.PAGE.求以下不定積分：知識點：直接積分法的練習(xí)——求不定積分的根本方法。思路分析：利用不定積分的運算性質(zhì)和根本積分公式，直接求出不定積分！*(1)思路:被積函數(shù)，由積分表中的公式〔2〕可解。解：*(2)思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。解：*(3)思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。解：*(4)思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。解：**(5)思路:觀察到后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項，分別積分。解：**(6)思路:注意到，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項，分別積分。解：注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個有理的假分式，通常先將其分解為一個整式加上或減去一個真分式的形式，再分項積分。*(7)思路:分項積分。解：*(8)思路:分項積分。解：**(9)思路:？看到，直接積分。解：**(10)思路:裂項分項積分。解：*(11)解：**(12)思路:初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)冪的乘法：指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然。解：**(13)思路:應(yīng)用三角恒等式"〞。解：**(14)思路:被積函數(shù)，積分沒困難。解：**(15)思路:假設(shè)被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時，一般地先降冪，再積分。解：**(16)思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降冪公式，先升冪再積分。解：*(17)思路:不難，關(guān)鍵知道"〞。解：*(18)思路:同上題方法，應(yīng)用"〞，分項積分。解：**(19)思路:注意到被積函數(shù)，應(yīng)用公式(5)即可。解：**(20)思路:注意到被積函數(shù)，則積分易得。解：*2、設(shè)，求。知識點：考察不定積分〔原函數(shù)〕與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：直接利用不定積分的性質(zhì)1：即可。解：等式兩邊對求導(dǎo)數(shù)得：*3、設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，求的原函數(shù)全體。知識點：仍為考察不定積分〔原函數(shù)〕與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。解：由題意可知，所以的原函數(shù)全體為：。*4、證明函數(shù)和都是的原函數(shù)知識點：考察原函數(shù)〔不定積分〕與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：只需驗證即可。解：，而*5、一曲線通過點，且在任意點處的切線的斜率都等于該點的橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求此曲線的方程。知識點：屬于第12章最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質(zhì)仍為考察原函數(shù)〔不定積分〕與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。解：設(shè)曲線方程為，由題意可知：，；又點在曲線上，適合方程，有，所以曲線的方程為**6、一物體由靜止開場運動，經(jīng)秒后的速度是，問：在秒后物體離開出發(fā)點的距離是多少？物體走完米需要多少時間？知識點：屬于最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質(zhì)仍為考察原函數(shù)〔不定積分〕與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。解：設(shè)物體的位移方程為：，則由速度和位移的關(guān)系可得：，又因為物體是由靜止開場運動的，。(1)秒后物體離開出發(fā)點的距離為:米；(2)令秒。2、求以下不定積分。知識點：〔湊微分〕第一換元積分法的練習(xí)。思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實就是看看積分表達式中，有沒有成塊的形式作為一個整體變量，這種能夠馬上觀察出來的功夫來自對微積分根本公式的熟練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對特定的題目也非常有效，這在課外例題中專門介紹！*〔1〕思路:湊微分。解：*(2)思路:湊微分。解：*(3)思路:湊微分。解：*(4)思路:湊微分。解：*(5)思路:湊微分。解：**(6)思路:如果你能看到，湊出易解。解：*(7)思路:湊微分。解：**(8)思路:連續(xù)三次應(yīng)用公式(3)湊微分即可。解：**(9)思路:此題關(guān)鍵是能夠看到是什么，是什么呢？就是！這有一定難度！解：**(10)思路:湊微分。解：方法一：倍角公式。方法二：將被積函數(shù)湊出的函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)。方法三：三角公式，然后湊微分。**(11)思路:湊微分：。解：*(12)思路:湊微分。解：**(13)思路:由湊微分易解。解：**(14)思路:湊微分。解：**(15)思路:湊微分。解：*(16)思路:湊微分。解：**(17)思路:經(jīng)過兩步湊微分即可。解：**(18)思路:分項后分別湊微分即可。解：**(19)思路:裂項分項后分別湊微分即可。解：*(20)思路:分項后分別湊微分即可。解：*(21)思路:分項后分別湊微分即可。解：**(22)思路:裂項分項后分別湊微分即可。解：*(23)思路:湊微分。。解：**(24)思路:降冪后分項湊微分。解：***(25)思路:積化和差后分項湊微分。解：***(26)思路:積化和差后分項湊微分。解：***(27)思路:湊微分。解**(28)思路:湊微分。解：**(29)思路:湊微分。解：****(30)思路:湊微分。