正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)定義域和值域正弦函數(shù)定義域：R值域：[-1，1]余弦函數(shù)定義域：R值域：[-1，1]練習(xí)判斷以下等式是否成立？×√一、周期性：〔1〕圖象特征：圖象從Ｘ軸看等距離重復(fù)出現(xiàn)；〔2〕數(shù)值特征：當(dāng)自變量x每增加的整數(shù)倍時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)?！?〕定義：假設(shè)存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)成立，那么稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)；非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．〔4〕最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小的正數(shù)為函數(shù)的最小正周期。如正弦函數(shù)的和余弦函數(shù)的的最小正周期為3、周期函數(shù)不一定存在最小正周期。例如f(x)=c2、非唯一性——周期函數(shù)的周期不止一個(gè)，例如，都是正弦函數(shù)的周期。注意點(diǎn)：1、存在性——要求對于定義域中的每一個(gè)值x,均有f(x+T)=f(x)。例1求以下三角函數(shù)的周期：

解：〔1〕∵∴由周期函數(shù)的定義知道，原函數(shù)的周期為2〔2〕∵

∴由周期函數(shù)的定義知道，原函數(shù)的周期為〔3〕∵

∴由周期函數(shù)的定義知道，原函數(shù)的周期為4正弦函數(shù)的圖象探究余弦函數(shù)的圖象問題：它們的圖象有何對稱性？

它們的形狀相同，且都夾在兩條平行直線y=1與y=-1之間。正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)由誘導(dǎo)公式正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，余弦曲線關(guān)于y軸對稱它們的位置不同，正弦曲線交y軸于原點(diǎn)，余弦曲線交y軸于點(diǎn)〔0，1〕.例２．判斷以下函數(shù)的奇偶性非奇函數(shù)非偶函數(shù)奇函數(shù)非奇函數(shù)非偶函數(shù)1、__________，那么f〔x〕在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).正弦余弦函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)假設(shè)在指定區(qū)間任取，且，都有：函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的走向。觀察正余弦函數(shù)的圖象，探究其單調(diào)性2、__________，那么f〔x〕在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).增函數(shù)：上升減函數(shù)：下降

正弦函數(shù)的單調(diào)性

y=sinx(xR)xyo--1234-2-31

x

sinx

…0……

…-1010-1探究：正弦函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)在區(qū)間……上時(shí)，曲線逐漸上升，sinα的值由增大到。當(dāng)在區(qū)間上時(shí)，曲線逐漸下降，sinα的值由減小到。探究：正弦函數(shù)的單調(diào)性正弦函數(shù)的增區(qū)間為：其值從－1增大到1；正弦函數(shù)的減區(qū)間為：其值從1減小到－1。探究：正弦函數(shù)的最大值和最小值最大值：當(dāng)時(shí)，有最大值最小值：當(dāng)時(shí)，有最小值

余弦函數(shù)的單調(diào)性

y=cosx(xR)

xcosx

-

……0…

…

-1010-1yxo--1234-2-31

探究：余弦函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)在區(qū)間上時(shí)，曲線逐漸上升，cosα的值由增大到。曲線逐漸下降，sinα的值由減小到。當(dāng)在區(qū)間上時(shí)，探究：余弦函數(shù)的單調(diào)性由余弦函數(shù)的周期性知：其值從1減小到－1。減區(qū)間為：其值從－1增大到1；增區(qū)間為：探究：余弦函數(shù)的最大值和最小值最大值：當(dāng)時(shí)，有最大值最小值：當(dāng)時(shí)，有最小值例以下函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時(shí)的自變量x的集合，并說出最大值、最小值分別是什么？使函數(shù)取得最大值的x集合,就是使函數(shù)取得最大值的x的集合解：使函數(shù)取得最小值的x集合,就是使函數(shù)取得最小值的x的集合函數(shù)的最大值是1+1=2，最小值是-1+1=0【例2】求以下函數(shù)的最大值，并求出最大值時(shí)x的集合：(1)y=cos,xR；(2)y=2-sin2x,xR解：(1)當(dāng)cos=1,即x=6k

(k

Z)時(shí)，ymzx=1∴函數(shù)的最大值為1,取最大值時(shí)x的集合為{x|x=6k

,k

Z}．(2)當(dāng)sin2x=-1時(shí),即

x=k

-(k

Z)時(shí),ymax=3(k

Z)}

∴函數(shù)的最大值為3,取最大值時(shí)x的集合為{x|x=k

-

例3不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0：(1)sin()–sin()(2)cos()-cos()

解：

又y=sinx在上是增函數(shù)

sin()<sin()即：sin()–sin()>0cos()=cos=cos

cos()=cos=cos

解：

cos<cos即：cos–cos<0又y=cosx在上是減函數(shù)從而cos()-cos()

<0例2、求函數(shù)解:令由函數(shù)正弦函數(shù)的對稱性

xyo--1234-2-31

余弦函數(shù)的對稱性yxo--1234-2-31

例題求函數(shù)的對稱軸和對稱中心解〔1〕令那么的對稱軸為解得：對稱軸為的對稱中心為對稱中心為練習(xí)求函數(shù)的對稱軸和對稱中心練習(xí)1、為函數(shù)的一條對稱軸的是〔〕C2、求函數(shù)的對稱軸和對稱中心。練習(xí)f(x)=sinxf(x)=cosx圖象RR[1,1][1,1]時(shí)ymax=1時(shí)ymin=

1時(shí)ymax=1時(shí)ymin=

1xyo--1234-21

定義域值域最值f(x)=0xyo--1234-21

f(x)=sinxf(x)=cosx圖象周期性奇偶性單調(diào)性

2

2

奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)增區(qū)間:單調(diào)減區(qū)間:單調(diào)增區(qū)間:單調(diào)減區(qū)間:xyo--1234-21

xyo--1234-21

函數(shù)

性質(zhì)y=sinx(k∈z)y=cosx(k∈z)定義域值域最值及相應(yīng)的x的集合周期性奇偶性單調(diào)性對稱中心對稱軸RR[-1,1][-1,1]x=2kπ時(shí)ymax=1x=2kπ+π時(shí)ymin=-1周期為T=2π周期為T=2π奇函數(shù)

偶函數(shù)在x∈[2kπ-π，2kπ]上都是增函數(shù),在x∈[2kπ，2kπ+π]上都是減函數(shù)。(kπ,0)x

=kπ