福建省福州市閩侯縣2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分，每小題只有一個正確的選項，請在答題卡的相應(yīng)位置填涂）1．（4分）現(xiàn)實世界中，對稱現(xiàn)象無處不在．以下銀行圖標(biāo)是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．12cm，13cm，19cm C．7cm，8cm，15cm D．5cm，5cm，12cm3．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（﹣3，5）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是（）A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5）4．（4分）如圖，△ABC≌△DCB，若AC＝8，則DE的長為（）A．8 B．5 C．13． D．35．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝55°，DE∥AB，則∠DEC等于（）A．62° B．55° C．63° D．117°6．（4分）下列圖形對稱軸最多的是（）A．正方形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．線段7．（4分）如圖，用尺規(guī)作圖作∠AOC＝∠AOB的第一步是以點O為圓心，以任意長為半徑畫?、?，那么第二步的作圖痕跡②的作法是（）A．以點F為圓心，OE長為半徑畫弧 B．以點F為圓心，EF長為半徑畫弧 C．以點E為圓心，OE長為半徑畫弧 D．以點E為圓心，EF長為半徑畫弧8．（4分）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任一點（）A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分CC' C．△ABC與△A'B'C'周長相等 D．直線AB、A'B'的交點不一定在MN上9．（4分）如圖，△ABC的三邊AB，BC，10，12，則S△ABO：S△BCO：S△ACO的比值為（）A．1：1：1 B．2：3：4 C．4：5：6 D．2：3：510．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC（1）分別以B，C為圓心，兩弧交于點D；（2）連接DB、DA、DC，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AD垂直平分BC B．若∠BAC＝120°，則DE＝4AE C．S四邊形ABDC＝AD?BC D．若∠BAC＝60°，則BC垂直平分AD二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分，請將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）11．（4分）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝4∠C．12．（4分）如果一個正多邊形的每一個內(nèi)角度數(shù)都是120°，則該正多邊形的邊數(shù)為．13．（4分）如圖，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD．（填寫一個即可）14．（4分）如圖所示，點P為∠AOB內(nèi)一點，分別作出P點關(guān)于OA1，P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝9cm，則△PMN的周長為cm．15．（4分）如圖，△ABC中，AB＝AC，交AB于E，且BD平分∠ABC度．16．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝13，若M，N為邊BC，那么CN+MN的最小值為．三、解答題（共9小題，滿分86分）17．（8分）已知一個多邊形的邊數(shù)為n．（1）若n＝6，求這個多邊形的內(nèi)角和．（2）若這個多邊形的內(nèi)角和的為300°，求n的值．18．（8分）如圖，點C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，D在BC異側(cè)，AB∥CD，∠A＝∠D，求證：△ABE≌△DCF．19．（8分）如圖，在△ABC中，以點B為圓心，交BC邊于點D，連接AD．若∠B＝44°，求∠ADB和∠DAC的度數(shù)．?20．（8分）如圖，已知△ABC的三個頂點分別為A（2，6），B（3，3），C（﹣2，1）．（1）請在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸的軸對稱圖形△DEF．（點A，B，C的對應(yīng)點分別是D，E，F(xiàn)），并直接寫出D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)．（2）已知，求四邊形BCFE的周長．21．（8分）證明：如果兩個三角形有兩條邊和其中一條邊上的高分別相等，那么這兩個三角形全等．（請根據(jù)圖形，用符號語言表示出已知和求證，并寫出證明過程．）22．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）用直尺和圓規(guī)在AC上作點P，連接BP，使得AP＝BP．（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）在（1）的條件下，若點P分別到AB和BC的距離相等23．（10分）如圖，在△ABC中，AC＞BC，點D是AB邊上一點，且CD＝CB，與AC交于點F，過點C作CG⊥BD（1）求證：∠BCD＝2∠ABF；（2）判斷△BCF的形狀，并說明理由．24．（12分）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點E是射線CB上的動點．（1）如圖1，當(dāng)點E在線段CB的延長線上時，連接AE，AE＝AB＝BC，則∠BAD的度數(shù)為．（2）如圖2，∠ABC＞∠ACB，點P在線段AD的延長線上，并證明．（3）如圖3，當(dāng)∠DAE＝90°，∠BAC＝30°時，請求出∠ADB的度數(shù)．25．（14分）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，作點A關(guān)于直線CH的對稱點D，連接AD，CD，其中BD交直線CH于點E（45°＜α＜90°）（1）設(shè)△ABE，△ADE，△ABD的周長分別為m，n，k；（用m，n，k表示）（2）試探究∠ADB的大小是否會隨著α的改變而改變？如果改變，請用含α的式子表示其大??；如果不變；（3）若CE＝4，試說明△ACE的面積和△BCE的面積滿足S△ACE﹣S△BCE＝8．