解：****(31)思路:被積函數(shù)中間變量為，故須在微分中湊出，即被積函數(shù)中湊出，解：****(32)思路:解：****(33)解：方法一：思路:將被積函數(shù)的分子分母同時除以，則湊微分易得。方法二：思路:分項后湊微分方法三：思路:將被積函數(shù)的分子分母同時乘以，裂項后湊微分。****(34)解：方法一:思路：分項后湊積分。方法二：思路:利用第二類換元法的倒代換。令，則。****(35)解：方法一:思路：分項后湊積分。方法二：思路:利用第二類換元法的倒代換。令，則。3、求以下不定積分。知識點：〔真正的換元，主要是三角換元〕第二種換元積分法的練習(xí)。思路分析：題目特征是被積函數(shù)中有二次根式，如何化無理式為有理式？三角函數(shù)中，以下二恒等式起到了重要的作用。為保證替換函數(shù)的單調(diào)性，通常將交的圍加以限制，以確保函數(shù)單調(diào)。不妨將角的圍統(tǒng)統(tǒng)限制在銳角圍，得出新變量的表達式，再形式化地?fù)Q回原變量即可。***(1)思路:令，先進展三角換元，分項后，再用三角函數(shù)的升降冪公式。解：令，則?！不颉场踩f能公式，又時，〕***(2)思路:令，三角換元。解：令，則?！矔r，〕***(3)思路:令，三角換元。解：令，則。***(4)思路:令，三角換元。解：令，則。****(5)思路:先令，進展第一次換元；然后令，進展第二次換元。解：，令得：，令，則，***(6)思路:三角換元，關(guān)鍵配方要正確。解：，令，則。**4、求一個函數(shù),滿足，且。思路:求出的不定積分，由條件確定出常數(shù)的值即可。解：令，又，可知，***5、設(shè)，求證：，并求。思路:由目標(biāo)式子可以看出應(yīng)將被積函數(shù)分開成，進而寫成：，分項積分即可。證明：求以下不定積分：知識點：根本的分部積分法的練習(xí)。思路分析：嚴(yán)格按照"‘反、對、冪、三、指’順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微分號下湊微分。〞的原則進展分部積分的練習(xí)。*〔1〕思路:被積函數(shù)的形式看作，按照"反、對、冪、三、指〞順序，冪函數(shù)優(yōu)先納入到微分號下，湊微分后仍為。解：**〔2〕思路：同上題。解：*〔3〕思路：同上題。解：**(4)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：**(5)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：*(6)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：**(7)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：**(8)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：**(9)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：**(10)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：**(11)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：**(12)思路：詳見第(10)小題解答中間，解答略。**(13)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：**(14)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：**(15)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：**(16)思路：將積分表達式寫成，將看作一個整體變量積分即可。解：***(17)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：**(18)思路：先將降冪得，然后分項積分；第二個積分嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：**(19)思路：分項后對第一個積分分部積分。解：***(20)思路：首先換元，后分部積分。解：令，則***(21)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：***(22)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：方法一：方法二：***(23)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：令，則所以原積分。***(24)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：注：該題中的其他計算方法可參照習(xí)題4-2，2〔33〕。***(25)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：注：該題也可以化為再利用分部積分法計算。***(26)思路：將被積表達式寫成，然后分部積分即可。解：用列表法求以下不定積分。知識點：仍是分部積分法的練習(xí)。思路分析：審題看看是否需要分項，是否需要分部積分，是否需要湊微分。按照各種方法完成。我們?nèi)匀挥靡话惴椒ń獬觯挥昧斜矸ā?(1)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：*(2)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：。*(3)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：*(4)思路：分項后分部積分即可。解：*(5)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：*(6)思路：嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分即可。解：*3、是的原函數(shù)，求。知識點：考察原函數(shù)的定義及分部積分法的練習(xí)。思路分析：積分中出現(xiàn)了，應(yīng)馬上知道積分應(yīng)使用分部積分，條件告訴你是的原函數(shù)，應(yīng)該知道解：又**4、，求。知識點：仍然是分部積分法的練習(xí)。思路分析：積分中出現(xiàn)了)，應(yīng)馬上知道積分應(yīng)使用分部積分。