高等量子力學(xué)二次量子化方法第三章普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材天津工業(yè)大學(xué)學(xué)位與研究生教育改革項(xiàng)目資助01全同粒子量子態(tài)01玻色子(波函數(shù)對稱)因?yàn)槿Ｉ芋w系的波函數(shù)必須是交換對稱的，因此，全同玻色子體系的波函數(shù)應(yīng)是下面的形式：式中，

表示單粒子態(tài)(假設(shè)已歸一化),n,為分別處于這些態(tài)上的粒子數(shù)，P表示對N個(gè)處于不同單粒子態(tài)上的粒子進(jìn)行對換所構(gòu)成的置換，

表示對所有可能的排列求和。02費(fèi)米子(波函數(shù)反對稱)全同費(fèi)米子體系的波函數(shù)必須是交換反對稱的，因此，全同費(fèi)米子體系的波函數(shù)應(yīng)是下面的形式全同粒子量子態(tài)此式稱為斯萊特(Slater)行列式。由式(3.2)可以看出，若兩個(gè)單粒子態(tài)相同，如i=j,則行列式的第一行與第二行相同，行列式等于零，即

。這表明這樣的體系狀態(tài)不存在。這正是泡利不相容原理所要求的。由上面看到，采用坐標(biāo)來描述全同粒子的量子態(tài)是相當(dāng)煩瑣的，利用它來進(jìn)行各種計(jì)算很不

方便，所以坐標(biāo)表象不是一個(gè)令人滿意的表象。其根源在于：對于全同粒子進(jìn)行編號(hào)是沒有意義

的，但在波函數(shù)的上述表示方式中，又不得不先對粒子進(jìn)行編號(hào)，以寫出坐標(biāo)表象中的某一項(xiàng)波

函數(shù)，如,然后再把對粒子進(jìn)行各種交換所構(gòu)成的各項(xiàng)波函數(shù)疊加起來，

以滿足交換對稱性的要求。事實(shí)上，只需要把處于每個(gè)單粒子態(tài)上的粒子數(shù)(n1,n?,…,nN)交代清

楚，全同粒子系的量子態(tài)就完全確定了，并不需要(也沒有意義)去指出處于某單粒子態(tài)上的粒子

是“哪一個(gè)”。因此，為避免對全同粒子進(jìn)行編號(hào)，需要擺脫坐標(biāo)表象，而粒子數(shù)表象是一個(gè)非常

好的選擇。為了在粒子數(shù)表象中進(jìn)行各種計(jì)算，需要引進(jìn)粒子產(chǎn)生算符和湮滅算符。利用它們，就可以

把粒子數(shù)表象的基矢及各種類型的力學(xué)量方便地表示出來，而且在各種計(jì)算中，只需利用這些產(chǎn)

生算符和湮滅算符的基本對易關(guān)系，量子態(tài)的置換對稱性即可自動(dòng)得到保證。為了初學(xué)者方便，

在引進(jìn)產(chǎn)生算符和湮滅算符之前，簡單回顧一下一維諧振子的代數(shù)解法中的升算符和降算符概念。全同粒子量子態(tài)02粒子數(shù)表象01諧振子狀態(tài)的粒子數(shù)表象描述一維經(jīng)典諧振子系統(tǒng)的哈密頓量為其中，μ為粒子的質(zhì)量。在量子力學(xué)中正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量應(yīng)滿足如下不對易關(guān)系：為求解定態(tài)薛定諤方程，可以引入兩個(gè)非厄密算符：由式(3.4)容易得到，b和b

所滿足的基本對易關(guān)系為+式(3.5)的逆變換關(guān)系為粒子數(shù)表象引入兩個(gè)非厄密算符后，諧振子系統(tǒng)的哈密頓算符可表示為能量本征值為對應(yīng)的能量本征態(tài)為其中，

為諧振子基態(tài)。算符b和b

的所有性質(zhì)可通過如下它們對諧振子能量表象基矢的作用而顯示出來：+由此，b稱為湮滅算符，

稱為產(chǎn)生算符。原則上一維諧振子問題都可以在這個(gè)所謂的粒子數(shù)表象中解決。諧振子系統(tǒng)是物理學(xué)中的一個(gè)非常典型的系統(tǒng)。上述結(jié)果表明，任何諧振子系統(tǒng)的基本狀態(tài)

