浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章特殊三角形單元檢測(cè)（提高篇一、單選題（共10題；共20分）1.下列命題中，正確的是（）A.

過(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線有一條且只有一條

B.

對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.

兩條邊及一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

D.

位似圖形一定是相似圖形2.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，則DE的長(zhǎng)為（

）A.

B.

C.

D.

3.下列命題中真命題是（）A.

如果兩個(gè)直角三角形的兩條邊相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等

B.

如果兩個(gè)直角三角形的一條邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等

C.

如果兩個(gè)直角三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等

D.

如果兩個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等4.如圖，對(duì)角線AC將正方形ABCD分成兩個(gè)等腰三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC=15，點(diǎn)P在正方形的邊上，則滿足PE+PF=5的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是(

)A.

0

B.

4

C.

8

D.

165.如圖，∠MON內(nèi)有一點(diǎn)P，P點(diǎn)關(guān)于OM的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是G，P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是H，GH分別交OM、ON于A、B點(diǎn)，若∠MON=35°，則∠GOH=（

）A.

60°

B.

70°

C.

80°

D.

90°6.如圖，直角△ADB中，∠D=90°，C為AD上一點(diǎn)，且∠ACB的度數(shù)為，則的值可能是（

）A.

10

B.

20

C.

30

D.

407.如圖，在Rt△ABC中，BC2，∠BAC30°，斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線OM，ON上滑動(dòng)，下列結(jié)論：①若C，O兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，則OA；②C，O兩點(diǎn)距離的最大值為4；③若AB平分CO，則AB⊥CO；④斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為.其中正確的是（

）A.

①②

B.

①②③

C.

①③④

D.

①②④8.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，且DE＝AC，連接CE、OE，連接AE交OD于點(diǎn)F，若AB＝2，∠ABC＝60°，則AE的長(zhǎng)為（

）A.

B.

C.

D.

9.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為O．若CD＝3，AB＝5，則AC的長(zhǎng)為

A.

B.

4

C.

D.

10.如圖是一塊長(zhǎng)、寬、高分別為6cm、4cm、3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是（

）

A.

cm

B.

cm

C.

cm

D.

９cm二、填空題（共6題；共12分）11.如圖，A（3,4），B（0,1），C為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______．12.在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，則∠BAC=________°．

13題13.如圖，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AD與FE，BE分別交于點(diǎn)G、H，∠CBE=∠BAD．有下列結(jié)論：①FD=FE；②AH=2CD；③BC?AD=AE2；④S△ABC=2S△ADF．其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）14.如圖，在△ABC中，AB=AC=15，點(diǎn)D是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于點(diǎn)E，且tan∠α=，有以下的結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)CD=9時(shí)，△ACD與△DBE全等；③△BDE為直角三角形時(shí)，BD為12或；④0＜BE≤，其中正確的結(jié)論是

________（填序號(hào)）15題15.有一面積為5的等腰三角形，它的一個(gè)內(nèi)角是30°，則以它的腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為_(kāi)_______．16.如圖，在四邊形中，，若，則________.三、綜合題（共7題；共88分）17.與有公共頂點(diǎn)（頂點(diǎn)均按逆時(shí)針排列），，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連接.（1）如圖，當(dāng)時(shí)，求證：①；②是等腰直角三角形.（2）當(dāng)時(shí)，畫(huà)出相應(yīng)的圖形（畫(huà)一個(gè)即可），并直接指出是何種特殊三角形.18.通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類(lèi)的目的．下面是一個(gè)案例．原題：如圖①，點(diǎn)分別在正方形的邊上，，連接，則，試說(shuō)明理由（1）思路梳理因?yàn)椋园牙@點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，可使與

重合．因?yàn)椋?，點(diǎn)共線．根據(jù)________，易證________，得.請(qǐng)證明．（2）類(lèi)比引申如圖②，四邊形中，，，點(diǎn)分別在邊上，.若都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系時(shí)，仍然成立，請(qǐng)證明．（3）聯(lián)想拓展如圖③，在中，，點(diǎn)均在邊上，且.猜想應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．19.已知拋物線c1的頂點(diǎn)為A（﹣1，4），與y軸的交點(diǎn)為D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，求m的值；（3）若拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線記作c2，平行于x軸的直線記作l2：y=n．試結(jié)合圖形回答：當(dāng)n為何值時(shí)，l2與c1和c2共有：①兩個(gè)交點(diǎn)；②三個(gè)交點(diǎn)；③四個(gè)交點(diǎn)；（4）若c2與x軸正半軸交點(diǎn)記作B，試在x軸上求點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形．20.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，P，Q分別從B，A出發(fā)沿BC，AD方向運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/秒，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是2cm/秒，連接A，P并過(guò)Q作QE⊥AP垂足為E．（1）求證：△ABP∽△QEA；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，△ABP≌△QEA；（3）設(shè)△QEA的面積為y，用運(yùn)動(dòng)時(shí)刻t表示△QEA的面積y（不要求考t的取值范圍）．（提示：解答（2）（3）時(shí)可不分先后）21.已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BC在x軸上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸交與點(diǎn)E，已知點(diǎn)B（﹣1，0）．（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)：________，點(diǎn)E的坐標(biāo)：________；（2）若二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A、E，求此二次函數(shù)的解析式；（3）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A、C不重合）連結(jié)PB、PD，設(shè)L是△PBD的周長(zhǎng)，當(dāng)L取最小值時(shí)。求：①點(diǎn)P的坐標(biāo)②判斷此時(shí)點(diǎn)P是否在（2）中所求的拋物線上，請(qǐng)充分說(shuō)明你的判斷理由．22.如圖（1）一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)P是等腰Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度數(shù)嗎?小明通過(guò)觀察，分析，思考，形成了如下思路：思路一：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連結(jié)P′P，求出∠APB的度數(shù)；思路二：將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP′B，連結(jié)P′P，求出∠APB的度數(shù)。請(qǐng)參考小明的思路，任選一種寫(xiě)出完整的解答過(guò)程。（2）【類(lèi)比探究】如圖，若點(diǎn)M是等腰Rt△ABC外一點(diǎn)，MA=3，MB=1，MC=，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AMB的度數(shù)。23.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）a=________；b=________；（2）點(diǎn)P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，連接PC．①求線段PQ的最大值；②若以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．答案一、單選題1.D2.C3.D4.B5.B6.C7.D8.C9.A10.C二、填空題11.12.3213.①②③14.②③15.20或2016.三、綜合題17.（1）證明：①∵，∴.又，∴，∴.又，∴；②當(dāng)時(shí)，，∵，∴.∵，∴，∴；又，∴，∴，∴即，∴是等腰直角三角形.