解：又****5、設(shè)，；證明：。知識點：仍然是分部積分法的練習(xí)。思路分析：要證明的目標(biāo)表達式中出現(xiàn)了，和提示我們?nèi)绾卧诒环e函數(shù)的表達式中變出和呢？這里涉及到三角函數(shù)中的變形應(yīng)用，初等數(shù)學(xué)中有過專門的介紹，這里可變?yōu)椤ＷC明：****6、設(shè)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，為其反函數(shù)，且，求：。知識點：此題考察了一對互為反函數(shù)的函數(shù)間的關(guān)系，還有就是分部積分法的練習(xí)。思路分析：要明白這一恒等式，在分部積分過程中適時替換。解：又又求以下不定積分知識點：有理函數(shù)積分法的練習(xí)。思路分析：被積函數(shù)為有理函數(shù)的形式時，要區(qū)分被積函數(shù)為有理真分式還是有理假分式，假設(shè)是假分式，通常將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式，然后再具體問題具體分析。*(1)思路：被積函數(shù)為假分式，先將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式，然后分項積分。解：***(2)思路：被積函數(shù)為假分式，先將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式，然后分項積分。解：而令，等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解此方程組得：***(3)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：，令等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解此方程組得：***(4)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：，解此方程組得：。***(5)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：，令等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解此方程組得：。***(6)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：；令，等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解此方程組得：***(7)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解此方程組得：而***(8)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：又由分部積分法可知：***(9)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解之得：而***(10)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：；解之得：。***(11)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解之得：***(12)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：，解之得：*****(13)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：令，等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解之得：注：由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可證此題的另一種解法：注：由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可證。*****(14)思路：將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：又注：此題再推到過程中用到如下性質(zhì)：〔本性質(zhì)可由分部積分法導(dǎo)出?！臣僭O(shè)記，其中為正整數(shù)，，則必有：求以下不定積分知識點：三角有理函數(shù)積分和簡單的無理函數(shù)積分法的練習(xí)。思路分析：求這兩種積分的根本思路都是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q化為有理函數(shù)積分去完成。**(1)思路：分子分母同除以變?yōu)楹鬁愇⒎?。解?*(2)思路：萬能代換！解：令，則注：另一種解法是：**(3)思路：萬能代換！解：令，則**(4)思路：利用變換！〔萬能代換也可，但較繁！〕解：令，則**(5)思路：萬能代換！解：令，則**(6)思路：萬能代換！解：令，則而****(7)思路一：萬能代換！解：令，則而，令，等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解之得：思路二：利用代換！解：令，則令，等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解之得:注：比擬上述兩解法可以看出應(yīng)用萬能代換對*些題目可能并不簡單！****(8)思路：將被積函數(shù)分項得，對兩個不定積分分別利用代換和萬能代換！解：對積分，令，則令，等式右邊通分后比擬兩邊分子的同次項的系數(shù)得：解之得：對積分，令**(9)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令則**(10)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令**(11)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令***(12)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令***(13)思路：變無理式為有理式，三角換元。解：令***(14)思路：將被積函數(shù)變形為后，三角換元。解：令則；注：另一種解法，分項后湊微分。***(15)思路：換元。解：令，則總習(xí)題四*1、設(shè)的一個原函數(shù)是，則(A)(B)-2(C)-4(D)4知識點：原函數(shù)的定義考察。思路分析：略。