第26講圓錐曲線中定值問題【題型目錄】題型一：圓錐曲線中線段長為定值問題題型二：圓錐曲線中三角形四邊形面積定值問題題型三：圓錐曲線中有關(guān)斜率定值問題題型四：圓錐曲線中有關(guān)向量定值問題題型五：圓錐曲線中角為定值問題【典型例題】題型一：圓錐曲線中線段長為定值問題【例1】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓．(1)若過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)引兩條互相垂直的弦、．求證：是定值；(2)若、在橢圓上且．求證：是定值．【例2】（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，橢圓的長軸長為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，請問是否存在實(shí)常數(shù)，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【例3】（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)B是圓C:上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)F（，0），線段BF的垂直平分線交BC于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)Р的軌跡E的方程;(2)設(shè)曲線E與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A1，A2，Q為直線x=4上的動(dòng)點(diǎn)，且Q不在x軸上，QA1與E的另一個(gè)交點(diǎn)為M，QA2與E的另一個(gè)交點(diǎn)為N，證明:△FMN的周長為定值.【例4】（2022·北京·高三開學(xué)考試）已知橢圓的長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓C上除A，B外任意一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)N，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O且與直線垂直的直線記為l，直線交y軸于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)Q，求證：為定值．【例5】（2022·湖南師大附中高三階段練習(xí)）設(shè)分別是圓的左?右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，與x軸垂直.直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，且直線MN的斜率為(1)求橢圓C的離心率.(2)設(shè)是橢圓C的上頂點(diǎn)，過D任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A?B兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作線段AB的垂線，垂足為Q，判斷在y軸上是否存在定點(diǎn)R，使得的長度為定值？并證明你的結(jié)論.【例6】（2022·貴州·黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末（理））已知橢圓的離心率為，、分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，的面積為1．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)的橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求證：為定值．【例7】（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線被截得的弦長為3，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)若直線的斜率不為0，過，作直線的垂線，垂足分別是，，設(shè)與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.【題型專練】1．（2021·山東·高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．(1)求C的方程；(2)圓的切線與C相交于A，B兩點(diǎn)，P為切點(diǎn)，求的值．2．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.記點(diǎn)的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)經(jīng)過且不垂直于坐標(biāo)軸的直線與交于兩點(diǎn)，軸上點(diǎn)滿足，證明：為定值，并求出該值.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)，且點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且直線與軸不重合，直線分別與軸交于兩點(diǎn).求證：為定值.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比是常數(shù)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，由原點(diǎn)向圓引兩條切線，分別交曲線于點(diǎn)，若直線的斜率均存在，并分別記為，試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.5．（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且，記的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)過作圓的兩條切線、（其中、為切點(diǎn)），直線、分別交的另一點(diǎn)為、．從下面①和②兩個(gè)結(jié)論中任選其一進(jìn)行證明．①為定值；②．6.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的C的方程：．(1)設(shè)P為橢圓C異于橢圓左右頂點(diǎn)上任一點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，試證明為定值．(2)求橢圓中所有斜率為1的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．(3)設(shè)橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)M，N在C上，且，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得為定值．7．（2022·廣東·中山紀(jì)念中學(xué)高二階段練習(xí)）已知、分別為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中到的最短距離為1，且當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，恰好為等邊三角形．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且．試探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．8．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為曲線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作C的兩條切線，兩條切線與圓O分別交于點(diǎn)A，B（異于P），證明：為定值．題型二：圓錐曲線中三角形四邊形面積定值問題【例1】（河南省名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上有三點(diǎn)，，滿足，證明：四邊形的面積為定值．【例2】（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知，直線的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程;(2)直線與曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率之積為，證明:的面積為定值.【例3】（2022·云南·昆明一中高三開學(xué)考試）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，且焦距長為2，過且斜率為的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)在軸上的射影恰好為.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，下頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作一條與軸不重合的直線，該直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線分別交軸于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).求證：與的面積之積為定值，并求出該定值.【例4】（2022·河南新鄉(xiāng)·二模（理））已知橢圓的焦距為2c，左?右焦點(diǎn)分別是，，其離心率為，圓與圓相交，兩圓的交點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程.(2)已知A，B，C為橢圓E上三個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且O為△ABC的重心.證明：△ABC的面積為定值.【例5】（2022·山西太原·一模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條直線過定點(diǎn)與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線方程；(2)連接，并延長交拋物線于、兩點(diǎn)，設(shè)和的面積分別為和，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由.【例6】（2022·河南信陽·高二期末（文））已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，過作軸的垂線交雙曲線的兩條漸近線于，，得到三角形的面積為1.(1)求，；(2)設(shè)，，的三個(gè)點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，且.求證：的面積為定值.【題型專練】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，．若M，N分別為直線AP，BQ與y軸的交點(diǎn)，記，的面積分別為，，求的值．2．（2022·四川·樹德中學(xué)模擬預(yù)測（文））在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過，橢圓的離心率為的．(1)求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)過原點(diǎn)且斜率存在的直線l與橢圓相交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓的上頂點(diǎn)，直線PA與橢圓相交于點(diǎn)B，直線PC與橢圓相交于點(diǎn)D，設(shè)的面積分別為試問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，射線、分別交橢圓于兩點(diǎn)，已知的周長為，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)證明：為定值．4．（2022·廣西·南寧二中高三階段練習(xí)（理））平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是，，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上．(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)，，在橢圓C上，原點(diǎn)O為的重心，證明：的面積為定值．5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，以為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，的內(nèi)切圓的半徑為，且的面積為1．