的能量都是量子化的，每份能量子的值均為

。這個(gè)能量子常被稱作“聲子”(phonon),并將n=1的態(tài)

稱為單聲子激發(fā)態(tài)；n=2的態(tài)

稱為兩聲子激發(fā)態(tài)；基態(tài)

為不存在聲子的狀態(tài)，稱作真空態(tài)。應(yīng)當(dāng)注意，真空態(tài)的能量并不為零。諧振子能量本征態(tài)也就是聲子數(shù)確定的狀態(tài)，聲子數(shù)算符可定義為粒子數(shù)表象應(yīng)當(dāng)注意，這里的n是算符。上面的討論并未涉及狀態(tài)隨時(shí)間的演化問題，或者說我們僅僅討論了初始時(shí)刻的狀態(tài)描述。由于在粒子數(shù)表象中我們將狀態(tài)記為產(chǎn)生算符作用在真空態(tài)的形式(見式(3.9)),所以方便的是使真空態(tài)不隨時(shí)間改變，而使力學(xué)量隨時(shí)間改變，因此常采用海森伯繪景。在海森伯繪景中，一維自由諧振子湮滅算符b(t)所滿足的動(dòng)力學(xué)方程為一般來說，在二次量子化中，所有算符都可以用產(chǎn)生和湮滅算符表示，所以討論算符隨時(shí)間變化只需討論湮滅算符即可，產(chǎn)生算符是它的伴算符。于是諧振子哈密頓算符用聲子數(shù)算符可記為式(3.13)滿足初始條件b(t=0)=b的解為02非耦合諧振子集合粒子數(shù)表象N個(gè)非耦合諧振子系統(tǒng)的哈密頓算符可簡單地寫為單粒子哈密頓算符之和，有為了轉(zhuǎn)化到粒子數(shù)表象，需引入N個(gè)聲子湮滅算符及產(chǎn)生算符：它們之間滿足如下對易關(guān)系：此時(shí)哈密頓算符表示為其中，

為真空能量，或稱零點(diǎn)能。式(3.18)的哈密頓算符所描寫的量子系統(tǒng)也常稱為包含N個(gè)獨(dú)立振動(dòng)模式的系統(tǒng)，每一種

代表一種振動(dòng)模式。振動(dòng)模

的聲子數(shù)算符粒子數(shù)表象這種振動(dòng)模聲子的能量為

。系統(tǒng)的總聲子數(shù)算符系統(tǒng)的能量(不包括真空能)為哈密頓算符的本征態(tài)為其中，真空態(tài)定義為最后指出，上面討論中每種基本振動(dòng)模聲子的數(shù)目可以任意，所以聲子是一種玻色子。值得注意的是，聲子為一種能量子，并非一種真實(shí)粒子。粒子數(shù)表象歷史上最早定義的相干態(tài)為諧振子相干態(tài)，它是諧振子的一些量子力學(xué)狀態(tài)，處于這些態(tài)中

的粒子按量子力學(xué)規(guī)律運(yùn)動(dòng)，與在同一勢場中具有相同能量的經(jīng)典粒子的簡諧運(yùn)動(dòng)最為接近。為簡單起見，我們討論一維運(yùn)動(dòng)。經(jīng)典諧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律xc(t)與其能量表達(dá)式為式中，x0為振幅，

為角頻率，

為初相。為了與量子力學(xué)進(jìn)行比較，將上述二式改寫為式中，

為復(fù)數(shù)，λ為一適當(dāng)?shù)膶?shí)常數(shù)。設(shè)在薛定諤繪景中諧振子的歸一化的相干態(tài)為

,則粒子數(shù)表象于是，由上面所說的相干態(tài)的運(yùn)動(dòng)與經(jīng)典諧振子的運(yùn)動(dòng)最為接近，則可準(zhǔn)確地表述為如下兩個(gè)條件：經(jīng)過不算復(fù)雜的運(yùn)算可求得至此我們得到了一系列(無窮多個(gè))諧振子的相干態(tài)