解：(B)。*2、設(shè)，則。知識點：原函數(shù)的定義性質(zhì)考察。思路分析：對條件兩邊求導(dǎo)數(shù)后解出后代入到要求的表達式中，積分即可。解：對式子兩邊求導(dǎo)數(shù)得：**3、設(shè)，且，求。知識點：函數(shù)的定義考察。思路分析：求出后解得，積分即可。解：又***4、設(shè)為的原函數(shù)，當(dāng)時，有，且，試求。知識點：原函數(shù)的定義性質(zhì)考察。思路分析：注意到，先求出，再求即可。解：即又又又。5、求以下不定積分。知識點：求不定積分的綜合考察。思路分析：具體問題具體分析。**(1)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令，則*(2)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令，則。***(3)思路：將被積函數(shù)變?yōu)楹髶Q元或湊微分。解：令，則。**(4)思路：湊微分。解：**(5)思路：將被積函數(shù)進展配方后換元或先湊微分再換元。解：方法一：令，則方法二：令再令，則***(6)思路：倒代換！解：令，則****(7)思路：大凡被積函數(shù)的分子分母皆為同一個角的正余弦函數(shù)的線性組合的形式的積分，一般思路是將被積函數(shù)的分子寫成分母和分母的導(dǎo)數(shù)的線性組合的形式，然后分項分別積分即可。解：****(8)思路：分項積分后對前一積分采用分部積分，后一積分不動。解：****6、求不定積分：知識點：分部積分法考察兼顧湊微分的靈活性。思路分析：分項后，第二個積分顯然可湊現(xiàn)成的微分，分部積分第二個積分，第一個積分不動，合并同種積分，出現(xiàn)循環(huán)后解出加一個任意常數(shù)即可。解：而***7、設(shè)，求證：，并求。知識點：分部積分法考察，三角恒等式的應(yīng)用，湊微分等。思路分析：由要證明的目標(biāo)式子可知，應(yīng)將分解成，進而寫成，分部積分后即可得到。證明：。***8、思路：化無理式為有理式，三交換元。解：令，則。***9、設(shè)不定積分，假設(shè)，則有。思路：，提示我們將被積函數(shù)的分子分母同乘以后再積分。解：又選。10、求以下不定積分:知識點：求無理函數(shù)的不定積分的綜合考察。思路分析：根本思路——將被積函數(shù)化為有理式。****(1)、思路：先進展倒代換，在進展三角換元。解：令，則。令，則。***(2)、思路：進展三角換元，化無理式為有理式。解：令，則注：***(3)、思路：進展三角換元，化無理式為有理式。解：令，則*****(4)、思路：進展三角換元，化無理式為有理式。解：令，則***(5)、思路：進展三角換元，化無理式為有理式。解：令，則11、求以下不定積分:知識點：較復(fù)雜的分部積分法的考察。思路分析：根本思路——嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分。***(1)、思路：分部積分。解：**(2)、思路：分部積分。解：。****(3)、思路：分部積分。解：***(4)、思路：分項后分部積分。解：****(5)、思路：分部積分后倒代換。解：對于積分應(yīng)用倒代換，令，則，***(6)、思路：將被積函數(shù)變形后分部積分。解：。***12、求不定積分:為自然數(shù)。知識點：較復(fù)雜的分部積分法的考察。思路分析：根本思路——嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分，推一個遞推關(guān)系式。解：***13、求不定積分:知識點：較復(fù)雜的分部積分法的考察。思路分析：根本思路——嚴(yán)格按照"反、對、冪、三、指〞順序湊微分，分項后分別積分。解：14、求以下不定積分:知識點：求解較復(fù)雜的有理函數(shù)和無理函數(shù)的不定積分。思路分析：根本思路——有理式分項、無理式化為有理式。****(1)、思路：將被積函數(shù)化為一個整式加上一個真分式的形式，然后積分。解：****(2)、思路：將被積函數(shù)化為一個整式加上一個真分式的形式，然后積分。解：對采用倒代換，令，則。而****(3)、思路：將被積函數(shù)分項后分部積分。解：***(4)、思路：將被積函數(shù)裂項分項后積分。解：****(5)、思路：將被積函數(shù)分項后積分。解：令，等式右邊通分后比擬等式兩邊分子上的同次冪項的系數(shù)得：；解之得：***(6)、思路:化無理式為有理式，第二類換元法。該題中欲同時去掉，，應(yīng)令。解：令，則****(7)、思路:分母有理化，換元。解：對于積分，令，則對于積分，令，則*****(8)、思路：換元倒代換。解：令，則〔解題過程中涉及到開方，不妨設(shè)，假設(shè)小于零，不影響最后結(jié)果的形式。也就是：不管正負(fù)，結(jié)果都一樣?！?**(9)、解答詳見習(xí)題4-4第2題的〔15〕題。****(10)、思路:"一路〞換元。解：令，則令則15、求以下不定積分:知識點：求解較復(fù)雜的三角函數(shù)有理式的不定積分。思路分析：根本思路——三角代換等，具體問題具體分析。***(1)、思路:萬能代換。解：令，則***(2)、思路:萬能代換。解：令，則*****(3)、思路:將被積函數(shù)的分子1變換一下，。解：*****(4)、思路:注意到，而，此題易解。解：*****(5)、思路:將被積函數(shù)積化和差。解：注：另一種解法是：*****(6)、思路:注意到被積函數(shù)的分子，分母，易解。解：*****(7)、、思路:萬能代換。解：令，則，代入得：*****(8)、思路:非常典型的解題思路將被積函數(shù)的分子表示成分母和分母的導(dǎo)數(shù)的線性組合的形式。解：****16、求知識點：被積函數(shù)表現(xiàn)為一個分段函數(shù)，則不定積分也表現(xiàn)為一個分段函數(shù)。思路分析：根本思路——討論。解：當(dāng)時，；而當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，由的連續(xù)性可知：設(shè)****17、設(shè)求思路:變量替換。解：令，則。****18、設(shè)定義在上，,又在連續(xù)，為的第一類連續(xù)點，問在是否存在原函數(shù)？為什么？知識點：考察對原函數(shù)定義的理解。思路分析：反證法。解證：假設(shè)為的一個原函數(shù)，考察在點的導(dǎo)數(shù)，而在點連續(xù)，這與為的第一類連續(xù)點矛盾！課外典型例題與習(xí)題解答***1、思路分析：此題