/【講練課堂】2022-2023學年七年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題3.7一元一次方程的應用（2）工程問題（重難點培優(yōu)）【名師點睛】1.利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、列、解、答．列一元一次方程解應用題的五個步驟（1）審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系．（2）設：設未知數(shù)（x），根據(jù)實際情況，可設直接未知數(shù)（問什么設什么），也可設間接未知數(shù)．（3）列：根據(jù)等量關系列出方程．（4）解：解方程，求得未知數(shù)的值．（5）答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．2.工程問題：常用的數(shù)量關系：工作總量=工作效率×工作時間，工作效率=工作總量工作時間，工作時間=工作總量兩個或兩個工作效率不同的對象所完成的工作量之和等于工作總量；通常情況下，把工作總量看成是“1”.【典例剖析】【例1】（2022·吉林·東北師大附中七年級期中）[教材改編]改編華師版七年級下冊數(shù)學教材第19頁的部分內(nèi)容．問題3

課外活動時李老師來教室布置作業(yè)，有一道題只寫了“學校校辦廠需制作一塊廣告牌，請來兩名工人．已知師傅單獨完成需4天，徒弟單獨完成需6天”就停住了．根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）兩人合作需要__________天完成．（2）李老師選了兩位同學的問題，合起來在黑板上寫出：現(xiàn)由徒弟先做1天，再兩人合作，完成后共得到報酬450元，如果按各完成工作量計算報酬，那么該如何分配？[拓展]在問題3中，如果兩人合作完成后共得報酬450元，工作量相同部分的報酬，師徒按3：2分配，余下的工作量所得報酬分配給該部分完成者，請直接寫出師徒各得的報酬．【答案】[教材改編]（1）2.4；（2）師傅和徒弟各分225元；[拓展]師傅所得報酬為306元，徒弟所得報酬為144元．【分析】[教材改編]（1）用總工作量除以兩人的工作效率之和，即可求解；（2）兩人合作x天，根據(jù)題意，列出方程，即可求解；[拓展]先分別求出兩人完成的工作量，可得兩人完成工作量相同部分，再根據(jù)工作量相同部分的報酬，師徒按3：2分配，即可求解．【詳解】[教材改編]解：（1）兩人合作的天數(shù)為：1÷1答：兩人合作需要2.4天完成；（2）設兩人合作x天，根據(jù)題意得：16解得：x=2∴徒弟完成的工作量為16+2∴兩人的工作量相同，∴師傅和徒弟各分一半，即12答：師傅和徒弟各分225元；[拓展]解：由（1）得：兩人合作的時間為2.4天，徒弟完成工作量的2.4×1師傅完成工作量的2.4×1兩人完成工作量相同部分為25徒弟所得報酬為450×4∴師傅所得報酬為450-144=306元，答：師傅所得報酬為306元，徒弟所得報酬為144元．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，有理數(shù)混合運算的應用，明確題意，準確得到數(shù)量關系是解題的關鍵．【變式1】（2022·全國·七年級期中）接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，針對疫苗急需問題，某制藥廠緊急批量生產(chǎn)，計劃每人每小時生產(chǎn)疫苗500劑，但受某些因素影響，某車間有10名工人不能按時到廠．為了應對疫情，該車間其余工人加班生產(chǎn)，由原來每天工作8小時增加到10小時，每人每小時完成的工作量不變，這樣每天能完成預定任務．(1)求該車間當前參加生產(chǎn)的工人有多少人；(2)生產(chǎn)4天后，未到的工人同時到崗加入生產(chǎn)，每天生產(chǎn)時間仍為10小時．若上級分配給該車間共780萬劑的生產(chǎn)任務，問該車間還需要多少天才能完成任務．