角動(dòng)量守恒定律

在研究物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常會(huì)發(fā)現(xiàn)以薄或薄為中心的點(diǎn)或軸向運(yùn)動(dòng)的情況。例如太陽(yáng)系中行星繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)、月球繞地球的運(yùn)轉(zhuǎn)、物體繞某一定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)等,在這類(lèi)運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)物體速度的大小和方向都在不斷變化,因而其動(dòng)量也在不斷變化。在行星繞日運(yùn)動(dòng)中,行星受指向太陽(yáng)的向心力作用,其運(yùn)動(dòng)滿足角動(dòng)量守恒。我們很難用動(dòng)量和動(dòng)量守恒定律揭示這類(lèi)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,但是引入角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律后,則可較為簡(jiǎn)單地描述這類(lèi)運(yùn)動(dòng)。角動(dòng)量可從另一側(cè)面反映物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。事實(shí)上,角動(dòng)量不但能描述宏觀物體的運(yùn)動(dòng),而且在近代物理理論中,角動(dòng)量對(duì)于表征狀態(tài)也必不可少。角動(dòng)量守恒定律在經(jīng)典物理學(xué)、運(yùn)動(dòng)生物學(xué)、航空航天技術(shù)等領(lǐng)域中的應(yīng)用非常廣泛。角動(dòng)量在20世紀(jì)已成為繼動(dòng)量和能量之外的力學(xué)中的重要概念之一。角動(dòng)量定理和守恒定律角動(dòng)量的定義和剛體的角動(dòng)量在空間任取一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系O-XYZ(如圖1),設(shè)質(zhì)點(diǎn)A的質(zhì)量為m、速度為v、矢徑為r。質(zhì)點(diǎn)A的矢徑r與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量p=mv的矢積,稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)A相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量,這里用L表示,于是L=r×p=r×mv。設(shè)r和v之間夾角為α,則角動(dòng)量大小為L(zhǎng)=rmvsinα。角動(dòng)量是與參考點(diǎn)有關(guān)的矢量,所選的參考點(diǎn)不同,角動(dòng)量一般也不相同。剛體可以看作由許多“質(zhì)點(diǎn)”組成,且質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的“不變質(zhì)點(diǎn)系”。其角動(dòng)量為各質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和,即L=i∑ri×mvi。若剛體繞某一軸(設(shè)為Z軸)轉(zhuǎn)動(dòng),則剛體對(duì)Z軸的角動(dòng)量LZ=IZωZ。其中IZ=i∑miri2為剛體對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,它是對(duì)一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度,ωZ為剛體繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。角動(dòng)量定理和守恒定律轉(zhuǎn)動(dòng)物體在外力矩作用下將改變其角動(dòng)量。角動(dòng)量的時(shí)間變化率與它所受的外力矩相等,這就是角動(dòng)量定理。公式表示為dL/dt=M,其中M為物體所受的外力矩。和角動(dòng)量一樣,力矩也是與參考點(diǎn)有關(guān)的矢量,它是位置矢量r與力F矢量的矢積,公式表示為M=r×F。從角動(dòng)量定理出發(fā),我們很容易得到角動(dòng)量守恒定律:如果物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的外力相對(duì)于固定點(diǎn)的力矩為零,則物體對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量守恒可簡(jiǎn)單表示為:若M=0,則L=守恒量。