-.z.eq\a\vs4\al(第一節(jié)坐標系)[備考方向要明了]考什么怎么考1.理解坐標系的作用，了解平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況．2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化．3.能在極坐標系中用極坐標表示點位置，理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化．4.能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程，通過比較這些圖形在極坐標系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義.1.從知識點上看，主要考查極坐標方程與直角坐標的互化，考查點、曲線的極坐標方程的求法，考查數(shù)形結合、化歸思想的應用能力以及分析問題、解決問題的能力．2.以解答題形式出現(xiàn)，難度不大，如2012年新課標高考T23等.[歸納·知識整合]1．平面直角坐標系中的坐標伸縮變換設點P(*，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*′＝λ·*λ＞0，,y′＝μ·yμ＞0))的作用下，點P(*，y)對應到點P′(*′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換．2．極坐標系的概念(1)極坐標系如圖所示，在平面取一個定點O，點O叫做極點，自極點O引一條射線O*，O*叫做極軸；再確定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系．(2)極坐標一般地，不作特殊說明時，我們認為ρ≥0，θ可取任意實數(shù)．(3)點與極坐標的關系一般地，極坐標(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個點，特別地，極點O的坐標為(0，θ)(θ∈R)，和直角坐標不同，平面一個點的極坐標有無數(shù)種表示．如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，則除極點外，平面的點可用惟一的極坐標(ρ，θ)表示；同時，極坐標(ρ，θ)表示的點也是惟一確定的．[探究]1.極點的極坐標如何表示？提示：規(guī)定極點的極坐標是極徑ρ＝0，極角可取任意角．3．極坐標與直角坐標的互化設M是平面任意一點，它的直角坐標是(*，y)，極坐標是(ρ，θ)，則它們之間的關系為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝ρcosθ，,y＝ρsinθ；))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝*2＋y2，,tanθ＝\f(y,*)*≠0.))[探究]2.平面點與點的直角坐標的對應法則是什么？與點的極坐標呢？提示：平面的點與點的直角坐標是一一對應法則，而與點的極坐標不是一一對應法則，如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π，則除極點外，點的極坐標與平面的點就一一對應了．4．常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為r的圓ρ＝r(0≤θ＜2π)圓心為(r,0)，半徑為r的圓ρ＝2rcos_θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半徑為r的圓ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)過極點，傾斜角為α的直線(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α和θ＝π＋α過點(a,0)，與極軸垂直的直線ρcos_θ＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜θ＜\f(π,2)))過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，與極軸平行的直線ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)[自測·牛刀小試]1．極坐標方程ρ＝cosθ化為直角坐標方程．2.(2013·模擬)在極坐標系中，求過點(1,0)并且與極軸垂直的直線方程．3．在極坐標系中，求點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))關于直線l∶ρcosθ＝1的對稱點的一個極坐標．4．在極坐標系中，若過點A(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ＝4cosθ于A、B兩點，求AB的長．5．已知圓的極坐標方程為ρ＝2cosθ，求該圓的圓心到直線ρsinθ＋2ρcosθ＝1的距離．伸縮變換的應用[例1]求橢圓eq\f(*2,4)＋y2＝1，經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*′＝\f(1,2)*，,y′＝y(tǒng)))后的曲線方程．若橢圓eq\f(*2,4)＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程為eq\f(*′2,16)＋eq\f(y′2,4)＝1，求滿足的伸縮的變換．———————————————————求經(jīng)伸縮變換后曲線方程的方法平面上的曲線y＝f(*)在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*′＝λ*，,y′＝μy))的作用下的變換方程的求法是將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝\f(*′,λ)，,y＝\f(y′,μ)))代入y＝f(*)，得eq\f(y′,μ)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(*′,λ)))，整理之后得到y(tǒng)′＝h(*′)，即為所求變換之后的方程．在同一坐標系中，曲線C經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*′＝*，,y′＝\f(1,2)y))后得到的曲線方程為y′＝lg(*′＋5)，求曲線C的方程．極坐標與直角坐標的互化[例2]已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ＝2，ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程．———————————————————極坐標與直角坐標互化的注意點(1)在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的圍，否則點的極坐標將不惟一．(2)在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的圍．要注意轉化的等價性．2．(2013·檢測)在平面直角坐標系*Oy中，點P的直角坐標為(1，－eq\r(3))．若以原點O為極點，*軸正半軸為極軸建立極坐標系，求點P的極坐標．3．求以點A(2,0)為圓心，且過點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6)))的圓的極坐標方程．極坐標系的綜合問題[例3]從極點O作直線與另一直線l：ρcosθ＝4相交于點M，在OM上取一點P，使OM·OP＝12.