【答案】(1)當前參加生產(chǎn)的工人有40人(2)車間還需要28天才能完成任務【分析】（1）設當前參加生產(chǎn)的工人有x人，根據(jù)完成的工作總量不變，即可得出關于x的方程，解之即可得出結論；（2）設還需要生產(chǎn)y天才能完成任務，根據(jù)工作總量＝工作效率×工作時間×工作人數(shù)，即可得出關于y的方程求解．（1）解：設當前參加生產(chǎn)的工人有x人，由題意可得：500×10x＝500×8（x+10），解得：x＝40．故當前參加生產(chǎn)的工人有40人；（2）780萬＝7800000，設還需要生產(chǎn)y天才能完成任務，由題意可得：4×500×10×40+（40+10）×10×500y＝7800000，解得：y＝28．故該車間還需要28天才能完成任務．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，理解題意，找準等量關系正確列方程計算是解題關鍵．【例2】（2022·全國·七年級課時練習）某市有甲、乙兩個工程隊，現(xiàn)有－小區(qū)需要進行小區(qū)改造，甲工程隊單獨完成這項工程需要20天，乙工程隊單獨完成這項工程所需的時間比甲工程隊多12(1)求乙工程隊單獨完成這項工程需要多少天？(2)現(xiàn)在若甲工程隊先做5天，剩余部分再由甲、乙兩工程隊合作，還需要多少天才能完成？(3)已知甲工程隊每天施工費用為4000元，乙工程隊每天施工費用為2000元，若該工程總費用政府撥款70000【答案】(1)30天(2)9天(3)甲、乙兩個工程隊各需要施工天數(shù)分別是10天和15天【分析】（1）用甲工程隊單獨完成這項工程的天數(shù)乘以1+1（2）根據(jù)題意得：若甲工程隊先做5天，還剩余1-5（3）甲工程隊需要施工x天，再把兩隊的總費用加起來等于70000，即可求解．（1）解：20×1+答：乙工程隊單獨完成需要30天；（2）解：1-5答：還需要9天才能完成；（3）解：設甲工程隊需要施工x天，4000x解得：x=10乙工程隊需要施工1-120答：甲、乙兩個工程隊各需要施工天數(shù)分別是10天和15天．【點睛】本題主要考查了分數(shù)乘除法的應用、一元一次方程的應用等知識點，明確題意、準確得到數(shù)量關系是解答本題的關鍵．【變式2】（2022·河南信陽·七年級期末）為推進我國“碳達峰、碳中和”雙碳目標的實現(xiàn)，各地大力推廣分布式光伏發(fā)電項目．某公司計劃建設一座光伏發(fā)電站，若由甲工程隊單獨施工需要3周，每周耗資8萬元，若由乙工程隊單獨施工需要6周，每周耗資3萬元．(1)若甲、乙兩工程隊合作施工，需要幾周完成?共需耗資多少萬元?(2)若需要最遲4周完成工程，請你設計一種方案，既保證按時完成任務，又最大限度節(jié)省資金．（時間按整周計算）【答案】(1)甲、乙兩工程隊合作施工，需要2周完成，共耗資22萬元(2)選擇先由甲和乙兩工程隊合作施工1周，剩下的由乙單獨施工3周最節(jié)省資金【分析】（1）設甲、乙兩工程隊合作施工，需要x周完成，根據(jù)“甲工程隊單獨施工需要3周”、“由乙工程隊單獨施工需要6周”可列方程求解；（2）設先由甲和乙兩工程隊合作施工y周，剩下的由乙單獨完成，根據(jù)“甲的工作量+乙的工作量=1”列出方程并解答；然后根據(jù)甲、乙兩隊的每周耗資作出方案的選擇．（1）解：設甲、乙兩工程隊合作施工，需要x周完成．根據(jù)題意，得(13+16)x=1．解得x=2．所以（8+3）×2=22（萬元）．答：甲、乙兩工程隊合作施工，需要2周完成，共耗資2（2）解：設先由甲和乙兩工程隊合作施工y周，剩下的由乙單獨完成．根據(jù)題意，得13+16y+4-y6=1，解得y=1，所以【點睛】本題考查一元一次方程的應用，關鍵是根據(jù)工作量=工作時間×工作效率列方程求解．【滿分訓練】一、單選題1．（2021·河北承德·七年級期末）一項工程甲單獨做要20小時，乙單獨做要12小時，現(xiàn)先由甲單獨做5小時，然后乙加入進來合作．完成整個工程一共需要多少小時？若設一共需要x小時，則所列的正確的方程是（