例如在只有向心力作用的系統(tǒng),如行星繞日運(yùn)動(dòng)、電子相對(duì)于原子核的運(yùn)動(dòng),都滿足角動(dòng)量守恒。應(yīng)該指出,角動(dòng)量守恒定律的正確性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出經(jīng)典力學(xué)的領(lǐng)域,是物理學(xué)的普遍規(guī)律。u3000作為加害條件的回轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)效應(yīng)剛體繞某一固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)稱(chēng)為剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)可以看成繞瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。瞬時(shí)軸的位置隨時(shí)間變化?；剞D(zhuǎn)儀的進(jìn)動(dòng)回轉(zhuǎn)儀的進(jìn)動(dòng)是一類(lèi)特殊的剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)?；剞D(zhuǎn)儀又叫“陀螺”,是指繞對(duì)稱(chēng)軸作高速旋轉(zhuǎn)的剛體,且軸上有一點(diǎn)固定不動(dòng)。一般陀螺的質(zhì)量分布對(duì)中心為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)分布,使陀螺以很高的轉(zhuǎn)速繞其自轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。將軸的尖端豎立在桌面上,陀螺會(huì)繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)但稍加傾斜自轉(zhuǎn)軸就與鉛垂線保持一定角度,陀螺將在自轉(zhuǎn)的同時(shí)又以穩(wěn)定的角速度繞鉛垂線旋轉(zhuǎn),這種運(yùn)動(dòng)叫做進(jìn)動(dòng)。對(duì)于高速旋轉(zhuǎn)的陀螺,即使有重力作用也不會(huì)倒下,而是做進(jìn)動(dòng)。我們從陀螺的規(guī)則進(jìn)動(dòng)來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題。如圖2,設(shè)對(duì)稱(chēng)陀螺以不變角速度ω1繞其自轉(zhuǎn)軸OZ轉(zhuǎn)動(dòng),同時(shí)自轉(zhuǎn)軸OZ又以不變的角速度ω2繞Oζ軸轉(zhuǎn)動(dòng),Oζ軸與自轉(zhuǎn)軸OZ之間夾角為θ、θ保持不變,我們把這種運(yùn)動(dòng)叫做陀螺的規(guī)則進(jìn)動(dòng),Oζ軸稱(chēng)為進(jìn)動(dòng)軸。陀螺做規(guī)則進(jìn)動(dòng)時(shí),它的瞬時(shí)角速度為ω=ω1+ω2。設(shè)Ip和Ie分別為陀螺對(duì)自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和過(guò)質(zhì)心且垂直于自轉(zhuǎn)軸之軸的中心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。并將ω2分解為沿OZ軸和垂直于OZ軸的兩個(gè)分量,即有ω2=ω′+ω″、ω′=ω2cosθ·ω1/ω1。此時(shí),陀螺的角動(dòng)量為L(zhǎng)的方向如圖3所示。由賴柴定理:剛體對(duì)于定點(diǎn)O的角動(dòng)量L的矢端速度u,等于作用在剛體上的外力對(duì)于同一點(diǎn)的外力矩M,即M=u,角動(dòng)量L的矢端速度u為矢量L的端點(diǎn)沿此矢量的矢端曲線運(yùn)動(dòng)的速度。于是u=ω1×L,因此對(duì)于高速旋轉(zhuǎn)的陀螺,由于ω1ω2,因此式(2)中方括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)可以忽略不計(jì),陀螺所受的外力矩可以近似表示為M=Ipω2×ω1。大小為M=Ipω1ω2sinθ,方向垂直于ω1和ω2組成的平面,即為水平方向。由角動(dòng)量定理dL/dt=M,M的方向和dL的方向相同,角動(dòng)量的增量dL也為水平方向,因此,自轉(zhuǎn)軸會(huì)水平偏轉(zhuǎn),陀螺不會(huì)倒下來(lái)。