類型一數(shù)式規(guī)律1．探究數(shù)字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它的體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物體到它那里都別想再“爬出來”，無獨(dú)有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數(shù)，通過一種運(yùn)算，都能被它“吸”進(jìn)去，無一能逃脫它的魔掌．譬如：任意找一個(gè)3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個(gè)數(shù)的每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加，得到一個(gè)新的數(shù)，然后把這個(gè)新數(shù)每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字再立方，求和…，重復(fù)運(yùn)算下去，就能得到一個(gè)固定的數(shù)T=，我們稱它為數(shù)字“黑洞”T為何具有如此魔力通過認(rèn)真的觀察、分析，你一定能發(fā)現(xiàn)它的奧秘！此短文中的丁是()A.363B.153C.159D.456【答案】B;【解析】把6代入計(jì)算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；開始重復(fù)，則T=153.故選B.【點(diǎn)評】此題只需根據(jù)題意，任意找一個(gè)符合條件的數(shù)進(jìn)行計(jì)算，直至計(jì)算得到重復(fù)的數(shù)值，即是所求的黑洞數(shù).可以任意找一個(gè)3的倍數(shù)，如6.第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；開始重復(fù)，則可知T=153.2342.⑴有一列數(shù)-亍匸，-石，石，…，那么依此規(guī)律，第7個(gè)數(shù)是；51017(2)已知112113114門_1a=+=一,a=+—=—,a=+=,aA—11x2x32322x3x43833x4x541544x5x615+=,,TOC\o"1-5"\h\z524依據(jù)上述規(guī)律，則a—.997【答案】⑴—肓；(2)衛(wèi)0509999【解析】(1)符號：單數(shù)為負(fù)，雙數(shù)為正，所以第7個(gè)為負(fù).分子規(guī)律：第幾個(gè)數(shù)就是幾，即第7個(gè)數(shù)分子就是7，分母規(guī)律：分子的平方加1，第7個(gè)數(shù)分母就是50.所以第77個(gè)數(shù)是-5011100(2)a—+—.9999x100x1011009999

n【點(diǎn)評】(1)規(guī)律：(―l)n?(n為正整數(shù))；n+1(2)規(guī)律：-+丄=出丄(n為正整數(shù)).n(n+1)(n+2)n+1n(n+2)3．(1)先找規(guī)律，再填數(shù)：111111—+——1——,—+———12111111—+——1——,—+———12234,+———,—+———,12563307845611

11

+

2011201212011x2012Iab(a>b,a豐0)(2)對實(shí)數(shù)a、b,定義運(yùn)算★如下：a^b=彳[a-b(a<b,a豐0)1例如2*3=2-3=6.計(jì)算[2*(-4)]X[(-4)^(-2)]=81【答案】⑴1006；(2)1；【解析】(1)規(guī)律為：+——(n為正整數(shù)).nn+1n+1n(n+1)2(2)[2*(-4)]X[(-4)*(-2)]=2-4X(-4)2=1.114.a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù).如:2的差倒數(shù)是——1,—11—a．．．1—2的差倒數(shù)是-.已知a——1—(—1)2a2的差倒數(shù)是-.已知a——1—(—1)2a2是ai的差倒數(shù),a3是a2的差倒數(shù)，a是a的差倒數(shù)，…，依此類推，則2009【答案】因?yàn)閍——1—3'—a2009..三個(gè)一循環(huán)，因此5.在快速計(jì)算法中，法國的“小九九”從“5.在快速計(jì)算法中，法國的“小九九”從“得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”是一樣的，后面的就改用手勢了.下面兩個(gè)圖框是用法國“小九九”計(jì)算8X9和6X7的兩個(gè)示例.SXP=?左手右手右手SXP=?左手右手右手???兩手伸出的手指數(shù)的和為7，???兩手伸出的手指數(shù)的和為7，

