhì)量塊由左向右運(yùn)動k0mxx0x1質(zhì)量塊由右向左運(yùn)動tx(t)kx0

Nk00

0

2

03

4

0

Nk

Nk2018年10月12日單自由度系統(tǒng)自由振動第二個半周期內(nèi)，前一個半周期終止時刻的運(yùn)動情況是這半個周期的初始條件：k0mxx0x1質(zhì)量塊由左向右運(yùn)動k1 0 2 0情形1：

m

x

kx

N x(t)

Acos

t

Asin

t

N0kx

(t

0)

0x(t

0)

(x

2

N

),2k

A1

x0 A

0

3

N

,k k98《振動力學(xué)》0 0x(t)

(x

3μN(yùn)

)

cos

ω

t

μN(yùn)00在半周期內(nèi)成立

/

t

2

/

在這半個周期的最后時刻的位移和速度：2 0kx

x

4

N

，

x

0單自由度系統(tǒng)自由振動在這半個周期的最后時刻的位移和速度：2 0kx

x

4

N

，

x

0x0

4

Nk這又是第三個半周期的初始條件。這樣計算可一直重復(fù)下去，直到運(yùn)動結(jié)束。情形1：

m

x

kx

Nk0mxx0x1質(zhì)量塊由左向右運(yùn)動rx

N

/

k

時：恢復(fù)力

kx

將小于摩擦力μN(yùn)運(yùn)動停止！2018年10月12日0

2

N

)k(xtx(t)x0

Nk0

0

0

2

03

4

099《振動力學(xué)》

Nk

Nk單自由度系統(tǒng)自由振動在運(yùn)動終止前，發(fā)生的半個周期的個數(shù)

r

為

： k 0mxx0x

r2

N

Nk k0kkx2

N0

Nr

x0

4

Nk0

2

N

)k(xtx