）A．120×5+（C．120×5+（【答案】C【分析】設一共需要x小時，則乙工作（x﹣5）小時，總工作量為單位“1”，根據(jù)共需要x小時完成任務，列方程即可．【詳解】解：設一共需要x小時，則乙工作（x﹣5）小時，由題意得，120×5+（120+112）（故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程．2．（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級階段練習）已知一項工程，甲單獨完成需要5天，乙單獨完成需要10天，現(xiàn)先由甲單獨做2天，然后再安排乙與甲合作完成剩下的部分，則完成這項工程共耗時(

)A．1天 B．2天 C．3天 D．4天【答案】D【分析】設完成這項工程共耗時x天，則甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根據(jù)總工作量＝甲完成的工作量+乙完成的工作量，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：設完成這項工程共耗時x天，則甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根據(jù)題意得：x5+解得：x＝4．即完成這項工程共耗時4天．故選：D【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．3．（2022·全國·七年級課時練習）某項工程由甲隊單獨做需要20天完成，由乙隊單獨做只需甲隊的一半時間就能完成．設兩隊合作需要x天完成，則可列方程為（

）A．120+110=x B．1【答案】B【分析】運用工作效率乘工作時間等于工作量列代數(shù)式，甲隊工作量加乙隊工作量等于1列方程．【詳解】兩隊合作需要x天完成，由題意得，x20+x10=1，即（故選：B．【點睛】本題主要考查了工程問題，解決問題的關鍵是熟練掌握工作量與工作效率和工作時間的關系，甲乙兩隊的工作量與總工作量的關系．4．（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級階段練習）某工程甲單獨完成要25天，乙單獨完成要20天．若乙先單獨干10天，剩下的由甲單獨完成，設甲、乙一共用x天完成，則可列方程為（

）A．x+1020+1025=1 B．x【答案】D【分析】設甲、乙一共用x天完成，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：設甲、乙一共用x天完成，根據(jù)題意得：x-故選：D【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．5．（2022·廣東江門·七年級期末）有一項城市綠化整治任務交甲、乙兩個工程隊完成，已知甲單獨做10天完成，乙單獨做8天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作x天后，共同完成任務，則可列方程為（

）A．x+110-x8=1 B．x【答案】B【分析】根據(jù)甲完成的工程量+乙完成的工程量=總工程量，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：依題意得：x+1故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．6．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期末）整理一批圖書，由一個人做要30小時完成，現(xiàn)計劃由一部分人先做3小時，然后增加2人與他們一起做6小時，完成這項工作，假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？如果設安排x人先做3小時，下列四個方程中正確的是（

）A．3x30+C．3x30+【答案】A【分析】由一個人做要30小時完成，即一個人一小時能完成全部工作的130，就是已知工作的速度，本題中存在的相等關系是：這部分人3小時的工作+增加2人后6小時的工作=全部工作，設全部工作是1，這部分共有x【詳解】解：設應先安排x人工作，根據(jù)題意得：3x30+故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，是一個工作效率問題，理解一個人做要30小時完成，即一個人一小時能完成全部工作的1307．（2022·山東濟寧·七年級期末）一項工程由甲工程隊單獨完成需要12天，由乙工程隊單獨完成需要16天．甲工程隊單獨施工5天后，為加快工程進度，又抽調(diào)乙工程隊加入該工程施工，問還需多少天可以完成該工程？如果設還需x天可以完成該工程，則可列方程為（

）A．5+x12+x16=1 B．x【答案】A【分析】設還需x天可以完成該工程，該工程為單位1，根據(jù)題意可得，甲施工（x+5）天+乙施工x天的工作量=單位1，據(jù)此列方程．【詳解】解：設還需x天可以完成該工程，由題意得，5+x故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程．8．（2022·福建三明·七年級期末）某車間原計劃用15小時生產(chǎn)一批零件，實際每小時多生產(chǎn)了10件，用了13小時不但完成了任務，而且還多生產(chǎn)了80件，設原計劃每小時生產(chǎn)x個零件，那么下列方程正確的是（