。并且我們?nèi)菀浊蟮靡粋€(gè)重要性質(zhì)即相干態(tài)是諧振子湮滅算符的本征態(tài)。粒子數(shù)表象相干態(tài)有許多非常有意義的性質(zhì)。(1)聲子數(shù)不確定，且呈泊松分布。相干態(tài)中包含n個(gè)聲子狀態(tài)的概率幅為所以

中出現(xiàn)n個(gè)聲子狀態(tài)的概率為由于相干態(tài)的平均聲子數(shù)為因此n個(gè)聲子狀態(tài)的概率為這正是概率與統(tǒng)計(jì)理論中所謂的泊松分布。相干態(tài)的基本性質(zhì)(2)具有最小不確定性。因?yàn)樗岳蒙鲜鼋Y(jié)果計(jì)算得出相干態(tài)中坐標(biāo)和動(dòng)量的方差為相干態(tài)的基本性質(zhì)因此可見，相干態(tài)是具有最小不確定性的量子態(tài)，或者說是最接近經(jīng)典態(tài)的量子態(tài)。在相干態(tài)發(fā)現(xiàn)之前，人們所知道的唯一的具有最小不確定性的狀態(tài)是諧振子基態(tài)

。(3)不具有正交性，但仍可歸一化。相干態(tài)是粒子湮滅算符b的本征態(tài)。由于b不是厄密算符，所以它的本征值不一定是實(shí)數(shù)，本征矢也不一定正交。為了說明相干態(tài)不一定正交的性質(zhì)，設(shè)

為b的兩個(gè)不同的本征矢，本征值分別為α和β。利用相干態(tài)表達(dá)式(3.28)可得利用算符公式(1.5)可得如下算符公式：利用這一公式可將式(3.38)化為則相干態(tài)的基本性質(zhì)這表明，相干態(tài)一般并不正交，但仍然可歸一化。其中

的值量度了復(fù)平面上相干態(tài)

和

偏離正交的程度。(4)具有完全性，形成完全集。相干態(tài)雖然不具有正交性，但仍然具有完全性。相于態(tài)|a)的態(tài)指標(biāo)α可連續(xù)取值，并一般定義在整個(gè)復(fù)平面上。令

,有利用相干態(tài)表達(dá)式(3.28)可得利用如下積分公式和本征矢

的完全性條件

,

有這就是相干態(tài)的完全性條件，因此相干態(tài)也形成一個(gè)完全集。這種不正交的完全集常稱為過完全集(overcompleteset)。相干態(tài)的基本性質(zhì)由于相干態(tài)具有完全性，因此可用它作為基矢來構(gòu)造描寫量子力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的希爾伯特空間。(1)態(tài)矢量在相干態(tài)中的表示。設(shè)

為任意振子的態(tài)矢量，則在粒子數(shù)表象中有所以任一態(tài)矢量在相干態(tài)中的表示為態(tài)矢量右矢

在相于態(tài)表象中展開為其中，

即為展開系數(shù)。態(tài)矢量左矢(g|和右矢|f)的內(nèi)積在相于態(tài)表象中可表示為相干態(tài)的表象作為特例，若

,則式(3.44)可化為這是聲子數(shù)本征態(tài)

在相干態(tài)中的表示。上式取復(fù)共軛，可得式(3.47)是相干態(tài)在聲子數(shù)表象中的表示，實(shí)際上即是已經(jīng)提到過的式(3.30)。由于不存在正交性，相干態(tài)彼此并不線性獨(dú)立，因此可引進(jìn)某個(gè)相干態(tài)

在相干態(tài)表象中的表示。實(shí)際上，兩相干態(tài)的內(nèi)積公式(3.40)可理解為相干態(tài)

在相干態(tài)表象

中的表示。因此,相干態(tài)

在這個(gè)相干態(tài)表象中可表示為(2)力學(xué)量在相干態(tài)中的表示。設(shè)任意力學(xué)量算符T,在粒子數(shù)表象中可表示為相干態(tài)的表象其中，

是算符T在粒子數(shù)表象中的矩陣元。算符T在相于態(tài)表象中的矩陣元可表示為其中，t(a*,β)定義為因此任意算符T可以用相干態(tài)外積表示為利用下面導(dǎo)出的公式不難由式(3.52)得到式(3.50)。由式(3.44),有相干態(tài)的表象于是可得到在討論相干態(tài)表象時(shí)的一個(gè)非常有用的高斯積分公式：作為特例，令

