矩陣范數(shù)的刻畫

1a+a的關(guān)系設(shè)置1，acnn，例如從a中a到a中的a（ah是a的共軛矩陣），a被稱為復(fù)正式矩陣。當(dāng)anit時(shí)，a=t，a被稱為實(shí)際正式矩陣。定義2設(shè)A∈Cm×n,用‖A‖表示按照某個(gè)法則確定的與A對應(yīng)的實(shí)數(shù),且滿足:1)非負(fù)性:當(dāng)A≠O時(shí),‖A‖>0;當(dāng)且僅當(dāng)A=O時(shí),‖A‖=0;2)齊次性:對任意復(fù)數(shù)k,有‖kA‖=|k|‖A‖;3)三角不等式:對任意兩個(gè)同類型矩陣A,B都有‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖;4)矩陣乘法相容性:若A,B可乘,有‖AB‖<‖A‖‖B‖.則稱對應(yīng)于A的這個(gè)實(shí)數(shù)‖A‖為矩陣A的范數(shù).常用的幾種矩陣范數(shù)為:(1)Frobenius范數(shù):;(2)列和范數(shù):;(3)譜范數(shù):,其中λmax(AHA)是AHA的最大特征值;(4)行和范數(shù):,i=1,2,…,m.定義3若λ1,λ2,…,λn是矩陣A的全部特征值,則稱為A的譜半徑.2acna,acna,bcnh,2acn2.特征函數(shù)引理1設(shè)A∈Cn×n,而U∈Cn×n與V∈Cn×n都是酉矩陣,則‖UA‖F(xiàn)=‖AV‖F(xiàn)=‖A‖F(xiàn)0性質(zhì)1設(shè)A∈Cn×n為正規(guī)矩陣,它的n個(gè)特征值為λ1,λ2,…,λn,則,如記α=(λ1,λ2,…,λn)T,即是‖A‖F(xiàn)=‖α‖2.證明因?yàn)锳是正規(guī)矩陣,所以存在酉矩陣U,使得UHAU=Λ=diag(λ1,A2,…,λn),而.引理2(特征值上界定理)對任意A∈Cn×n,總有ρ(A)≤‖A‖,這里‖·‖為A的任意一種范數(shù).性質(zhì)2設(shè)A∈Cn×n為正規(guī)矩陣,則.證明因?yàn)?這里|λmax|表示A的特征值模的最大值,所以,再由引理2可知該性質(zhì)成立.引理3設(shè)A∈Cm×n,而U∈Cm×m與V∈Cn×n都是酉矩陣,則‖A‖2=‖UAV‖2.性質(zhì)3設(shè)A∈Cn×n為正規(guī)矩陣,則ρ(4)=‖A‖2.證明因?yàn)锳是正規(guī)矩陣,所以存在酉矩陣U,使得UHAU=Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)所以,又.性質(zhì)4設(shè)A∈Cn×n為正規(guī)矩陣,則,ρ2(A)=ρ(AHA).證明因?yàn)?所以,由性質(zhì)3知ρ2(A)=ρ(AHA).性質(zhì)5A∈Cn×n為正規(guī)矩陣,有‖Ax‖2=‖AHx‖2(注:).證明充分性:因?yàn)锳是正規(guī)矩陣,有AAH=AHA,.必要性:若Vx∈Cn×1,有‖Ax‖2=‖AHx‖2,即有,兩端平方,xHAHAx=xHAAHx,于是xH(AHA-AAH)x=0,由x的任意性,必有AHA-AAH=0,即AAH=AHA,A為正規(guī)矩陣.3正交矩陣的算法定義4設(shè)Ak=(aij)∈Cn×n,稱形如的矩陣級數(shù)為方陣A的冪級數(shù);當(dāng)A為正規(guī)矩陣時(shí),該冪級數(shù)稱為正規(guī)矩陣A的冪級數(shù).引理4若方陣A的某一范數(shù)‖A‖在數(shù)項(xiàng)冪級數(shù)的收斂域內(nèi),則方陣冪級數(shù)絕對收斂.由性質(zhì)1和引理4顯然有下列結(jié)論:引理5設(shè)數(shù)項(xiàng)冪級數(shù)的收斂半徑為R,A∈Cn×n,若ρ(A)<R,則方陣冪級數(shù)絕對收斂;若ρ(A)>R,則方陣冪級數(shù)發(fā)散.由于A是正規(guī)矩陣時(shí),有ρ(A)=‖A‖2,所以有下述結(jié)論:定理2設(shè)數(shù)項(xiàng)冪級數(shù)的收斂半徑為R,A∈Cn×n,若‖A‖2<R,則方陣冪級數(shù)絕對收斂;若‖A‖2>R,則方陣冪級數(shù)發(fā)散.將引理5應(yīng)用到正規(guī)矩陣的冪級數(shù)上,可以得到一些更精確的判定定理.定理3對正規(guī)矩陣A的冪級數(shù),設(shè),A是酉陣(正交矩陣或?yàn)閮绲染仃?A2=A),則當(dāng)ρ<1時(shí),絕對收斂,當(dāng)ρ>1時(shí),發(fā)散.證明因?yàn)橛暇仃嚭驼痪仃嚨娜我馓卣髦郸说哪λ|=1,而冪等矩陣的特征值只能是0和1,所以當(dāng)A是這兩類矩陣時(shí),譜半徑ρ(A)=1.當(dāng)ρ<1時(shí),數(shù)項(xiàng)冪級數(shù)的收斂半徑,此時(shí)總有p(A)=1<R,所以絕對收斂;當(dāng)ρ>1時(shí),數(shù)項(xiàng)冪級數(shù)的收斂半徑,此時(shí)總有p(A)=1>R,所以發(fā)散.定理4設(shè)A∈Cn×n,對方陣冪級數(shù),如,則當(dāng)A存在非零特征值時(shí),方陣冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)A只有零特征值時(shí),方陣冪級數(shù)絕對收斂.證明當(dāng)A存在非零特征值時(shí),設(shè)A的全部特征值為λ1,λ2,…,λr,其中λi是A的ni重特征值,n1+n2+…+nr=n.不妨設(shè)λi≠0,1≤i≤r,設(shè)J是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,則存在可逆陣P∈Cnxn,使得A=PJP-1=Pdiag(J1(λ1),J2(λ2),…,Jr(λr))P-1,其中λi是A的ni重特征值,n1+n2+…+nr=n,于是,故,其中:當(dāng)k<l時(shí),.由題設(shè)可知數(shù)項(xiàng)冪級數(shù)的收斂半徑R=0,即只在x=0點(diǎn)收斂.所以冪級數(shù)發(fā)散,從而可知發(fā)散,即知發(fā)散.當(dāng)A只有零特征值時(shí),即是λ=0是A的n重特征值,因?yàn)槿我庖粋€(gè)n階復(fù)矩陣都酉相似于一個(gè)上三角陣,且對角線上的元素就是A的n個(gè)特征值.即存在酉陣U(UH=U-1),使得UHAU=U-1,所以Ak=UBkU-1,容易知道Bn=0,于是,所以絕對收斂.推論1設(shè)A為非零正規(guī)矩陣時(shí),當(dāng)時(shí),一定發(fā)散.證明只需證明A的特征值不可能全為零.假如A的特征值全為零,則因?yàn)榇嬖谟暇仃嘦使得UHAU=diag(0,0,…,0),得到A=Udiag(0,0,…,0)UH=0,與A非零矛盾.注意到A為正規(guī)矩陣,且A≠x0E時(shí),有A-