專題六解析幾何第一講直線和圓——小題備考微專題1直線的方程及應(yīng)用?？汲Ｓ媒Y(jié)論1．兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．2．直線方程常用的三種形式(1)點斜式：過一點(x0，y0)，斜率k，直線方程為y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：縱截距b，斜率k，直線方程為y＝kx＋b.(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)3．兩個距離公式(1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝C1(2)點(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝Ax0保分題1.[2022·山東濰坊二模]已知直線l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，則a＝()A．13B．－C．3D．－32．[2022·湖南常德一模]已知直線l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，則“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．[2022·山東濟南二模]過x＋y＝2與x－y＝0的交點，且平行于向量v＝(3，2)的直線方程為()A．3x－2y－1＝0B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0D．2x－3y－1＝0提分題例1[2022·江蘇海安二模](多選)已知直線l過點(3，4)，點A(－2，2)，B(4，－2)到l的距離相等，則l的方程可能是()A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0聽課筆記：技法領(lǐng)悟1．設(shè)直線的方程時要注意其使用條件，如設(shè)點斜式時，要注意斜率不存在的情況；設(shè)截距式時要注意截距為零的情況．2．已知直線的平行、垂直關(guān)系求參數(shù)值時，可以直接利用其系數(shù)的等價關(guān)系式求值，也要注意驗證與x，y軸垂直的特殊情況．鞏固訓(xùn)練1[2022·山東臨沂三模]數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，則其歐拉線方程為________________________．微專題2圓的方程、直線與圓、圓與圓常考常用結(jié)論1．圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點時，方程為x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以-D2，-E2．直線與圓的位置關(guān)系直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)與圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置關(guān)系如表．方法幾何法代數(shù)法位置關(guān)系根據(jù)d＝Aa+Bb+CA2+Ax+Bx+C=0消元得一元二次方程，根據(jù)判別式Δ的符號判斷相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相離d>rΔ<0切線長的計算：過點P向圓引切線PA，則|PA|＝PC2-r2(其中弦長的計算：直線l與圓C相交于A，B兩點，則|AB|＝2r2-d2(其中3．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圓C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22位置關(guān)系方法幾何法：圓心距d與r1、r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解(1)當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程；(2)兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心；(3)求公共弦長時，幾何法比代數(shù)法簡單易求．保分題1.[2022·河北石家莊一模]與直線x＋2y＋1＝0垂直，且與圓x2＋y2＝1相切的直線方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝02．[2022·北京卷]若直線2x＋y－1＝0是圓(x－a)2＋y2＝1的一條對稱軸，則a＝()A．12 B．－C．1 D．－13．[2022·湖北十堰三模]當(dāng)圓C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面積最小時，圓C與圓D：x2＋y2＝1的位置關(guān)系是________．提分題例2(1)[2022·新高考Ⅱ卷]設(shè)點A(－2，3)，B(0，a)，若直線AB關(guān)于y＝a對稱的直線與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點，則a的取值范圍是________．(2)[2022·山東臨沂二模]若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的長為1，則直線a2x＋2b2y＋3＝0恒過定點M的坐標(biāo)為________．