5.3

平面向量的數(shù)量積與平面

向量的應(yīng)用-2-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234165781.平面向量的數(shù)量積定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=

,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0·a=0.

問(wèn)題思考a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相同嗎?|a||b|cosθ提示:不相同.因?yàn)閍在b方向上的投影為|a|·cos

θ,而b在a方向上的投影為|b|cos

θ,其中θ為a與b的夾角.-3-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23416572.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為向量a,b的夾角.(1)數(shù)量積:a·b=|a||b|cosθ=

.

8x1x2+y1y2(5)已知兩非零向量a與b,a⊥b?a·b=0?

;a∥b?a·b=±|a||b|.

(6)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立),即x1x2+y1y2=0-4-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23416573.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b=b·a(交換律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).8-5-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23416574.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.8-6-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23416578-7-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23416576.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用對(duì)于向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目,其解題思路是用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,化歸為三角函數(shù)問(wèn)題或三角恒等變形等問(wèn)題或解三角形問(wèn)題.8-8-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23416577.向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用,主要是以向量的數(shù)量積給出一種條件,通過(guò)向量轉(zhuǎn)化,進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)來(lái)解答.8-9-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234165788.向量在物理中的應(yīng)用物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解、合成與向量的加減法相似,因此可以用向量的知識(shí)來(lái)解決某些物理問(wèn)題;物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量,是力F與位移s的數(shù)量積,即W=

(θ為F與s的夾角).

|F||s|cosθ2-10-知識(shí)梳理雙基自測(cè)34151.下列結(jié)論正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量,且有正有負(fù).(

)(2)若a·b>0,則a和b的夾角為銳角;若a·b<0,則a和b的夾角為鈍角.(

)(3)若a·b=0,則必有a⊥b.(

)(4)(a·b)·c=a·(b·c).(

)(5)若a·b=a·c(a≠0),則b=c.(

)√×

×

×

×

×

√-11-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234152.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m=(

)A.-8 B.-答案解析解析關(guān)閉由題意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)⊥b,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8,故選D.答案解析關(guān)閉D-12-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415150°-13-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234154.已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=

.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-14-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3B思考求向量數(shù)量積的運(yùn)算有幾種形式?-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析：(1)法一(基向量法):-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3法二(坐標(biāo)法):建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法:(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),利用定義求解,即a·b=|a||b|cos

θ(其中θ是向量a與b的夾角).(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義.數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos

θ的乘積.2.解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí),可利用向量的加減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn).但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ).-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3A.-15 B.-9 C.-(3)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),則向量a在向量b方向上的投影為

.

DC-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)如圖,以C為原點(diǎn),CB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(3,0).-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(3)設(shè)向量a,b滿足|a|=2,|b|=|a+b|=3,則|a+2b|=

.

思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?BD-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,以D為原點(diǎn),直線DA為x軸,過(guò)點(diǎn)D且與DA垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(3)因?yàn)閨a|=2,|b|=|a+b|=3,所以(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=4+9+2a·b=9,所以a·b=-2,-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.求向量的模的方法:的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算;(2)幾何法,先利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(或范圍)的方法:(1)求函數(shù)最值法,把所求向量的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)再求;(2)數(shù)形結(jié)合法,弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解.(3)利用絕對(duì)值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的最值(取值范圍).-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3CA-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3因?yàn)?lt;a-c,b-c>=60°,所以∠ACB=60°,所以∠AOB+∠ACB=180°,所以A,O,B,C四點(diǎn)共圓.-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考兩個(gè)向量數(shù)量積的正負(fù)與兩個(gè)向量的夾角有怎樣的關(guān)系?考向一

求平面向量的夾角

B120°-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.由題意得B(3,0),C(0,2),E(2,0),F(0,1),所以直線CE的方程為x+y-2=0,直線BF的方程為x+3y-3=0.-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向二

求參數(shù)的值或范圍

思考兩個(gè)向量的垂直與其數(shù)量積有何關(guān)系?答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-36-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向三

在三角函數(shù)中的應(yīng)用例5已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.思考利用向量求解三角函數(shù)問(wèn)題的一般思路是什么?-37-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-38-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向四

在解析幾何中的應(yīng)用

思考在向量與解析幾何相結(jié)合的題目中,向量起到怎樣的作用?5-39-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析：由點(diǎn)P在雙曲線的右支上及雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a.又3|PF1|=4|PF2|,解得|PF1|=8a,|PF2|=6a.-40-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩個(gè)向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩個(gè)向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0說(shuō)明不共線的兩個(gè)向量的夾角為鈍角.2.若a,b為非零向量,則a⊥b?a·b=0.3.解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題的一般思路是應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,即通過(guò)向量的相關(guān)運(yùn)算把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題.4.向量在解析幾何中的作用:(1)載體作用:解決向量在解析幾何中的問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”,導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題.(2)工具作用:利用數(shù)量積與共線定理可解決垂直、平行問(wèn)題.特別地,向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題是一種比較可行的方法.-41-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3B-42-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3D-43-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-44-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-45-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-46-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(3)設(shè)|a+b|=m(m>0),則|a|=|b|=λm.將|a+b|=m兩邊平方得,a2+2a·b+b2=m2,∴2λ2m2+2λ2m2cos

θ=m2,即2