耒伸出的手指敷的?？?』8x9=72.\囲=10^(3+4)+2x1=72)V?.?兩手伸出的手指數(shù)的和為一

未伸出的手指數(shù)的積妁二，6x7=42.x7=iax(l+2)+4x3=用法國“小九九”計(jì)算7X8，左、右手依次伸出手指的個(gè)數(shù)是多少？設(shè)a、b都是大于5且小于10的整數(shù)，請你說明用題中給出的規(guī)則計(jì)算aXb的正確性？【答案】2,3【解析】按照題中示例可知：要計(jì)算7X8,左手應(yīng)伸出7-5=2個(gè)手指，右手應(yīng)伸出8-5=3個(gè)手指；按照題中示例可知：要計(jì)算aXb,左手應(yīng)伸出(a-5)個(gè)手指，未伸出的手指數(shù)為5-(a-5)=10-a；右手應(yīng)伸出(b-5)個(gè)手指，未伸出的手指數(shù)為5-(b-5)=10-b兩手伸出的手指數(shù)的和為(a-5)+(b-5)=a+b-10,未伸出的手指數(shù)的積為(10-a)X(10-b)=100T0aT0b+aXb根據(jù)題中的規(guī)則，aXb的結(jié)果為10X(a+bT0)+(100T0aT0b+aXb)而10X(a+bT0)+(100T0aT0b+aXb)=10a+10bT00+100T0aT0b+aXb二aXb所以用題中給出的規(guī)則計(jì)算aXb是正確的.6.將正偶數(shù)按下表排列：第1列第2列第3列第4列第1行2第2行46第3行81012第4行14161820根據(jù)上面的規(guī)律，則2006所在行、列分別是【答案】第45行第13列【解析】觀察數(shù)列2,4,6,8,10,...每個(gè)比前一個(gè)增大2,2006是這列數(shù)字第1003個(gè).個(gè).每行數(shù)字的個(gè)數(shù)按照1,2,3,4,5,...,n遞增，根據(jù)等差數(shù)列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有數(shù)字的個(gè)數(shù)n(n+1)（包括n行）以前的所有數(shù)字的個(gè)數(shù)n(n+1)""2如果2006在第n行，那么(n+1)n_2->1003(n+1)n""2二1003，解得n約為44.5,n取整數(shù)，因此n=45。到第44行（含44行）共有數(shù)字（44+1）X44=990個(gè);2到第45行（含到第45行（含45行）共有數(shù)字（45+1）45x-=1035個(gè);2006是第1003個(gè)，在45行13列.7?在數(shù)學(xué)活動中’小明為了求2+2-+2+2-+…+的值（結(jié)果用“表示），設(shè)計(jì)如圖（1）所示的幾何圖形.TOC\o"1-5"\h\z（1）請你利用這個(gè)幾何圖形求T+亍+亍+亍—的值為.22223242n（2）請你利用圖（2）再設(shè)i^一個(gè)能求怎+亍++++的值的幾何圖形.22223242n(1)C2)【答案】!]2(1)C2)【答案】!]2123048.細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題A21A1(1)由題意可知，A21A1(1)由題意可知，(:n)+1=n+1,S圖形滿足勾股定理，n2C1)+1二2,s12+1二3,S二空22+1二4,S二空32(1)請用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律;(2)推算出OA1。的長;12(3)求出S2+S22+S32+?+S102的值.12答案】(2)因?yàn)?A=訂1,0A=t2,0A=g3…,TOC\o"1-5"\h\z123所以0A二百1010(3)S2+S2+S2+???+S2123102310)2=―2+(一)2+一)2+…+(寧)22222=丄(1+2+3+…+10)4=5549.根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問題：11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；9.根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問題：11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；16X24；17X23；18X22；19X21；20X20.(1)試將以上各乘積分別寫成一個(gè)“口2-02”(兩數(shù)平方差)的形式，并寫出其中一個(gè)的思考過程；(2)將以上10個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來；(3)試由(1)、(2)猜想一個(gè)一般性的結(jié)論.(不要求證明)答案】(1)11X29=202-92；12X28=202-82；

