第08講拓展一：指數(shù)函數(shù)+對數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用（定義域+值域+奇偶性+單調(diào)性）題型01指數(shù)（型）函數(shù)的值域（最值）【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【詳解】因?yàn)?，由?fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又恒成立，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【典例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即與在上有交點(diǎn)，又，在上單調(diào)遞增，故時，則，設(shè)，則，由可得，即與在上有交點(diǎn)，則.故答案為：【典例3】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谀┮阎?，若對，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以在上遞減，在上遞增，所以的最小值為，因?yàn)椋?，所以的最大值為，所以的值域?yàn)?，因?yàn)樵谏线f增，所以的值域?yàn)?，因?yàn)閷?，使得，所以是的子集，所以，解得，即的取值范圍故選：D【典例4】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)（且）是偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求函數(shù)的值域．【答案】(1)；(2).【詳解】（1），因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以對都有，即恒成立，即恒成立，，解得.（2）由（1）可知，所以，令（當(dāng)時取等號），則，所以所求函數(shù)為，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，令，則，因?yàn)閱握{(diào)遞減，且所以，所以.故選：A.【變式2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）求函數(shù)，在定義域A上的值域.【答案】【詳解】令，在是單調(diào)減函數(shù)∴，在是單調(diào)減函數(shù)，在是單調(diào)增函數(shù)∴當(dāng)時，當(dāng)時，∴在定義域A上的值域?yàn)椤咀兪?】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊驹斀狻吭O(shè)，因?yàn)椋瑩Q元得，，當(dāng)時，函數(shù)取到最小值，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?題型02指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性【典例1】（2023春·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)與在均單調(diào)遞減的一個充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以即；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減可得，解得，若函數(shù)與均單調(diào)遞減，可得，所以函數(shù)與均單調(diào)遞減的一個充要條件是.故選：A【典例2】（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是.【答案】【詳解】因?yàn)?，則，令，則的圖象是由的圖象向右平移個單位得到，又，即為偶函數(shù)，且當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且關(guān)于對稱，所以時，有，解得.故答案為：【典例3】（2023春·山東德州·高二德州市第一中學(xué)?？计谀┮阎x域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求，的值；(2)若存在，使成立，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以將代入，解得，?jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，，.（2）由（1）知：函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù).因?yàn)榇嬖冢钩闪?，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以不等式可轉(zhuǎn)化為，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，所以，令，題意可知：問題等價轉(zhuǎn)化為，又因?yàn)椋?故的取值范圍為.【變式1】（2023春·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵函數(shù)單調(diào)遞減，，，∴；∵，∴；由，得，∵函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴，，所以故選：A．【變式2】（2023春·河北·高二校聯(lián)考期末）已知，且，則下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，，其定義域?yàn)?，有，則為偶函數(shù)，設(shè)，則有，當(dāng)時，在區(qū)間，上，為增函數(shù)，且，在，上也是增函數(shù)，故在，上為增函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間，上，為減函數(shù)，且，在上是減函數(shù)，故在，上為增函數(shù)，綜合可得：函數(shù)在，上為增函數(shù)，依次分析選項(xiàng)：對于A，有，A正確；對于B，有，B錯誤；對于C，有，C錯誤；對于D，，D錯誤．故選：A．【變式3】（2023春·河北石家莊·高一校考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【詳解】（1）（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)椋驗(yàn)?，即，所以，?jīng)檢驗(yàn)，符合題意．（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，所以，由（1）知：因?yàn)樵赗上遞增，所以在上是增函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解集是.題型03指數(shù)型函數(shù)的奇偶性【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級中學(xué)校考期末）已知為奇函數(shù)，則（

）A．2 B．1 C．1 D．2【答案】D【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.【典例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)，，為奇函數(shù)，則的值為．【答案】【詳解】要使為奇函數(shù)，∵,∴需，∴，由,得,．故答案為：1.【變式1】（2023春·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）已知是偶函數(shù)，則a=（