,則有最后還可以導(dǎo)出關(guān)于算符乘積的定律。若

相應(yīng)的由式(3.51)定義的函數(shù)分別為

則可以證明如下關(guān)系成立：相干態(tài)的表象首先定義如下壓縮算符：它具有如下性質(zhì)：可以證明，在壓縮算符作用下，聲子湮滅算符b和產(chǎn)生算符b'有如下變換關(guān)系：上述變換也是一種正則變換，在這種變換下算符的基本對易關(guān)系保持不變，有壓縮算符和壓縮態(tài)03場的量子化方法為了考察壓縮算符的意義，我們來討論坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符在壓縮變換下的改變。如果令z=r為實(shí)數(shù)，則有即有類似的有上述結(jié)果表明，實(shí)參數(shù)壓縮變換也是一種關(guān)于坐標(biāo)和動(dòng)量算符的“標(biāo)度變換”。壓縮變化后量度坐標(biāo)的算符x擴(kuò)大了e'倍，相當(dāng)于坐標(biāo)空間被壓縮了e'倍；與此相應(yīng)，動(dòng)量空間則擴(kuò)大了e倍。上述結(jié)論還可以從下面的討論中看出。令

,則在壓縮真空態(tài)壓縮算符的意義中，有當(dāng)φ=0,z=r為實(shí)數(shù)時(shí)，壓縮真空態(tài)中坐標(biāo)和動(dòng)量的方差分別為這表明，在壓縮態(tài)中坐標(biāo)的方差比相干態(tài)的還要小

倍(設(shè)r>0)。不過應(yīng)當(dāng)指出，與此同時(shí)動(dòng)量的方差將比相干態(tài)的大

倍，且如下最小不確定關(guān)系依然成立：壓縮算符的意義即可由經(jīng)典物理學(xué)的最小作用原理得到薛定諤方程：下面這個(gè)方程實(shí)質(zhì)上就是由最小作用原理得到的拉格朗日方程：在現(xiàn)在的意義下，方程式(3.70)中的

不再是單粒子的波函數(shù)而是物質(zhì)場的場量，方程式(3.70)本身則是物質(zhì)場

的運(yùn)動(dòng)方程。既然

是場量，我們就可以按分析力學(xué)方法引入它的廣義動(dòng)量而與

相應(yīng)的廣義動(dòng)量

因此哈密頓量密度為場的總哈密頓量為壓縮算符的意義上述結(jié)果表明，場的總能量是一次量子化理論中哈密頓算符的期望值。(2)正則量子化方案。量子化要求

滿足如下同時(shí)性對易關(guān)系：于是廣義坐標(biāo)

和廣義動(dòng)量

，現(xiàn)在已轉(zhuǎn)化為算符，稱為場算符。利用式(3.72),上述對易關(guān)系記為其中，已將

改寫為

。由于現(xiàn)在場量y已轉(zhuǎn)化為算符，所以由式(3.74)定義的場的總哈密頓量也變成了算符，記為壓縮算符的意義應(yīng)當(dāng)注意式(3.77)所定義的量子場的哈密頓算符

日與等式右邊積分號(hào)中的算符

含義之間的區(qū)別。

的

的算符性來源于場量

的算符性，所以是二次量子化方案中的算符。(3)轉(zhuǎn)化到粒子數(shù)表象。設(shè)

為一組正交完備函數(shù)集，將場算符展開為其中，

可取一次量子化理論中任一單粒子力學(xué)量算符的本征函數(shù)集，α為態(tài)指標(biāo)。例如，取動(dòng)量算符的本征函數(shù)，則有其中，

為歸一化體積。另外需要指出，

是算符，所以展開系數(shù)現(xiàn)在也是算符。利用qa的正交歸一化可得場算符展開式(3.78)和式(3.79)的逆變換關(guān)系：壓縮算符的意義利用變換關(guān)系式(3.82)和式(3.83)及場算符的基本對易關(guān)系式(3.76),可得出

同時(shí)性對易關(guān)系：量子化波場的哈密頓算符式(3.77)現(xiàn)在可化為其中矩陣元為壓縮算符的意義如果V與時(shí)間有關(guān)，