13X27=202—72；14X26=202—62；15X25=202-52；16X24=202—42；17X23=202—32；18X22=202—22；19X21=202—12；20X20=202—02；例如：11X29；假設(shè)11X29=^2—02；因?yàn)榭?—02=(口+0)(口—0)所以，可以令□-0=11,口+0=29解得，口=20,0=9，故11X29=202-92(或11X29=(20—9)(20+9)=202—92)這10個(gè)乘積按照從小到大的順序依次是：11X29〈12X28〈13X27〈14X26〈15X25〈16X24〈17X23〈18X22〈19X21〈20X20.①若a+b=40,a,b是自然數(shù)，則abW202=400.②若a+b=40，則abW202=400.ab<ab<③若a+b=m，a，b是自然數(shù)，則ab<(―若a+b=m，則若a+b=a+b=a+b=^=a+b=40，且|a-b|三|a-b|三|a-b|三…三|a-b|，112233nn112233nn貝9abWabWabb.112233nn若a+b=a+b=a+b=^=a+b=m，且|a-b|三|a-b|三|a-b|三…三|a-b|，112233nn112233nn貝9abWabWabW???Wab.112233nn10、有一組數(shù)：1，2,5，10，17,26，……，請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個(gè)數(shù)為.【答案】：50【解析】仔細(xì)觀察這一數(shù)列中的各個(gè)數(shù)字的構(gòu)成特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)如下；第一個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)數(shù)數(shù)1+1,第三個(gè)數(shù)是1+1+3,第四個(gè)數(shù)是1+1+3+5，第五個(gè)數(shù)是1+1+3+5+7，第六個(gè)數(shù)是1+1+3+5+7+9,為了使規(guī)律凸顯的明顯，我們不妨把第一個(gè)數(shù)1也寫成兩個(gè)數(shù)的和的形式，為1+0，這樣，就發(fā)現(xiàn)數(shù)字1是固定不變的，規(guī)律就蘊(yùn)藏在新數(shù)列0,1,4,9,16中，而0,1,4,9,16這些數(shù)都是完全平方數(shù)，并且底數(shù)恰好等于這個(gè)數(shù)字對應(yīng)的序號與1的差，即1=1+(1-1)2,2=1+(2-1)2,5=1+(3-1)2,10=1+(4-1)2,17=1+(5-1)226=1+(5-1)2，這樣，第n個(gè)數(shù)為1+(n-1)2，找到數(shù)列變化的一般規(guī)律后，就很容易求得任何一個(gè)序號的數(shù)字了。因此，第八個(gè)數(shù)就是當(dāng)n=8時(shí)，代數(shù)式1+(n-1)2的值，此時(shí)，代數(shù)式1+(n-1)2的值為1+(8-1)2=50。所以，本空填50。古希臘數(shù)學(xué)家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第100個(gè)三角形數(shù)與第98個(gè)三角形數(shù)的差為.【答案】：199【解析】：本題中數(shù)列的數(shù)字，不容易發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律。我們不妨利用函數(shù)的思想去試一試。當(dāng)序號為1時(shí)，對應(yīng)的值是1，有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為A,則A(1,1)；當(dāng)序號為2時(shí)，對應(yīng)的值是3,有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為B,則B(2,3)；當(dāng)序號為3時(shí)，對應(yīng)的值是6,有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為C,則C(3,6)；-1宀6-3c3-16-3、、因?yàn)椋?1=2，32=3，所以有：21豐32成立，所以，對應(yīng)的數(shù)值y是序號n的二次函數(shù)，因此，我們不妨設(shè)y=an2+bn+c.把A(1,1),B(2,3),C(3,6)分別代入y=an2+bn+c中，TOC\o"1-5"\h\z11得：a+b+c=1,4a+2b+c=3,9a+3b+c=6，解得：a=—,b=—,c=0,厶厶1111所以’y=2n2+—n,因此’當(dāng)n=100時(shí)’y=—X1002+—X100,111111當(dāng)n=98時(shí)，y=X982+X98,因此(X1002+X100)-(X982+X98)=199,222222所以該空應(yīng)該填199。12、為慶?！傲谝弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽.如圖所示:①②③按照上面的規(guī)律，擺"個(gè)“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為()