）A．2 B．1 C．－1 D．－2【答案】A【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義：即，得，即，可得，即，故選：A【變式2】（2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù).【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，恒成立，即，解得，故答案為：題型04對數(shù)（型）函數(shù)的定義域【典例1】（2023春·海南海口·高一?？谝恢行？计谥校┖瘮?shù)的定義域?yàn)?【答案】【詳解】由題意由，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）已知．(1)求的定義域；(2)求使的的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，需滿足，即解得，的定義域?yàn)椋?）∵,∴,∴,即,解得．∴的取值范圍為.【變式1】（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，解得且，所以的定義域?yàn)?故選：D.【變式2】（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【詳解】函數(shù)中，，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：題型05對數(shù)（型）函數(shù)的值域（最值）【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以，為函?shù)的值域的子集，所以，，解得.故選：C.【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）．A．10 B．1 C．11 D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以的最小值?，故選：B【典例3】（2023春·安徽滁州·高一滁州市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【詳解】因?yàn)椋?所以函數(shù)的值域?yàn)椋汗蚀鸢笧椋骸镜淅?】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)當(dāng)時，恒成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析(2)【詳解】（1）由函數(shù)，得，即，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱．又，，所以是奇函數(shù)；（2）恒成立，則，即在恒成立，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)時，，所以時，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式1】（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽市第一二〇中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】時，，又的值域?yàn)?，則時，的值域包含，，解得：.故選：B【變式2】（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的最大值與最小值的差為2，則（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【詳解】由題意得在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，，所以，解得，又，所以.故選：C【變式3】（2023春·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)且.(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)若，當(dāng)時，求的值域.【答案】(1)奇函數(shù)，理由見解析(2)【詳解】（1）為奇函數(shù)，理由如下：由得：，的定義域?yàn)椋?，為定義在上的奇函數(shù).（2），，；方法一：當(dāng)時，，，，，即的值域?yàn)椋环椒ǘ毫?，在上單調(diào)遞減，，，，，即的值域?yàn)?【變式4】（2023秋·高一單元測試）已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域、值域；(2)若函數(shù)f(x)的最小值為－2，求a的值．【答案】(1)見解析；(2)﹒【詳解】（1）由，得，函數(shù)的定義域，，設(shè)，，又，則．當(dāng)時，，值域?yàn)椋?dāng)時，，值域?yàn)椋?）由題設(shè)及(1)知：當(dāng)時，函數(shù)有最小值，，解得．題型06對數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為.【答案】【詳解】令，即，由，則在上遞增，在上遞減，綜上，在上遞增，在上遞減，而在定義域上遞增，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：【典例2】（2023春·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，則在上單調(diào)遞減，由題意可得需滿足，且在上單調(diào)遞減，令，則在上恒成立，即在上恒成立，而在上單調(diào)遞減，即，故；經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，符合題意；由，則在上恒成立，所以，故，綜合以上可得，故選：C【典例3】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意可得，，解得或.所以函數(shù)的定義域?yàn)?令，函數(shù)的對稱軸為，且開口向上，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由外層函數(shù)是其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)在上單調(diào)，則或，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D．【變式1】（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)可看作函數(shù)，的復(fù)合函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間恒成立，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D.【變式2】（2023春·河北承德·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且．(1)求的定義域；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【詳解】（1），則，解得，則，則，解得，故的定義域?yàn)椋?）由（1）知，．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．又，所以等價于，解得．則不等式的解集為．【變式3】（2023春·河南平頂山·高一汝州市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是．【答案】【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，依題意，，，且在上單調(diào)遞增，因此，解得，所以a的取值范圍是.故答案為：題型07對數(shù)（型）函數(shù)的奇偶性【典例1】（2023春·安徽·高一安徽省潁上第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則a的值為.【答案】【詳解】因?yàn)椋丛赗上恒成立，所以函數(shù)的定義域?yàn)镽，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，則，所以.故答案為：【典例2】（2023秋·甘肅白銀·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中且.(1)判斷的奇偶性；(2)若，解關(guān)于x的不等式.【答案】