當(dāng)然也可能與時(shí)間有關(guān)。在特殊情況下，若V與時(shí)間無關(guān)，則

可取一次量子化理論中的單粒子哈密頓算符

的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為Ea,于是有

。這時(shí)，量子場哈密頓算符式(3.85)可簡化為求式(3.87)的本征值和本征矢是一個(gè)二次量子化方案中的問題。其中，

分別是α態(tài)粒子的湮滅算符和產(chǎn)生算符；

是α態(tài)粒子數(shù)算符；

是總粒子數(shù)算符。此外，

個(gè)粒子所占有的能級(jí)，態(tài)矢量可表示為其中，

為粒子真空態(tài)，定義為至此可以指出，本節(jié)開始是從單粒子薛定諤波場出發(fā)，通過二次量子化手續(xù)建立了量子化薛定諤波場。但是上述分析表明，這樣建立起來的量子化波場不僅能夠描述單粒子態(tài)，而且能夠描述多粒子態(tài)。從量子場的觀點(diǎn)來看，單粒子態(tài)和多粒子態(tài)并無本質(zhì)區(qū)別，它們都是量子場的激發(fā)態(tài)。因此可以預(yù)期，與利用一次量子化理論相比，利用量子場或二次量子化理論來研究多粒子問題將會(huì)變得相當(dāng)簡單。壓縮算符的意義在二次量子化理論中，原來的一次量子化理論中的概率密度或粒子數(shù)密度，以及其他所有力學(xué)量的平均值都將變成算符，因?yàn)椴ê瘮?shù)變成了算符。這種算符就是二次量子化理論中的力學(xué)量。(1)概率密度(或粒子數(shù)密度)。先來考察概率密度或粒子數(shù)密度。一次量子化理論中在F點(diǎn)處出現(xiàn)由y表示的粒子的概率密度為在二次量子化中它變成了算符，有其中在粒子數(shù)表象中的矩陣元為總粒子數(shù)為這正是我們期望的結(jié)果。二次量子化理論中的力學(xué)量(2)坐標(biāo)算符。在二次量子化理論中的坐標(biāo)算符由量子力學(xué)中的坐標(biāo)算符的平均值轉(zhuǎn)化而來，有其中，x為

的任意分量。粒子數(shù)表象中的矩陣元為(3)勢能算符。外場中量子化波場的勢能算符也可由量子力學(xué)中單粒子系統(tǒng)的勢能平均值轉(zhuǎn)化而來，有其中矩陣元為(4)一般力學(xué)量算符。二次量子化理論中的力學(xué)量算符

一般可通過一次量子化中的力學(xué)量F由以下方式轉(zhuǎn)化而來二次量子化理論中的力學(xué)量由式(3.98)可知，二次量子化理論中的力學(xué)量是通過場算符構(gòu)造的，所以如果在一次量子化理論中采用薛定諤繪景描述系統(tǒng)時(shí)間的演化，那么在二次量子化后便自然地進(jìn)入海森伯繪景，即力學(xué)量隨時(shí)間改變。所以，二次量子化理論中系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程是力學(xué)量F(包括場算符)的海森伯方程，有作為例子，下面考察場算符的運(yùn)動(dòng)方程：其中，量子場的哈密頓算符為式(3.101)被積函數(shù)中的

是一次量子化理論中單粒子哈密頓算符。將式(3.101)代入式(3.100),再應(yīng)用場算符的基本對易關(guān)系，有動(dòng)力學(xué)方程此結(jié)果與一次量子化理論中的薛定諤方程形式類似。不過應(yīng)當(dāng)注意，式(3.102)本質(zhì)上不同于薛定諤方程，它是一個(gè)算符方程，是二次量子化理論中關(guān)于場算符的動(dòng)力學(xué)方程。上述結(jié)果表明，把波函數(shù)看作算符是二次量子化理論的關(guān)鍵步驟。當(dāng)把一次量子化理論中的波函數(shù)y轉(zhuǎn)化為算符后，它原來所滿足的薛定諤方程實(shí)際上已自然地轉(zhuǎn)化為了海森伯繪景中的一個(gè)算符運(yùn)動(dòng)方程。動(dòng)力學(xué)方程04全同粒子系統(tǒng)的二次量子化理論首先，來建立不存在相互作用的全同玻色子系統(tǒng)的二次量子化理論。量子力學(xué)中N個(gè)自旋為零的全同玻色子系統(tǒng)的哈密頓算符一般可表示為其中式(3.104)為第i個(gè)單粒子的哈密頓算符。上述式子表明，全同粒子系統(tǒng)的算符通?？梢苑譃橐韵聨追N不同類型。(1)單體算符，如式(3.103)中的第一部分