B^+切c4+4?【答案】A【解析】第一個(gè)圖需要火柴的根數(shù)是8,有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為A,則A(l,8)；第二個(gè)圖需要火柴的根數(shù)是14，有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為B,則B(2,14)；第三個(gè)圖需要火柴的根數(shù)是20，有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為C,則C(3，20)；因?yàn)?20-14r=因?yàn)?20-14r=63-2所以有:14-82-120-143-2成立，所以，每個(gè)圖形中所需要的火柴的總根數(shù)y是這個(gè)圖形的序號n的一次函數(shù)，因此，我們不妨設(shè)y=kn+b.把A（1,8）,B（2,14）分別代入y=kn+b中得：k+b=8,2k+b=14,解得：k=6,b=2,所以，y=6n+2。因此選A。13、下列圖案是由邊長為單位長度的小正方形按一定的規(guī)律拼接而成。依此規(guī)律，第5個(gè)圖案中小正方形的個(gè)數(shù)為□第第？于第亍T【答案】：50【解析】仔細(xì)觀察第一個(gè)圖，正方形的個(gè)數(shù)為1,第二個(gè)圖形中正方形的特點(diǎn)是中間是3個(gè)，左右兩邊各一個(gè)，即為1+3+1個(gè)，第三個(gè)圖形中正方形的特點(diǎn)是中間是5個(gè)，左右分別是1+3個(gè)，即為1+3+5+3+1,分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為1+3+5++(2n-1)++5+3+1=2n2-2n+1,這樣，第5個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)，也就是當(dāng)n=5時(shí)，代數(shù)式2n2-2n+1的值，所以，代數(shù)式的值為：2n2-2n+1=2X52-2X5+1=41個(gè)。所以，本空填50。14、按如下規(guī)律擺放三角形：