聽課筆記：【技法領(lǐng)悟】1．圓的切線方程：(1)過圓上一點的切線方程：對于這種情況可以通過圓心與切點的連線垂直切線求出切線的斜率，進而求出直線方程．(2)過圓外一點的切線方程：這種情況可以先設(shè)直線的方程，然后聯(lián)立方程求出他們只有一個解(交點)時斜率的值，進而求出直線方程．2．與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長l23．兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一結(jié)論的前提是兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的公共弦所在的直線方程．鞏固訓(xùn)練21.[2022·福建德化模擬]已知點A(－2，0)，直線AP與圓C：x2＋y2－6x＝0相切于點P，則AC·CP的值為()A．－15 B．－9C．9 D．152．[2022·廣東梅州二模]已知直線l：y＝kx與圓C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B兩點，若△ABC為等邊三角形，則k的值為()A．33 B．C．±33 D．±微專題3有關(guān)圓的最值問題?？汲Ｓ媒Y(jié)論1．與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解，注意圓的弦長或切線段的長通常利用勾股定理轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離或點到圓心距離．2．與圓上點(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法形如μ＝y(tǒng)-bx-a型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(a，b)和點(x，y)形如t＝ax＋by型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離平方的最值問題．3．與距離最值有關(guān)的常見的結(jié)論(1)圓外一點A到圓上距離最近為|AO|－r，最遠為|AO|＋r；(2)過圓內(nèi)一點的弦最長為圓的直徑，最短為該點為中點的弦；(3)直線與圓相離，則圓上點到直線的最大距離為圓心到直線的距離d＋r，最小為d－r；(4)過兩定點的所有圓中，面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓的面積．(5)直線外一點與直線上的點的距離中，最短的是點到直線的距離；(6)兩個動點分別在兩條平行線上運動，這兩個動點間的最短距離為兩條平行線間的距離．4．與圓有關(guān)的面積的最值問題或圓中與數(shù)量積有關(guān)的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有時可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．保分題1.圓x2＋y2＋2x－8＝0截直線y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦長為()A．27B．22C．43D．22．[2022·遼寧撫順一模]經(jīng)過直線y＝2x＋1上的點作圓x2＋y2－4x＋3＝0的切線，則切線長的最小值為()A．2B．3C．1D．53．[2022·遼寧遼陽二模]若點P，Q分別為圓C：x2＋y2＝1與圓D：(x－7)2＋y2＝4上一點，則|PQ|的最小值為________．提分題例3(1)[2022·廣東汕頭一模]點G在圓(x＋2)2＋y2＝2上運動，直線x－y－3＝0分別與x軸、y軸交于M、N兩點，則△MNG面積的最大值是()A．10 B．23C．92 D．(2)[2022·山東泰安三模](多選)已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，則下列說法正確的是()A．yx的最大值為B．yx的最小值為C．x2＋y2的最大值為5＋1D．x＋y的最大值為3＋2聽課筆記：技法領(lǐng)悟1．要善于借助圖形進行分析，防止解題方法錯誤．2．要善于運用圓的幾何性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，防止運算量過大，以致運算失誤．鞏固訓(xùn)練31.[2022·北京昌平二模]已知直線l：ax－y＋1＝0與圓C：(x－1)2＋y2＝4相交于兩點A，B，當(dāng)a變化時，△ABC的面積的最大值為()A．1 B．2C．2 D．222．[2022·遼寧鞍山二模](多選)已知M為圓C：(x＋1)2＋y2＝2上的動點，P為直線l：x－y＋4＝0上的動點，則下列結(jié)論正確的是()A．直線l與圓C相切B．直線l與圓C相離C．|PM|的最大值為3D．|PM|的最小值為2專題六解析幾何第一講直線和圓微專題1直線的方程及應(yīng)用保分題1．解析：∵l1⊥l2，∴13·(－1a)＝－1?a＝答案：A2．解析：若l1∥l2，則有－a2＋4＝0，解得a＝±2，當(dāng)a＝2時，l1：2x－4y－3＝0，l2：x－2y＋1＝0，l1∥l2，當(dāng)a＝－2時，l1：2x＋4y＋3＝0，l2：x＋2y＋1＝0，l1∥l2，所以若l1∥l2，a＝±2，則“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件．答案：A3．解析：由x-y=0x+y=2，得x＝1，y＝1，所以交點坐標(biāo)為(1，1)又因為直線平行于向量v＝(3，2)，所以所求直線方程為y－1＝23(x－1)即2x－3y＋1＝0.