另外,單從角動(dòng)量定理出發(fā),我們也可做出粗略分析:受重力作用的高速運(yùn)轉(zhuǎn)的陀螺(如圖4),由于ω1ω2,可忽略進(jìn)動(dòng)部分的角動(dòng)量,而近似認(rèn)為陀螺的自轉(zhuǎn)角動(dòng)量為其總角動(dòng)量。在dt時(shí)間內(nèi),陀螺自轉(zhuǎn)角動(dòng)量L增量為dL=Mdt,由于M=r×mg,由右手定則可知,方向?yàn)樗角掖怪庇贚的方向,順著L方向看,為指向L左側(cè),dL方向與M方向相同,可知其角動(dòng)量增量也為水平方向,自轉(zhuǎn)軸的方向就不會(huì)向下傾斜,而是要水平偏轉(zhuǎn)。陀螺效應(yīng)陀螺受到外力矩作用時(shí),就會(huì)產(chǎn)生陀螺效應(yīng)。如圖5所示,杠桿既可繞垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)也可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng),桿的一端安裝可高速轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)輪子,其轉(zhuǎn)軸與杠桿在同一直線上,桿的另一端安裝可移動(dòng)的重物,以調(diào)節(jié)杠桿的平衡。平衡時(shí)整個(gè)回轉(zhuǎn)儀的質(zhì)心位于支點(diǎn)。若杠桿不平衡,質(zhì)心將偏離支點(diǎn),回轉(zhuǎn)儀將受到重力矩作用,若開(kāi)始時(shí)輪子是高速旋轉(zhuǎn)的,由于受到重力矩作用,回轉(zhuǎn)儀的角動(dòng)量將改變,整個(gè)回轉(zhuǎn)儀將在水平面內(nèi)徐徐回轉(zhuǎn),這一效應(yīng)就是回轉(zhuǎn)效應(yīng)。如果杠桿的水平軸不能轉(zhuǎn)動(dòng),則外力矩M就會(huì)作用在支架上,支架提供一個(gè)力矩與外力矩M相平衡。在工程上,支架、軸承等提供的力矩叫做慣性力矩(陀螺力矩),由陀螺力矩引起的效應(yīng)稱(chēng)為陀螺效應(yīng)。陀螺力矩和陀螺效應(yīng)不僅在陀螺裝置中非常重要。而且在一般具有高速旋轉(zhuǎn)部件的機(jī)械中也很重要。只要高速旋轉(zhuǎn)部件的自轉(zhuǎn)軸發(fā)生進(jìn)動(dòng),即在空間改變方向時(shí),就會(huì)產(chǎn)生陀螺力矩,出現(xiàn)陀螺效應(yīng)。反應(yīng)的系統(tǒng)角動(dòng)量保持不變由角動(dòng)量定理和守恒定律,及由此推證的回轉(zhuǎn)儀的進(jìn)動(dòng)和陀螺效應(yīng)在現(xiàn)代技術(shù)中都有重要的應(yīng)用。角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用我們先從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子入手,在太空的宇航員懸立在飛船座艙內(nèi)的空中時(shí),在不觸按艙壁的情況下如果想向左轉(zhuǎn),則可用右腳順時(shí)針畫(huà)圈,而當(dāng)兩臂伸直向后劃圈時(shí),身體又會(huì)向前轉(zhuǎn)。這正是因?yàn)橛詈絾T沒(méi)有受到外力矩作用,角動(dòng)量守恒。再以直升機(jī)為例,一般直升機(jī)由機(jī)身、主螺旋槳和抗扭螺旋槳組成。那么為什么直升機(jī)必須在機(jī)尾處安裝抗扭螺旋槳呢?我們把直升機(jī)的主螺旋槳和機(jī)身視為一個(gè)物體系,并從物體系對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的角動(dòng)量守恒來(lái)解釋:發(fā)動(dòng)機(jī)未開(kāi)動(dòng)時(shí),直升機(jī)靜止于地面,系統(tǒng)對(duì)主螺旋槳轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為零。然后主螺旋槳開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng),系統(tǒng)的角動(dòng)量增加,這時(shí)外力矩由輪子與地面的摩擦力提供,滿足角動(dòng)量定理。主螺旋槳加速轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩對(duì)系統(tǒng)來(lái)講是內(nèi)力矩,它與作用在機(jī)身的內(nèi)力矩總合為零,因此合內(nèi)力矩對(duì)系統(tǒng)的角動(dòng)量沒(méi)有影響。