131函數(shù)的單調性與導數(shù)13導數(shù)在研究函數(shù)中的應用一、復習引入:函數(shù)單調性定義函數(shù)y=f在給定區(qū)間a,b上，對任意的1、2∈a,b當1＜2時1都有f1＜f2，則f在a,b上是增函數(shù)；2都有f1＞f2，則f在a,b上是減函數(shù)；說明：函數(shù)的單調性是對某個區(qū)間而言的，它反映的是函數(shù)的局部性質。這個區(qū)間是定義域的子集觀察一abth0

運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？abtv0思考：這種情況是否具有一般性呢？xyOx0函數(shù)單調遞增函數(shù)單調遞減

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)>0f

(x)>0f

(x)<0f

(x)<0f

(x)<0f

(x)<0f

(x)>0f

(x)<0歸納：一般地，函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負有如下關系：如果函數(shù)y＝f在某點處的導數(shù)值f′＞0，那么函數(shù)y＝f在這點附近單調遞增；反之，函數(shù)在這點附近單調遞減。

觀察二函數(shù)單調性與導數(shù)關系：在某個區(qū)間（a

,

b）內如果f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內單調遞減。xO

y

y

f(x

)abxO

y

y

f(x

)abf

(x)<0

f

(x)>0單調遞增單調遞減思考：如果在某個區(qū)間內恒有f′=0，那么函數(shù)f有什么特征？函數(shù)f為常數(shù)函數(shù)題型一：函數(shù)與導函數(shù)圖象關系例112xy12xyA12xyB12xyC12xyDC變式設函數(shù)f在定義域內可導，y=f的圖象如右圖所示，則導函數(shù)y=f’的圖象可能是（）(A)(B)(C)(D)ABCD例4如圖，水以恒速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度h與時間t的函數(shù)關系圖象。（1）（2）（3）（4）tho（A）tho（B）tho（C）tho（D）xyOx0函數(shù)單調遞增函數(shù)單調遞減

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)>0f

(x)>0f

(x)<0f

(x)<0f

(x)<0f

(x)<0f

(x)>0f

(x)<0例4表明，通過函數(shù)圖象，不僅可以看出函數(shù)的增或減，還可以看出其變化的快慢。結合圖象，你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？思考：一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內變化得快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些。題型二：利用導數(shù)求單調區(qū)間例1函數(shù)y＝2－ln的單調遞減區(qū)間為A－1,1 B0,1C1，＋∞ D0，＋∞令y′<0，得0<<1，∴單調遞減區(qū)間為0,1函數(shù)f定義域為0，＋∞，小結由導數(shù)確定函數(shù)的單調性的步驟：1確定函數(shù)f的定義域2求函數(shù)的導數(shù)f’3解不等式f’>0，結合定義域得到函數(shù)的單調遞增區(qū)間。4解不等式f’<0，結合定義域得到函數(shù)的單調遞減區(qū)間。解:1因為,所以例2判斷下列函數(shù)的單調性，并求出單調區(qū)