（2）解：所畫(huà)圖形如圖①或圖②，此時(shí)是等邊三角形.圖①圖②與（1）同理，可證，∴AF=AD，，∴△AFD是等邊三角形.18.（1）SAS；△AFE

（2）解：∠B+∠D=180°時(shí)，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，∵AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．

（3）解：猜想：DE2=BD2+EC2，理由如下：根據(jù)ΔABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔACD′，如圖，連接ED′．∴ΔABD?ΔACD′．∴CD′=BD，AD′=AD，∠B=∠ACD′，∠BAD=∠D′AC．在RtΔABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ACB+∠ACD′=90°，即∠D′CE=90°，∴D’C2+CE2=D′E2．又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∴∠D′AC+∠EAC=45°，即∠D′AE=45°．∴ΔAD′E?ΔADE，∴ED=ED′，∴DE2=BD2+EC2．19.（1）解：∵拋物線c1的頂點(diǎn)為A（﹣1，4），∴設(shè)拋物線c1的解析式為y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，∴a=﹣1，∴拋物線c1的解析式為：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：解得x2+3x+m﹣3=0，∵直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，∴△=9﹣4m+12=0，∴m=；

（3）解：∵拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線記作c2，∴拋物線c2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），與y軸的交點(diǎn)為（0，3），∴拋物線c2的解析式為：y=﹣x2+2x+3，∴①當(dāng)直線l2過(guò)拋物線c1的頂點(diǎn)（﹣1，4）和拋物線記作c2的頂點(diǎn)（1，4）時(shí)，即n=4時(shí)，l2與c1和c2共有兩個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)直線l2過(guò)D（0，3）時(shí)，即n=3時(shí)，l2與c1和c2共有三個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)3＜n＜4或n＞3時(shí)，l2與c1和c2共有四個(gè)交點(diǎn)

（4）解：如圖，∵若c2與x軸正半軸交于B，∴B（3，0），∴OB=3，∴AB==4，①當(dāng)AP=AB=4時(shí)，PB=8，∴P1（﹣5，0），②當(dāng)AB=BP=4時(shí)，P2（3﹣4，0）或P3（3+4，0），③當(dāng)AP=PB時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，∴PA=PB=4，∴P4（﹣1，0），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）時(shí)，△PAB為等腰三角形．20.（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形；∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，∵QE⊥AP；∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ；∴△ABP∽△QEA（AA）

（2）解：∵△ABP≌△QEA；∴AP=AQ（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；在RT△ABP與RT△QEA中根據(jù)勾股定理得AP2=32+t2，AQ2=（2t）2即32+t2=（2t）2解得t1=，t2=﹣（不符合題意，舍去）答：當(dāng)t取時(shí)△ABP與△QEA全等

（3）解：由（1）知△ABP∽△QEA；∴=（）2∴=（）2整理得：y=．21.（1）（1，）；（0，）

（2）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)A、E，∴

，解得：

，

，∴拋物線的解析式為

（3）解：作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，連接BD'交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值，即△PBD的周長(zhǎng)L取最小值，如圖2．①∵D、D′關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，∴DD′⊥AC，∴∠DFC=90°，∵∠ACD=60°，∴∠D′DC=30°，∴在Rt△DFC中，DF==，∴DD'=，作D'G⊥軸于點(diǎn)G，在Rt△D’DG中，DG=D'Dcos30°=3，D'G=D'Dsin30°=，∴點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（4，），∴由待定系數(shù)法可求得：直線BD'的解析式為：，直線AC的解析式為：，由

解得：

，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)．②∵在中，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P在拋物線上.22.（1）解：思路一：顯然△BP′A≌△BPC，∴PB=PB=2，P′A=PC=3，∴△BP′P是等腰直角三角形∴PP′=2又∵P′A=3，PA=1，∠APP′=90°，∴∠APB=135°思路二顯然△BPA≌△BP′C，∴PB=P′B=2，PA=P′C=1，△BP′P是等腰直角三角形∴PP′=2又∵PC=3，P′C=1∴∠CP′P=90∴∠APB=∠CP′B=135°

（2）解：如圖，將△MBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△MBA，∴△MBC≌△M′BA，∴BM′=BM=1，AM′=CM=√11△B