答案：C提分題[例1]解析：當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝3，此時點A到直線l的距離為5，點B到直線l的距離為1，此時不成立；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，∵點A(－2，2)，B(4，－2)到直線的距離相等，∴-2k-2+4-3kk2+1＝4k+2+4-3kk2+1，解得k＝－當(dāng)k＝－23時，直線l的方程為y－4＝－23(x－3)，整理得2x＋3y－18＝當(dāng)k＝2時，直線l的方程為y－4＝2(x－3)，整理得2x－y－2＝0.綜上，直線l的方程可能為2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.答案：BC[鞏固訓(xùn)練1]解析：設(shè)△ABC的重心為G，垂心為H，由重心坐標(biāo)公式得x＝0+2+-43＝－23，y＝0+4+03＝43，所以G由題，△ABC的邊AC上的高線所在直線方程為x＝0，直線BC：y＝x＋4，A(2，0)，所以△ABC的邊BC上的高線所在直線方程為y＝－x＋2，所以x=0y=-x+2?H(0，2)所以歐拉線GH的方程為y－2＝2-430--23x，即x答案：x－y＋2＝0微專題2圓的方程、直線與圓、圓與圓保分題1．解析：由題得直線x＋2y＋1＝0的斜率為－12，所以所求的直線的斜率為2設(shè)所求的直線方程為y＝2x＋b，∴2x－y＋b＝0.因為所求直線與圓相切，所以1＝b4+1，∴b＝±5所以所求的直線方程為2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0.答案：C2．解析：因為直線2x＋y－1＝0是圓(x－a)2＋y2＝1的一條對稱軸，所以直線2x＋y－1＝0經(jīng)過圓心．由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，知圓心坐標(biāo)為(a，0)，所以2a＋0－1＝0，解得a＝12.故選答案：A3．解析：由x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0，得(x－2)2＋(y＋k)2＝k2－2k＋4＝(k－1)2＋3，當(dāng)k＝1時，(k－1)2＋3取得最小值，此時，圓心坐標(biāo)為(2，－1)，半徑為3.因為|CD|＝22+-12＝5，3－1<答案：相交提分題[例2]解析：(1)因為kAB＝a-32，所以直線AB關(guān)于直線y＝a對稱的直線方程為(3－a)x－2y＋2a＝0.由題意可知圓心為(－3，－2)，且圓心到對稱直線的距離小于或等于1，所以3a-3+4+2a4+3-a2≤1，整理，得6a2－11a＋3≤0，解得(2)解析：由C1：x2＋y2＝1和C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1可得公共弦所在直線方程為x2＋y2－x-a2+y-b即2ax＋2by－a2－b2＝0，由公共弦AB的長為1可得直線2ax＋2by－a2－b2＝0與圓C1：x2＋y2＝1相交弦長即為1，又圓心到直線的距離-a2-b24a2+4b2＝a2+b22，故21-a2+b222＝可化為a2x＋(6－2a2)y＋3＝0，整理得a2(x－2y)＋6y＋3＝0，由x-2y=06y+3=0，解得x=-1故定點M的坐標(biāo)為-1，-1答案：(1)[13，32[鞏固訓(xùn)練2]1．解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝9，圓心為C(3，0)，半徑為3，即|CP|＝3，由圓的幾何性質(zhì)可知AP⊥CP，所以，AC·CP＝(AP+PC)·CP＝AP·CP-CP答案：B2．解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4，圓心為C(3，0)，半徑為2，由題意可知，圓心C到直線l的距離為d＝2sinπ3＝3由點到直線的距離公式可得d＝3kk2+1＝3，解得k答案：D微專題3有關(guān)圓的最值問題保分題1．解析：直線y＝kx＋1過定點(0，1)，圓x2＋y2＋2x－8＝0可化為(x＋1)2＋y2＝32，故圓心為(－1，0)，半徑為r＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以點(0，1)在圓x2＋y2＋2x－8＝0內(nèi)，(0，1)和(－1，0)的距離為-12+-1根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，圓x2＋y2＋2x－8＝0截直線y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦長為232-22答案：A2．解析：直線y＝2x＋1上任取一點P(x0，y0)作圓x2＋y2－4x＋3＝0的切線，設(shè)切點為A，圓x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，圓心C(2，0)，r＝1，切線長為PC2-r|PC|min＝2×2+122+所以切線長的最小值為52-1答案：A3．解析：因為|CD|＝7>1＋2，所以兩圓相離，所以|PQ|的最小值為7－1－2＝4.答案：4提分題[例3]解析：(1)易知點M(3，0)、N(0，－3)，則|MN|＝32+32圓(x＋2)2＋y2＝2的圓心坐標(biāo)為(－2，0)，半徑為2，圓心到直線x－y－3＝0的距離為-2-0-32＝5所以，點G到直線x－y－3＝0的距離的最大值為522+所以，△MNG面積的最大值是12×