參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分，每小題只有一個正確的選項，請在答題卡的相應(yīng)位置填涂）1．（4分）現(xiàn)實世界中，對稱現(xiàn)象無處不在．以下銀行圖標(biāo)是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的知識得出結(jié)論即可．【解答】解：ABD選項中的圖形都不是軸對稱圖形，C選項中的圖形是軸對稱圖形，故選：C．【點評】本題主要考查軸對稱圖形的知識，熟練掌握軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．2．（4分）下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．12cm，13cm，19cm C．7cm，8cm，15cm D．5cm，5cm，12cm【分析】在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形，由此即可判斷．【解答】解：A、3+4＜2，4cm，故A不符合題意；B、12+13＞19，13cm，故B不符合題意；C、7+6＝15，8cm，故C不符合題意；D、5+5＜12，5cm，故D不符合題意．故選：B．【點評】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理．3．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（﹣3，5）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是（）A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5）【分析】關(guān)于x軸對稱的兩點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．【解答】解：∵關(guān)于x軸對稱的兩點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)∴點P（﹣3，5）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是（﹣8．故選：D．【點評】本題主要考查的是關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點的坐標(biāo)特點，明確關(guān)于x軸對稱的兩點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（4分）如圖，△ABC≌△DCB，若AC＝8，則DE的長為（）A．8 B．5 C．13． D．3【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差求解即可．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，AC＝8，∴AC＝BD＝8，∵BD＝BE+DE，BE＝5，∴DE＝3，故選：D．【點評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記“全等三角形的對應(yīng)邊相等”是解題的關(guān)鍵．5．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝55°，DE∥AB，則∠DEC等于（）A．62° B．55° C．63° D．117°【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A，再利用平行線的性質(zhì)求解．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣55°﹣62°＝63°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠A＝63°，故選：C．【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理，屬于中考常考題型．6．（4分）下列圖形對稱軸最多的是（）A．正方形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．線段【分析】根據(jù)軸對稱圖形的對稱軸的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做軸對稱圖形的對稱軸．【解答】解：A、有4條對稱軸；B、有3條對稱軸；C、有4條對稱軸；D、有2條對稱軸．故選：A．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的定義，軸對稱圖形的判斷方法：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．這條直線是它的對稱軸．7．（4分）如圖，用尺規(guī)作圖作∠AOC＝∠AOB的第一步是以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧①，那么第二步的作圖痕跡②的作法是（）A．以點F為圓心，OE長為半徑畫弧 B．以點F為圓心，EF長為半徑畫弧 C．以點E為圓心，OE長為半徑畫弧 D．以點E為圓心，EF長為半徑畫弧【分析】根據(jù)作一個角等于已知角的作法即可得出結(jié)論．【解答】解：用尺規(guī)作圖作∠AOC＝∠AOB的第一步是以點O為圓心，以任意長為半徑畫?、?、OB于點E、F，第二步的作圖痕跡②的作法是以點E為圓心，EF長為半徑畫?。蔬x：D．【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知作一個角等于已知角的步驟是解答此題的關(guān)鍵．8．（4分）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任一點（）A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分CC' C．△ABC與△A'B'C'周長相等 D．直線AB、A'B'的交點不一定在MN上【分析】由軸對稱的性質(zhì)可知△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，即可求解．【解答】解：∵△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線MN對稱，∴△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，∵P為MN上任一點，∴AP＝A'P，∴△AA'P是等腰三角形，∴A選項不符合題意；∵AP＝A'P，CP＝C'P，∴MN垂直平分AA'、CC'，∴B選項不符合題意；∵△ABC≌△A'B'C'，∴△ABC與△A'B'C'周長相等，∴C選項不符合題意；∵由軸對稱的性質(zhì)，可知直線AB，∴D選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握圖形軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（4分）如圖，△ABC的三邊AB，BC，10，12，則S△ABO：S△BCO：S△ACO的比值為（）A．