,其中每一項(xiàng)僅僅涉及單個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)特征。(2)兩體算符，如式(3.103)中的第二部分

,這是多體系統(tǒng)中的兩體相互作用能部分，涉及兩個(gè)粒子的相對運(yùn)動(dòng)特征。不存在相互作用的全同玻色子系統(tǒng)(3)多體算符，這類和式中的算符每一項(xiàng)都涉及三個(gè)或更多粒子的運(yùn)動(dòng)特征，這類算符并不常見。兩體算符和多體算符是多粒子系統(tǒng)所特有的，也是多體量子現(xiàn)象中最重要的部分。多粒子系統(tǒng)的相互作用能決定了固體的許多電學(xué)和磁學(xué)性質(zhì)。這類作用在一定條件下會(huì)引起某些物質(zhì)的鐵磁性、超導(dǎo)性和超流性。多體量子理論的一個(gè)重要任務(wù)仍然是計(jì)算系統(tǒng)的能級(jí)，尤其是基態(tài)能級(jí)。因此需要討論式(3.103)的哈密頓算符的本征值問題。但是在一次量子化理論中求解這類問題幾乎不可能，因?yàn)檫@時(shí)我們所要求解的薛定諤方程是3N個(gè)空間坐標(biāo)及時(shí)間參數(shù)的微分方程，而其中N的數(shù)量級(jí)是阿伏伽德羅常數(shù)。然而如果采用二次量子化方案，特別是采用粒子數(shù)表象的描述方式，則求解多粒子系統(tǒng)的能級(jí)這類問題將成為可能。全同粒子系統(tǒng)的二次量子化理論基本假設(shè)是：由完全集{4a}作為基矢所張成的、用來描寫單個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的表象空間，它同樣適用于全同粒子系統(tǒng)。這一假設(shè)的正確性取決于由此建立的理論是否自洽，以及根據(jù)這個(gè)理論所得到的結(jié)果是否與實(shí)際相符。容易證明，上述基本假設(shè)對于不存在相互作用的全同粒子系統(tǒng)是正確的，在粒子數(shù)表象中的一系列公式與量子化薛定諤波場的公式完全一致。實(shí)際上，我們建立的全同粒子系統(tǒng)的量子理論就是一個(gè)量子場理論。利用場算符不存在相互作用的全同玻色子系統(tǒng)將能夠表示為單粒子算符之和的任何全同粒子的單體算符轉(zhuǎn)化為其中，矩陣元為其中，

是一次量子化單粒子算符在坐標(biāo)表象中的形式。上述討論中通過引進(jìn)場算符及由場算符構(gòu)造的力學(xué)量算符來描述全同多粒子系統(tǒng)。所以我們建立的多粒子系統(tǒng)的量子理論就是量子場理論或二次量子化理論。不存在相互作用的全同玻色子系統(tǒng)相互作用能是一種多粒子系統(tǒng)所特有的力學(xué)量，這類力學(xué)量在單粒子系統(tǒng)中并不出現(xiàn)。為了建立這類力學(xué)量的二次量子化形式，以兩個(gè)荷電粒子間的靜電相互作用能為例進(jìn)行討論。荷電粒子在空間形成的電荷密度為因此，相互作用能為我們假定全同粒子系統(tǒng)的兩體相互作用能從一次量子化形式轉(zhuǎn)化到二次量子化形式是通過下式實(shí)現(xiàn)的：將展開式(3.105)代入式(3.111),可得其中，矩陣元為相互作用能的二次量子化形式應(yīng)當(dāng)指出，由式(3.110)轉(zhuǎn)化來的二次量子化理論中的兩體相互作用能算符還可記為為了考察式(3.111)與式(3.114)的區(qū)別，利用場算符的對易關(guān)系，有將此結(jié)果代入式(3.114),有可見，戶比廣多了一項(xiàng)，這一項(xiàng)可解釋為“自能”算符。對于許多理想勢(如庫侖勢),這種自能項(xiàng)將為無窮大。要正確處理這種項(xiàng)，必須考慮粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。在多體理論中常常將組分粒子看作基本單元，不再去探究其內(nèi)部結(jié)構(gòu)。于是這種自能項(xiàng)可簡單地作為背景來處理。相互作用能的二次量子化形式考慮動(dòng)能項(xiàng)、外場作用引起的勢能項(xiàng)，以及兩體相互作用項(xiàng)后，全同玻色子系統(tǒng)哈密頓算符的二次量子化形式一般表示為其中，矩陣元