A-△△△⑶△△△△△不△△△△A-△△△⑶則第(4)堆三角形的個(gè)數(shù)為；第(n)堆三角形的個(gè)數(shù)為.【答案】：14,3n+2【解析】：仔細(xì)觀察第一個(gè)圖形，三角形排列的特點(diǎn)是中間3=(1+2)個(gè),左右各1個(gè),即圖1中三角形的總數(shù)為1+(1+2)+1,第二個(gè)圖形中三角形形的特點(diǎn)是中間是4=(2+2)個(gè)，左右兩邊各2個(gè),即為2+(2+2)+2個(gè)，第三個(gè)圖形中三角形的特點(diǎn)是中間是5=(3+2)個(gè)，左右分別是3個(gè),即為3+(3+2)+3，分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為n+(n+2)+n=3n+2，這樣，第4個(gè)圖形中三角形正方形的個(gè)數(shù)，也就是當(dāng)n=4時(shí)，代數(shù)式3n+2的值，所以，代數(shù)式的值為：3n+2=3X4+2=14個(gè)。所以，本題的兩個(gè)空分別填14和3n+2。15、下列圖中有大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)，第2幅圖中有3個(gè)，第3幅圖中有5個(gè)，則第n幅圖中共有個(gè)。123n【答案】：2n+1【解析】：仔細(xì)觀察第一個(gè)圖形，有一個(gè)菱形，第二個(gè)圖形中有3個(gè)菱形，第三個(gè)圖形中有5個(gè)菱形,仔細(xì)觀察這些數(shù)的特點(diǎn)，恰好是奇數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，由此，就清楚了變化的規(guī)律了。所以，第n個(gè)圖形中有2n+1個(gè)菱形。16、試觀察下列各式的規(guī)律，然后填空:(X-1)(兀+1)」-1(X-1)(兀彳+兀+1)=F—1(x-1)(F+x3+1)=十一1貝1兀十0+屮+……+H+1)=?！敬鸢浮浚簒11-1【解析】要想找到式子的變化規(guī)律，同學(xué)們應(yīng)該仔細(xì)觀察式子的特點(diǎn)，找出式子中，哪些量是在固定不變的，哪些量是在不斷變化。這對解題很關(guān)鍵。仔細(xì)觀察式子，不難發(fā)現(xiàn)等式左邊中的(X-1)是個(gè)固定不變的量。左邊式子中第二個(gè)括號中多項(xiàng)式的次數(shù)是不斷變化的，且多項(xiàng)式的次數(shù)等于對應(yīng)等式的序號數(shù)，即第一個(gè)等式中的多項(xiàng)式的次數(shù)是1,第二個(gè)等式中的多項(xiàng)式的次數(shù)為2,所以，第n個(gè)等式中的多項(xiàng)式的次數(shù)為n這是等式左邊的變化規(guī)律；等式右邊的規(guī)律，容易找些，多項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng)是保持不變的，字母x的指數(shù)隨等式的序號變化而變化，且滿足字母x的指數(shù)等于等式的序號加1。所以，第10個(gè)等式的結(jié)果為x11—117、觀察下列各式：153=lx(l+l)xl00+52=225253=2x(2+l>100+53=625S33=3x(3+1>100+=1225依此規(guī)律，第n個(gè)等式(n為正整數(shù))為?！敬鸢浮浚?10n+5)2=n(n+1)X100+52o【解析】要想找到式子的變化規(guī)律，同學(xué)們應(yīng)該仔細(xì)觀察式子的特點(diǎn)，找出式子中，哪些量是在固定不變的，哪些量是在不斷變化。這對解題很關(guān)鍵。等式左邊底數(shù)的特點(diǎn)是，個(gè)位數(shù)字都5,是個(gè)不變的量，十位數(shù)字與對應(yīng)的序號一致，分別是1、2、3、4；等式右邊的特點(diǎn)是：第一個(gè)數(shù)字與對應(yīng)的序號是一致的，括號里的數(shù)字的特點(diǎn)是對應(yīng)的序號與常數(shù)1的和；第三個(gè)數(shù)字又是一個(gè)固定的常數(shù)100;第四個(gè)數(shù)字是常數(shù)5的平方，也是固定不變的。通過分析，我們知道在這里對應(yīng)的序號是問題的根本。而第n個(gè)等式的序號為n,所以第n個(gè)等式應(yīng)該是：(10n+5)2二n(n+1)X100+52。

18、觀察下列等式：第一行3=4-1第二彳丁5=9—4第三行7=16—9第四行9=25—16……按照上述規(guī)律，第n行的等式為【答案】：2n+1=(n+1)2-少?！窘馕觥浚旱仁降淖筮叺奶攸c(diǎn)是：奇數(shù)3、5、7、9…，這些奇數(shù)可以用對應(yīng)的序號表示，3=2X1+1,5=2X2+1,7=2X3+1,9=2X4+1,其中1、2、3、4等恰好是對應(yīng)的序號，所以，第n個(gè)奇數(shù)為2n+1，這樣，我們就把等式左邊的規(guī)律找出來了；等式右邊的特點(diǎn)是：被減數(shù)為4、9、16、25、…恰好是22,32,42,52,…等對應(yīng)的幕，幕的底數(shù)與對應(yīng)的序號的關(guān)系是：底數(shù)=對應(yīng)序號+1，這樣，我們就又找到了一部分規(guī)律，第n個(gè)被減數(shù)為(n+1)2