）A．115x=C．15x=13(x【答案】D【分析】根據(jù)題意可得等量關系用了13小時不但完成了任務，而且還多生產(chǎn)了80件列出方程解答即可．【詳解】解：設原計劃每小時生產(chǎn)x個零件，依題意可得：13（x+10）=15x+80，故選：D．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，然后再列出方程．9．（2022·海南省直轄縣級單位·七年級期末）一項工程甲單獨做需20天完成，乙單獨做需30天完成，甲先單獨做5天，然后甲、乙兩人再合作x天完成這項工程，則下面所列方程正確的是（

）A．520+x20+30=1 B．520【答案】D【分析】根據(jù)甲先單獨做5天，然后甲、乙兩人再合作x天完成這項工程列方程即可．【詳解】解：甲做了(x+5)天，乙做了x天，由題意得5+x故選D．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程．10．（2022·山東臨沂·七年級期末）整理一批數(shù)據(jù)，由一人做需要40h，現(xiàn)在先安排一些人做2h，然后再增加3人做4小時，剛好完成這項工作的910．問先安排做2h的人數(shù)是多少？若設先安排x人做2h，則可列方程為（

A．2x40+C．x40+4【答案】A【分析】利用前2h完成的工作量＋后4h完成的工作量＝總工作量的910，即可得出關于x【詳解】解：∵先安排x人做2h，∴然后由（x＋3）人做4h．依題意得：2x故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．第II卷（非選擇題）二、填空題11．（2022·河南許昌·七年級期末）一件工程，甲獨做18天可完，乙獨做24天可完．現(xiàn)在兩個人合作，但是中途乙因有事離開幾天，從開工后12天兩人把這件工程做完，則乙中途離開了_____________天．【答案】4【分析】把這件工程看作單位“1”，則甲乙的工作效率分別是118和124，甲12的天工作量+乙的工作量=總工作量，要求乙的工作時間，設乙中途離開了【詳解】設乙中途離開了x天，根據(jù)題意得：118×12+1解得：x=4，故答案為：4．【點睛】一元一次方程的應用-簡單的工程問題，根據(jù)總工作量為“1”得出方程是解題關鍵．12．（2022·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學七年級期末）一項工程，甲單獨做需10天完成，乙單獨做需6天完成，現(xiàn)由甲先做2天，乙再加入合作，完成這項工程共需________天．【答案】5【分析】設完成這項工程共需x天，即甲用了x天，則乙完成此項工程一共用（x-2）天，根據(jù)甲完成的部分+乙完成的部分=整個工作量（單位1），即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：設完成這項工程共需x天，根據(jù)題意得，x10解得x=5答：完成這項工程共需5天．【點睛】此題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元一次方程．13．（2022·山東濟寧·七年級期末）一項工程甲單獨做要20小時，乙單獨做要12小時．現(xiàn)在先由甲單獨做5小時，然后乙加入進來合做完成了整個工程．完成整個工程其中乙一共用了多少小時？若設乙一共用了x小時，則所列的方程為______．【答案】1【分析】首先根據(jù)題意，知甲、乙的工作效率分別是120、112．再根據(jù)先由甲單獨做【詳解】解：根據(jù)題意，得甲先做了120然后甲、乙合做了(1則有方程：120故答案是：120【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關鍵是掌握：工作量=工作效率×工作時間．14．（2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級期末）一項工程，甲隊單獨完成需要12天，乙隊單獨完成需要24天，現(xiàn)在由甲、乙兩隊共同工作3天后甲隊另有任務離開，剩下的工程由乙隊完成，求完成這項工程所用的時間．若設完成此項工程共用x天，則可列得方程是______．【答案】3【分析】由設完成此項工程共用x天，根據(jù)甲完成的工程量+乙完成的工程量=總工程量，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：設完成此項工程共用x天依題意得：312故答案為：312【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元-次方程是解題的關鍵．15．（2022·陜西渭南·七年級期末）有9個人用14天完成了一件工作的35，而剩下的工作要求在4天內(nèi)完成，在他們工作效率不變的前提下，則至少需要增加______【答案】12【分析】設至少需要增加x人，由題意得：9×143【詳解】解：設至少需要增加x人由題意得：9×14解得：x∴至少需要增加12人．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用．解題的關鍵在于根據(jù)題意列方程．16．