1：1：1 B．2：3：4 C．4：5：6 D．2：3：5【分析】過點O作OD⊥AC于點D，OE⊥AB于點E，OF⊥BC于點F，由角平分線的性質(zhì)等OE＝OF＝OD，再由三角形面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：過點O作OD⊥AC于點D，OE⊥AB于點E，∵點O是三條角平分線的交點，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△AOC＝AB?OE：AC?OD＝AB：BC：AC＝8：10：12＝4：2：6，故選：C．【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形面積，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC（1）分別以B，C為圓心，兩弧交于點D；（2）連接DB、DA、DC，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AD垂直平分BC B．若∠BAC＝120°，則DE＝4AE C．S四邊形ABDC＝AD?BC D．若∠BAC＝60°，則BC垂直平分AD【分析】由作圖得DB＝DC＝BC，因為AB＝AC，DA＝DA，所以△ABD≌△ACD，則∠BDA＝∠CDA，所以AD垂直平分BC，可判斷A正確；由等邊三角形的性質(zhì)得∠BDC＝60°，而∠BAC＝120°，則∠BDA＝∠CDA＝∠BDC＝30°，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°，所以∠ABD＝90°，則AB＝AD，因為∠AEB＝90°，∠ABE＝30°，所以AE＝AB＝AD，則AD＝4AE，可判斷B錯誤；因為AD⊥BC，所以S四邊形ABDC＝AD?BC，可判斷C正確；因為AB＝AC，∠BAC＝60°，所以△ABC是等邊三角形，則AB＝BC＝DB，所以BC垂直平分AD，可判斷D正確，于是得到問題的答案．【解答】解：由作圖得DB＝DC＝BC，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BDA＝∠CDA，∴AD垂直平分BC，故A正確；∵△DBC是等邊三角形，∴∠BDC＝60°，∵∠BAC＝120°，∴∠BDA＝∠CDA＝∠BDC＝30°∠BAC＝60°，∴∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°，∴AB＝AD，∵∠AEB＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，∴AE＝AB＝×AD，∴AD＝3AE，∴DE＝3AE≠4AE，故B錯誤；∵AD⊥BC，∴S四邊形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝AD?BE+AD?BC，故C正確；∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∴AB＝DB，∵BC⊥AD，∴AE＝DE，∴BC垂直平分AD，故D正確，故選：B．【點評】此題重點考查尺規(guī)作圖、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，證明△ABD≌△ACD是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分，請將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）11．（4分）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝4∠C30°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠B+∠C＝180°﹣∠A，再根據(jù)∠B＝4∠C，求出∠C即可．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B+∠C＝180°﹣∠A，∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝150°，∵∠B＝4∠C，∴5∠C＝150°，∴∠C＝30°，故答案為：30°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和等于180°．12．（4分）如果一個正多邊形的每一個內(nèi)角度數(shù)都是120°，則該正多邊形的邊數(shù)為六．【分析】由多邊形的每一個內(nèi)角都是108°先求得它的每一個外角是72°，然后根據(jù)正多邊形的外角和是360°求解即可．【解答】解：∵一個正多邊形的每一個內(nèi)角都是120°，∴這個正多邊形的每一個外角都是180°﹣120°＝60°，∴360°÷60°＝6．故答案為：六．【點評】本題主要考查的是正多邊形與圓，多邊形的內(nèi)角與外角，明確正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)×邊數(shù)＝360°是解題的關(guān)鍵．13．（4分）如圖，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACDAB＝AC（答案不唯一）．（填寫一個即可）【分析】由全等三角形的判定，即可得到答案．【解答】在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．故答案為：AB＝AC（答案不唯一）．【點評】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．14．（4分）如圖所示，點P為∠AOB內(nèi)一點，分別作出P點關(guān)于OA1，P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝9cm，則△PMN的周長為9cm．【分析】P點關(guān)于OA的對稱是點P1，P點關(guān)于OB的對稱點P2，故有PM＝P1M，PN＝P2N．【解答】解：∵P點關(guān)于OA的對稱是點P1，P點關(guān)于OB的對稱點P2，∴PM＝P3M，PN＝P2N．∴△PMN的周長為PM+PN+MN＝MN+P1M+P4N＝P1P2＝2．故答案為：9【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)．對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等．15．（4分）如圖，△ABC中，AB＝AC，交AB于E，且BD平分∠ABC72度．