(1)求點P的軌跡方程；(2)設R為l上的任意一點，試求|RP|的最小值．———————————————————求解與極坐標有關的問題的主要方法一是直接利用極坐標系求解，求解時可與數(shù)形結合思想結合使用；二是轉化為直角坐標系后，用直接坐標求解．使用后一種時應注意，若結果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標．4．(2013·五校聯(lián)考)在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲線ρ＝2sinθ與ρcosθ＝－1的交點的極坐標．5．(2012·高考改編)在極坐標系中，求圓ρ＝4sinθ的圓心到直線θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)的距離．1個互化——極坐標與直角坐標的互化(1)互化的三個前提條件①極點與原點重合；②極軸與*軸正方向重合；③取相同的單位長度．(2)若把直角坐標化為極坐標，求極角θ時，應注意判斷點P所在的象限(即角θ的終邊的位置)，以便正確地求出角θ.利用兩種坐標的互化，可以把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題．5個步驟——求曲線極坐標方程的五步曲易誤警示——極坐標系中的解題誤區(qū)[典例](2012·高考改編)在極坐標系中，曲線C1：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個交點在極軸上，求a的值．eq\a\vs4\al([易誤辨析])(1)因沒有掌握極坐標與直角坐標的轉化，無法把極坐標方程轉化為普通方程．(2)因不清楚題意，即直線與圓的交點實為直線與*軸的交點，如果不會轉化，導致計算加大，多走彎路．(3)解答與極坐標有關的問題時，還易出現(xiàn)不注意極徑、極角的取值圍等而致錯的情況．eq\a\vs4\al([變式訓練])已知兩曲線的極坐標方程C1：ρ＝2(0≤θ≤π)，C2：ρ＝4cosθ，求兩曲線交點的直角坐標．1．已知直線的極坐標方程ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，求極點到直線的距離．2．在極坐標系中，已知圓ρ＝2cosθ與直線3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，數(shù)a的值．3．(2012·高考改編)曲線C的直角坐標方程為*2＋y2－2*＝0，以原點為極點，*軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．4．已知圓M的極坐標方程為ρ2－4eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋6＝0，求ρ的最大值．5．(2012·高考)在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，圓心為直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)與極軸的交點，求圓C的極坐標方程．1．設直線l1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝1＋t，,y＝a＋3t，))(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，*軸的正半軸為極軸建立極坐標系得另一直線l1的方程為ρsinθ－3ρcosθ＋4＝0，若直線l1與l2間的距離為eq\r(10)，數(shù)a的值．2．(2011·高考改編)若曲線的極坐標方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ，以極點為原點，極軸為*軸正半軸建立直角坐標系，求該曲線的直角坐標方程．3．極坐標系中，A為曲線ρ2＋2ρcosθ－3＝0上的動點，B為直線ρcosθ＋ρsinθ－7＝0上的動點，求AB的最小值．4．在極坐標系中，圓C的圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(π,6)))，半徑r＝6.(1)寫出圓C的極坐標方程；(2)若Q點在圓C上運動，P在OQ的延長線上，且OQ∶QP＝3∶2，求動點P的軌跡方程．eq\a\vs4\al(第二節(jié)參數(shù)方程)[備考方向要明了]考什么怎么考1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義．2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程.本節(jié)考查的重點是參數(shù)方程和直角坐標方程的互化，熱點是參數(shù)方程、極坐標方程的綜合性問題，難度較小，主要考查轉化和化歸的思想方法，如2012年新課標T23等.[歸納·知識整合]1．參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線C上任意一點P的坐標*，y都可以表示為*個變量t的函數(shù)：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝ft，,y＝gt))反過來，對于t的每個允許值，由函數(shù)式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝ft，,y＝gt))所確定的點P(*，y)都在曲線C上，則方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝ft，,y＝gt))叫做這條曲線C的參數(shù)方程，變量t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程．[探究]1.平面直角坐標系中，同一曲線的參數(shù)方程惟一嗎？提示：不唯一，平面直角坐標系中，對于同一曲線來說，由于選擇的參數(shù)不同，得到的曲線的參數(shù)方程也不同．2．直線的參數(shù)方程經(jīng)過點M(*0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝*0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．3．圓的參數(shù)方程圓心為(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ))(θ為參數(shù))．4．橢圓的參數(shù)方程橢圓eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ為參數(shù))．[探究]2.橢圓eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))中，參數(shù)φ的幾何意義是什么？提示：如圖，取橢圓eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任一點M作*軸垂線，交以原點為圓心，a為半徑的圓于點A，φ就是點M所對應的圓的半徑OA的旋轉角(或點M的離心角)即O*繞O逆時針轉到與OA重合時的最小正角，φ∈[0,2π)．[自測·牛刀小試]1．若直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝1＋3t，,y＝2－4t))(t為參數(shù))，求直線l傾斜角的余弦值．.2．