而作用于機(jī)身的內(nèi)力矩又與地面的摩擦力矩相平衡,而使機(jī)身處于平衡。當(dāng)主螺旋槳的角速度不斷增加,一旦機(jī)身離地,摩擦力矩將突然消失,忽略空氣對(duì)主螺旋槳轉(zhuǎn)動(dòng)的阻力矩,此時(shí)外力矩則為零,故系統(tǒng)角動(dòng)量應(yīng)保持不變,若主螺旋槳的角速度繼續(xù)增加,則機(jī)身會(huì)反方向轉(zhuǎn)動(dòng),以抵消由于主螺旋槳繼續(xù)加速而增加的角動(dòng)量,使系統(tǒng)總角動(dòng)量保持不變。機(jī)尾安裝的小螺旋槳可產(chǎn)生一個(gè)附加力矩與機(jī)身所受內(nèi)力矩平衡,從而消除機(jī)身的轉(zhuǎn)動(dòng)。陀螺儀進(jìn)動(dòng)的應(yīng)用自古以來(lái),人們通過(guò)陀螺現(xiàn)象早已熟知高速旋轉(zhuǎn)物體的定向性。常平架陀螺儀如圖6所示,外環(huán)可繞垂直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),內(nèi)環(huán)可繞水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),回轉(zhuǎn)儀安裝在內(nèi)環(huán)中,其轉(zhuǎn)軸與內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)軸相垂直,三軸交于一點(diǎn),并與陀螺儀的質(zhì)心重合。它可使回轉(zhuǎn)儀的轉(zhuǎn)軸在空間取任意方向,由于三轉(zhuǎn)軸都通過(guò)質(zhì)心,所以回轉(zhuǎn)儀不受重力矩作用,因此回轉(zhuǎn)儀高速旋轉(zhuǎn)時(shí),角動(dòng)量保持不變,不論支架轉(zhuǎn)到什么方位,回轉(zhuǎn)儀的轉(zhuǎn)軸始終保持不變。常平架陀螺儀具有轉(zhuǎn)軸方向不變的特點(diǎn),稱(chēng)為指示型陀螺,可以作為指示器。如指示地理子午線和鉛垂線方向,測(cè)定飛機(jī)的姿態(tài)角、艦船的搖擺角,制造控制飛機(jī)和艦船的自動(dòng)器等。動(dòng)力型陀螺的陀螺元件常被用作穩(wěn)定器,或用于穩(wěn)定載體上的某種裝置,還可用于慣性導(dǎo)航、慣性平臺(tái)等。以射出的子彈為例,子彈在空中將受空氣阻力的作用,設(shè)空氣阻力的合力為F,其方向與子彈質(zhì)心的速度方向相反,一般并不作用在子彈的質(zhì)心上,因此將使彈頭繞質(zhì)心發(fā)生翻轉(zhuǎn),影響命中率,為避免發(fā)生這種現(xiàn)象,就在槍膛內(nèi)壁上刻出螺旋線,稱(chēng)為來(lái)復(fù)線。借助子彈的高溫變軟,使子彈嵌入膛內(nèi)的來(lái)復(fù)線向前推進(jìn)而高速旋轉(zhuǎn),由于自轉(zhuǎn),空氣阻力對(duì)質(zhì)心的力矩不能使子彈翻轉(zhuǎn),而只是使彈頭繞飛行方向進(jìn)動(dòng),使彈頭與飛行方向不致有過(guò)大偏離。近年來(lái),陀螺儀的應(yīng)用越來(lái)越廣,除了航空、航天、航海、潛水艇與火箭導(dǎo)航外,還大量應(yīng)用于坦克與火炮的穩(wěn)定、工作平臺(tái)與測(cè)量?jī)x器的穩(wěn)定等方面陀螺效應(yīng)對(duì)穩(wěn)定性的影響近代艦船與飛機(jī)都擁有大量的轉(zhuǎn)動(dòng)部件。以輪船為例,當(dāng)輪船航行時(shí),它會(huì)繞船身縱軸擺動(dòng)(側(cè)滾)或繞橫軸擺動(dòng)(縱傾)或繞鉛直轉(zhuǎn)彎。轉(zhuǎn)動(dòng)部件在輪船上安裝時(shí),轉(zhuǎn)軸的位置或是沿船身的縱軸或是橫軸或是沿鉛錘軸。輪船做側(cè)滾、縱傾或轉(zhuǎn)彎時(shí),迫使安裝在船上的轉(zhuǎn)動(dòng)部件發(fā)生進(jìn)動(dòng),產(chǎn)生陀螺力矩。其引起的附加壓力可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)動(dòng)軸彎曲或軸承遭到破壞。因此,在工程設(shè)計(jì)中必須考慮陀螺效應(yīng)。對(duì)輪船或飛機(jī)之類(lèi)具有大量轉(zhuǎn)動(dòng)部件的物體,轉(zhuǎn)動(dòng)部件的位置調(diào)節(jié)得不好,就會(huì)受到重力矩作用,重力矩與陀螺力矩相平衡,陀螺力矩作用在軸承上,又會(huì)通過(guò)軸承傳到輪船或飛機(jī)上,影響輪船或飛機(jī)的穩(wěn)定性。由于輪船本身具有較大的穩(wěn)定性,而且其重量要比轉(zhuǎn)動(dòng)部件大得多,因而陀螺力矩對(duì)輪船穩(wěn)定性的影響可忽略