【分析】先根據(jù)AB＝AC，再由垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和求出∠ABD的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE垂直平分AB，∴∠A＝∠ABD，∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠ABD＝180°，∴∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．故答案為：72【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知線段垂直平分線的性質(zhì)，即線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．16．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝13，若M，N為邊BC，那么CN+MN的最小值為．【分析】過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于N，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的最小值．【解答】解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于點E，∴MN＝ME，∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．∵∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝13，∴AB?CE＝，即13CE＝12×5，∴CE＝．即CM+MN的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．三、解答題（共9小題，滿分86分）17．（8分）已知一個多邊形的邊數(shù)為n．（1）若n＝6，求這個多邊形的內(nèi)角和．（2）若這個多邊形的內(nèi)角和的為300°，求n的值．【分析】（1）直接根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式為（n﹣2）×180°求解即可；（2）根據(jù)多邊形的外角和為360°，然后根據(jù)多邊形內(nèi)角和列方程求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)n＝6時，（6﹣2）×180°＝720°，所以這個多邊形的內(nèi)角和為720°；（2）由題意得，×（n﹣7）×180°＝300°，解得：n＝7，所以n的值為7．【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角和與外角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式（n﹣2）×180°以及多邊形的外角和為360°是解本題的關(guān)鍵．18．（8分）如圖，點C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，D在BC異側(cè)，AB∥CD，∠A＝∠D，求證：△ABE≌△DCF．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B＝∠C，根據(jù)AAS推出△ABE≌△DCF即可．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵CE＝BF，∴CF＝BE，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．19．（8分）如圖，在△ABC中，以點B為圓心，交BC邊于點D，連接AD．若∠B＝44°，求∠ADB和∠DAC的度數(shù)．?【分析】根據(jù)題意和等腰三角形的性質(zhì)，可以求得∠BAD和∠BDA的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角和內(nèi)角的關(guān)系，即可求得∠DAC的度數(shù)．【解答】解：∵∠B＝44°，∠C＝54°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝82°，由作圖可知：BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）÷2＝68°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝14°．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角和內(nèi)角的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．20．（8分）如圖，已知△ABC的三個頂點分別為A（2，6），B（3，3），C（﹣2，1）．（1）請在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸的軸對稱圖形△DEF．（點A，B，C的對應(yīng)點分別是D，E，F(xiàn)），并直接寫出D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)．（2）已知，求四邊形BCFE的周長．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸的軸對稱圖形△DEF，進而寫出D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)，利用網(wǎng)格即可求四邊形BCFE的周長．【解答】解：（1）如圖，△DEF即為所求；D（2，﹣6），﹣7），1）；（2）∵＝EF，BE＝6，∴四邊形BCFE的周長＝2+8．【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．21．（8分）證明：如果兩個三角形有兩條邊和其中一條邊上的高分別相等，那么這兩個三角形全等．（請根據(jù)圖形，用符號語言表示出已知和求證，并寫出證明過程．）【分析】根據(jù)題意首先寫出已知和求證，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出Rt△ADB≌Rt△A′D′B′以及∠B＝∠B′進而得出△ABC≌△A′B′C′．【解答】解：已知：如圖，銳角△ABC與銳角△A′B′C′，AB＝A′B′，A′D′⊥B′C′，求證：△ABC≌△A′B′C′．證明：∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，，∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（HL），∴∠B＝∠B′，在△ABC與△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．22．