已知點P(3，m)在以點F為焦點的拋物線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝4t2，,y＝4t))(t為參數(shù))上，求|PF|.3．(2012·模擬)將參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數(shù))化成普通方程．4．求參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝t＋\f(1,t)，,y＝2))(t為參數(shù))表示的曲線．5．求橢圓eq\f(*－12,3)＋eq\f(y＋22,5)＝1的參數(shù)方程．參數(shù)方程與普通方程的互化[例1]將下列參數(shù)方程化為普通方程．(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝\f(3k,1＋k2)，,y＝\f(6k2,1＋k2)，))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝1－sin2θ，,y＝sinθ＋cosθ.))———————————————————將參數(shù)方程化為普通方程的方法(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關系式消參，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解．1．將下列參數(shù)方程化為普通方程．(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝\f(1,t)，,y＝\f(1,t)\r(t2－1)))(t為參數(shù))；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝\f(1－t2,1＋t2)，,y＝\f(t,1＋t2)))(t為參數(shù))．[例2](2012·高考)在直角坐標系*Oy中，已知曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝t＋1，,y＝1－2t))(t為參數(shù))與曲線C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝asinθ，,y＝3cosθ))(θ為參數(shù)，a＞0)有一個公共點在*軸上，求a的值．———————————————————與參數(shù)方程有關的問題，求解時，一般是將參數(shù)方程化為普通方程，轉化為我們熟悉的形式，利用直角坐標方程求解問題．2．(2011·高考改編)已知兩曲線參數(shù)方程分別為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))(0≤θ<π)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)，求它們的交點坐標．3．(2013·模擬)已知P(*，y)是橢圓eq\f(*2,4)＋y2＝1上的點，求M＝*＋2y的取值圍．極坐標方程和參數(shù)方程的綜合[例3](2012·高考)在直角坐標系*Oy中，圓C1：*2＋y2＝4，圓C2：(*－2)2＋y2＝4.(1)在以O為極點，*軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C1，C2的極坐標方程，并求出圓C1，C2的交點坐標(用極坐標表示)；(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程．———————————————————求參數(shù)方程與極坐標問題的轉化方法在已知極坐標方程求曲線交點、距離、線段長、切線等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，或用極坐標解決較麻煩時，可將極坐標方程轉化為直角坐標方程解決．轉化時要注意兩坐標系的關系，注意ρ，θ的取值圍，取值圍不同對應的曲線不同．4．直角坐標系*Oy中，以原點為極點，*軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點A，B分別在曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝3＋cosθ，,y＝4＋sinθ))(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，求|AB|的最小值．4種方法——化參數(shù)方程為普通方程的方法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.數(shù)學思想——參數(shù)方程中的轉化思想在對坐標系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標法的解題優(yōu)勢，靈活地利用坐標法可以使問題得到簡捷的解答．例如，將題設條件中涉及的極坐標方程和參數(shù)方程等價轉化為直角坐標方程，然后在直角坐標系下對問題進行求解就是一種常見的解題方法，對應數(shù)學問題求解的“化生為熟”原則，充分體現(xiàn)了等價轉化的數(shù)學思想．[典例](2012·高考改編)在平面直角坐標系*Oy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝t，,y＝\r(t)))(t為參數(shù))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝\r(2)cosθ，,y＝\r(2)sinθ))(θ為參數(shù))，求曲線C1與C2的交點坐標．eq\a\vs4\al([題后悟道])(1)本題是利用交軌法解決參數(shù)方程問題的常見題型，解題方法是將參數(shù)方程轉化為普通方程，關鍵是消去參數(shù)，這里特別注意所給參數(shù)的取值圍．(2)對于此類問題，熟練掌握將參數(shù)方程化為普通方程的方法，如代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角恒等式消元法等是必要的，也是必須的．eq\a\vs4\al([變式訓練])(2012·模擬)在平面直角坐標系中，已知直線l與曲線C的參數(shù)方程分別為l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝1＋s，,y＝1－s))(s為參數(shù))和C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝t＋2，,y＝t2))(t為參數(shù))，若l與C相交于A、B兩點，求|AB|的長．1．直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝－2＋t，,y＝1－t))(t為參數(shù))被圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝3＋5cosθ，,y＝－1＋5sinθ))(θ為參數(shù)，求θ∈[0,2π))所截得的弦長．2．(2012·模擬)已知點P(*，y)在曲線eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，且a2＋b2≤3，求*＋y的最小值．3．已知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝sinα，,y＝cos2α，))α∈[0,2π)，曲線D的極坐標方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－eq\r(2).(1)將曲線C的參數(shù)