（2022·湖北·鄂州市第一中學七年級期末）為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當?shù)卣疀Q定修建一條高速公路．其中一段長為170米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個工程隊負責施工．甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26米．已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2米．按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作__________天．【答案】12【分析】設甲工程隊每天掘進x米，則乙工程隊每天掘進（x-2）米．根據(jù)“甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26米”列出方程，然后求工作時間；【詳解】設甲工程隊每天掘進x米，則乙工程隊每天掘進（x-2）米，由題意得，2x+（x+x-2）=26，解得x=7，∴乙工程隊每天掘進5米，按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作時間為：170-267+5故答案為：12．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，根據(jù)等量關系列出方程是解題的關鍵．17．（2021·吉林·七年級階段練習）用大小兩臺拖拉機耕地，每小時共耕地30畝．已知大拖拉機的效率是小拖拉機的1.5倍，問小拖拉機每小時耕地多少畝？設小拖拉機每小時耕地x畝，根據(jù)題意可列方程：_____________________【答案】1.5x+x=30【分析】根據(jù)題意可得，小拖拉機每小時耕地x畝，則大拖拉機每小時耕地1.5x畝，再根據(jù)“大小兩臺拖拉機耕地，每小時共耕地30畝”可得方程．【詳解】解：小拖拉機每小時耕地x畝，則大拖拉機每小時耕地1.5x畝，由題意得：1.5x+x=30，故答案為：1.5x+x=30．【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系．18．（2022·江蘇·射陽縣第六中學七年級期末）某城市下水管道工程由甲、乙兩個工程隊單獨鋪設分別需要10天和15天完成，如果兩隊從兩端同時施工2天，然后由乙單獨完成，還需_____天完成．【答案】10【分析】由乙隊單獨施工，設還需x天完成，題中的等量關系是：甲工程隊2天完成的工作量+乙工程隊（x+2）天完成的工作量=1，依此列出方程，解方程即可．【詳解】解：由乙隊單獨施工，設還需x天完成，根據(jù)題意得210解得x=10．答：由乙隊單獨施工，還需10天完成，故答案為：10．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．三、解答題19．（2022·云南文山·七年級期末）整理一批圖書，如果由一個人單獨做要花40小時．現(xiàn)先由一部分人用1小時整理，隨后增加5人和他們一起又做了2小時，恰好完成整理工作．假設每個人的工作效率相同，那么先安排整理的人員有多少人？【答案】10【分析】等量關系為：所求人數(shù)1小時的工作量+所有人2小時的工作量=1，把相關數(shù)值代入即可求解．【詳解】設先安排整理的人員有x人，依題意得，x40解得：x=10答：先安排整理的人員有10人．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．此題用到的公式是：單人工作效率×工作時間×人數(shù)=工作量．20．（2022·河南三門峽·七年級期末）整理一批快遞，如果由一個人單獨做要用20小時，現(xiàn)先安排一部分人用1小時整理，隨后又增加4人和他們一起做了2小時，恰好完成整理工作，假設每個人的工作效率相同，那么應先安排多少人整理這批快遞？【答案】應先安排4人整理這批快遞【分析】設應先安排x人整理這批快遞，根據(jù)等量關系式：開始x人1小時的工作量+后來（x+4）人2小時的工作量=1，列出方程，解方程即可．【詳解】解：設應先安排x人整理這批快遞，依題意得：x解得x=4，答：應先安排4人整理這批快遞．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．此題用到的公式是：工作效率×工作時間=工作量．21．（2022·山東濱州·七年級期末）某項工程，甲隊單獨干需10小時完成，乙隊單獨干則需20小時完成，丙隊單獨干則需30小時完成．開始時三隊合作，一段時間后甲隊有事離開，剩余工程由乙、丙兩隊合作完成，此項工程從開始到工作完成共用6小時，問甲隊實際做了多少小時？【答案】甲隊實際做5小時【分析】設甲隊實際做了x小時，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設甲隊實際做了x小時，根據(jù)題意，得

(1解得x=5答：甲隊實際做5小時．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)題意找到等量關系列出方程是解題的關鍵．22．（2022·河南南陽·七年級期中）某廠接到一所中學的冬季校服定做任務，計劃用A、B兩臺大型設備進行加工，如果單獨用A型設備，需要45天做完；如果單獨用B