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）用直尺和圓規(guī)在AC上作點P，連接BP，使得AP＝BP．（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）在（1）的條件下，若點P分別到AB和BC的距離相等【分析】（1）作AB的垂直平分線即可；（2）根據(jù)角平分線的判定定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及三角形的內(nèi)角和定理求解．【解答】解：（1）點P即為所求；（2）由（1）得：PD垂直平分AB，∴AP＝BP，∠PDB＝90°，∴∠A＝∠ABP，∵點P分別到AB和BC的距離相等，∠ACB＝90°，∴BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠A＝∠ABP＝∠CBP，∵∠A+∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠CBP＝30°．【點評】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握角平分線的判定定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，在△ABC中，AC＞BC，點D是AB邊上一點，且CD＝CB，與AC交于點F，過點C作CG⊥BD（1）求證：∠BCD＝2∠ABF；（2）判斷△BCF的形狀，并說明理由．【分析】（1）先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠BCD＝2∠BCG＝2∠DCG，再根據(jù)垂直定義可得∠BED＝∠DGC＝90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠DCG+∠CDG＝90°，∠ABF+∠CDG＝90°，從而可得∠ABF＝∠DCG，即可解答；（2）先利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠ACG＝45°，從而可得∠ACB＝45°+∠BCG，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠CFB＝45°+∠ABF，再利用（1）的結(jié)論可得∠ABF＝∠BCG，從而可得∠ACB＝∠CFB，最后根據(jù)等角對等邊可得BC＝BF，即可解答．【解答】（1）證明：∵CD＝CB，CG⊥BD，∴∠BCD＝2∠BCG＝2∠DCG，∵BF⊥CD，CG⊥AB，∴∠BED＝∠DGC＝90°，∴∠DCG+∠CDG＝90°，∠ABF+∠CDG＝90°，∴∠ABF＝∠DCG，∴∠BCD＝7∠ABF；（2）△CBF是等腰三角形，理由：∵∠DGC＝90°，∠A＝45°，∴∠ACG＝90°﹣∠A＝45°，∴∠ACB＝∠ACG+∠BCG＝45°+∠BCG，∵∠CFB是△ABF的一個外角，∴∠CFB＝∠A+∠ABF＝45°+∠ABF，∵∠BCD＝2∠ABF，∠BCD＝2∠BCG，∴∠ABF＝∠BCG，∴∠ACB＝∠CFB，∴BC＝BF，∴△CBF是等腰三角形．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（12分）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點E是射線CB上的動點．（1）如圖1，當(dāng)點E在線段CB的延長線上時，連接AE，AE＝AB＝BC，則∠BAD的度數(shù)為108°．（2）如圖2，∠ABC＞∠ACB，點P在線段AD的延長線上，并證明．（3）如圖3，當(dāng)∠DAE＝90°，∠BAC＝30°時，請求出∠ADB的度數(shù)．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可求出∠ABC的度數(shù)；（2）在AC上截取AH＝AB，利用SAS證明△PAB≌△PAH，得PH＝PB，在△CHP中，再利用三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）首先延長CA至點N，使得AN＝AB，連接EN；根據(jù)已知度數(shù)和角平分線等條件，得出∠BAE＝∠NAE＝75°；進而運用SAS證出△BAE≌△NAE（SAS）；再運用條件AB+AC＝EC等量代換后，得出EC＝NC，即∠CEN＝∠N；再設(shè)∠BEA＝∠NEA＝x，則∠CEN＝∠N＝2x，在△ANE中根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°求出x的值；最后在△EAD中根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°求出∠ADB的值．【解答】解：（1）∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠E＝48°，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC＝＝24°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝5∠DAC＝48°，∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣24°﹣48°＝108°，故答案為：108°；（2）AC+BP＞AB+CP，理由如下：如圖2，在AC上截取AH＝AB，∵AD平分∠BAC，∴∠PAB＝∠PAH，又∵PA＝PA，∴△PAB≌△PAH（SAS），∴PH＝PB，在△CHP中，CH+HP＞CP，∴AH+CH+HP＞CP+AH，∴AC+HP＞AH+CP，∴AC+BP＞AB+CP；（3）延長CA到N，使AN＝AB，如圖3，∵AD為△ABC的角平分線，∴，∵∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD°，∴∠NAE＝180°﹣∠CAD﹣∠EAD＝180°﹣15°﹣90°＝75°，∴∠BAE＝∠NAE，在△BAE與△NAE中，，∴△BAE≌△NAE（SAS），∴∠BEA＝∠NEA，AB＝AN，∵AB+AC＝EC，∴AN+AC＝EC，又∵AN+AC＝NC，∴EC＝NC，∴∠CEN＝∠N，設(shè)∠BEA＝∠NEA＝x，則：∠CEN＝∠N＝2x，在△ANE中，∠NAE+∠NEA+∠N＝180°，即75°+x+5x＝180°，解得：x＝35°，在△EAD中，∠ADE＝180°﹣∠EAD＝180°﹣90°﹣35°＝55°，即∠ADB＝55°．【點評】本題是三角形的綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，有一定的難度．25．（14分）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，作點A關(guān)于直線CH的對稱點D，連接AD，CD，其中BD交直線CH于點E（45°＜α＜90°