可由式(3.86)確定，矩陣元

由式(3.113)確定。在計(jì)算這些矩陣元的表示式中，

是某一力學(xué)量算符的本征函數(shù)?，F(xiàn)在不失一般性地取

為自由粒子哈密頓算符或動(dòng)量算符的本征函數(shù)，即式(3.80):這時(shí)有其中是系統(tǒng)中單個(gè)粒子的動(dòng)能，而全同玻色子系統(tǒng)的哈密頓算符是系統(tǒng)中單個(gè)粒子在外場中勢能V(F)的傅里葉變換。式中，

,Ω為歸一化體積。對于兩體相互作用能矩陣元，有上式被積函數(shù)中做變量代換

,于是可化為全同玻色子系統(tǒng)的哈密頓算符是兩體相互作用勢

的傅里葉變換。將式(3.117)和式(3.120)代入式(3.116),則包含兩體相互作用能的全同玻色子系統(tǒng)的哈密頓算符一般記為對于兩體相互作用能矩陣元，有式(3.122)第一部分為全同粒子系統(tǒng)的動(dòng)能部分，是粒子數(shù)表象中的對角部分；第二部分是系統(tǒng)與外場的相互作用勢能項(xiàng)。這一項(xiàng)推導(dǎo)如下：將式(3.117)代入式(3.116),注意到

,則系統(tǒng)在外場中的勢能項(xiàng)可表示為式(3.123)是粒子數(shù)密度算符的傅里葉變換，可通過下面的推導(dǎo)看出：全同玻色子系統(tǒng)的哈密頓算符最后，式(3.122)中的第三部分為兩體相互作用能部分，δ-函數(shù)反映了動(dòng)量守恒要求?？梢宰C明，粒子數(shù)算符

與該項(xiàng)不對易，所以狀態(tài)為k的粒子數(shù)由于兩體相互作用的存在而不再守恒。但是總粒子數(shù)

與該項(xiàng)對易，所以系統(tǒng)的總粒子數(shù)是守恒的。這一性質(zhì)與兩體相互作用能項(xiàng)中產(chǎn)生和湮滅算符成對出現(xiàn)的情況有關(guān)。這表明，如果某時(shí)刻處于某一狀態(tài)的粒子數(shù)少一個(gè)單位，則另一狀態(tài)的粒子數(shù)必定增加一個(gè)單位。此外，兩體相互作用能算符項(xiàng)還可記為全同玻色子系統(tǒng)的哈密頓算符交換對稱性與對易關(guān)系前面在建立全同粒子系統(tǒng)的量子理論時(shí)，假定粒子的湮滅算符和產(chǎn)生算符滿足對易關(guān)系式(3.84)。下面來考察在這種對易關(guān)系下，系統(tǒng)狀態(tài)所存在的交換對稱性。因?yàn)榻粨Q對稱性是全同粒子系統(tǒng)區(qū)別于單粒子系統(tǒng)的一個(gè)重要特征，而在建立全同粒子系統(tǒng)的二次量子化理論時(shí)所引進(jìn)的基本假設(shè)中，簡單地將描述單粒子態(tài)的基矢完全集應(yīng)用于全同粒子系統(tǒng)，因此我們必須特別考察這種推廣所得到的結(jié)果是否與全同粒子系統(tǒng)所特有的交換對稱性自洽。為區(qū)別起見，以后用

表示玻色子算符，用

結(jié)表示費(fèi)米子算符。1.全同玻色子系統(tǒng)我們先來考察全同玻色