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右頂點(diǎn)B作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點(diǎn)D和點(diǎn)E，若直線DE與x軸的交點(diǎn)為T，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積是否為定值，如果是定值，求出該定值；如果不是，請說明理由．6．（2022·四川·射洪中學(xué)高二期中）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)與橢圓C的左、右頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線MN與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM，ON的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．7．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知橢圓，橢圓與有相同的離心率，且短軸的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，O是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求的方程；(2)若直線l與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，與交于A，B兩點(diǎn)，試問的面積是否為定值？若是，求的面積；若不是，請說明理由.8．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知橢圓的離心率為，左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，直線與直線的交點(diǎn)為D，且△ABD的面積為.(1)求C的方程；(2)設(shè)過C的右焦點(diǎn)F的直線，的斜率分別為，，且，直線交C于M，N兩點(diǎn)，交C于G，H兩點(diǎn)，線段MN，GH的中點(diǎn)分別為R，S，直線RS與C交于P，Q兩點(diǎn)，記△PQA與△PQB的面積分別為，，證明：為定值.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線過原點(diǎn)，直線和的斜率之積為，證明：四邊形的面積為定值.10．（2022·四川宜賓·二模（文））已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為的上頂點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩直線，分別交于，和，兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，.是否存在常數(shù)，使時(shí)，四邊形的面積為定值？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.題型三：圓錐曲線中有關(guān)斜率定值問題【例1】（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)若分別是的左?右頂點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)（不同于）.記直線的斜率分別為，請問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請說明理由.【例2】（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，離心率為為橢圓的任意內(nèi)接三角形，點(diǎn)為的外心.(1)求的方程；(2)記直線的斜率分別為，且斜率均存在.求證：.【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓：的離心率為，焦距為2，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線與直線的斜率分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)隨著直線的變化，是否為定值？請說明理由.【例4】（2022·上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且以短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為2的正方形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；(3)已知不過原點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交異于橢圓頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，直線和直線的斜率之積為1，直線與軸交于點(diǎn)．若直線的斜率分別為，試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．【例5】（2022·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知橢圓的離心率為為橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，試問是否是定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.【題型專練】1．（2022·湖南郴州·高二期末）已知橢圓C：的離心率為，左頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，問：直線BM，BN的斜率之和是否為定值？若是，請求出該值；否則，請說明理由．2．（2022·河南省上蔡第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)（異于）.當(dāng)直線過點(diǎn)）時(shí)，恰好為的中點(diǎn).(1)求的離心率；(2)若，直線與交于點(diǎn)，直線的斜率分別為，證明：是定值.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知P為曲線C上一點(diǎn)，M，N為圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為．(1)求C的軌跡方程；(2)若一動(dòng)圓的圓心Q在曲線C上運(yùn)動(dòng)，半徑為．過原點(diǎn)O作動(dòng)圓Q的兩條切線，分別交橢圓于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)直線OE，OF的斜率存在時(shí)，是否為定值？請證明你的結(jié)論．4．（2022·河南焦作·高三開學(xué)考試（理））已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，圓：，過且垂直于軸的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為和.(1)求的方程；(2)過圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線，，記，的斜率分別為，，直線的斜率為，證明：為定值.5.（2022·江蘇南通·高三開學(xué)考試）已知橢圓：的離心率為，短軸長為2.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與自左向右依次交于點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，且，為線段的中點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.6．（2022·江蘇·高三開學(xué)考試）設(shè)為橢圓：的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)在軸上是否存在異于的定點(diǎn)，使為定值（其中，分別為直線，的斜率）？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.7．（2023·山西大同·高三階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，離心率，點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離為3.(1)求橢圓C的方程；(2)已知四邊形為橢圓的內(nèi)接四邊形，若邊過坐標(biāo)原點(diǎn)，對角線交點(diǎn)為右焦點(diǎn)F，設(shè)的斜率分別為，試分析是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.題型四：圓錐曲線中有關(guān)向量定值問題【例1】（2022·貴州遵義·高三開學(xué)考試（文））已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上的任意一點(diǎn)，．(1)求的最大值；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．若，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【例2】（2022·江蘇省響水中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓：，，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn).(1)求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，圓：，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線與交于點(diǎn)，記的軌跡為．(1)求的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求證：為定值，并求出該定值．【例4】（2022江蘇省丹陽高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn).(1)求橢圓的方程：(2)過右焦點(diǎn)作直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使為定值?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及該定值；若不存在，說明理由.【例5】（2022·江西·模擬預(yù)測（文））橢圓的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)A，B，P三點(diǎn)在橢圓C上，O為原點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別是，且，若，證明：.【題型專練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)，試判斷是否為定值？請說明理由.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)，若，求證：為定值．3．（2021·陜西·銅川市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知橢圓：的焦距為，圓：經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓與圓的方程；(2)若直線：與橢圓C交于點(diǎn)A，B，其中，問：是否為定值?若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．4.（2022·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知橢圓：的離心率為，以橢圓上一點(diǎn)和短軸兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為2.(1)求的方程；(2)直線過橢圓長軸上點(diǎn)且與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)為定值，并求其定值.5．（2022·河南商丘·高二期中（理））橢圓與雙曲線之間有許多優(yōu)美的對稱性質(zhì)，已知橢圓和雙曲線(1)設(shè)AB是雙曲線的不平行于對稱軸且不過原點(diǎn)的弦，M為弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則為定值.類比雙曲線的性質(zhì)：若AB是橢圓的不平行于對稱軸且不過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試猜想的值，并證明；(2)設(shè)橢