雙等腰三角形等腰三角形是幾何題目中常見的基本圖形，兩個(gè)等腰三角形為背景的題目也屢見不鮮，多數(shù)為兩個(gè)等腰三角形共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，或兩個(gè)等腰三角形的底在同一直線上，或兩個(gè)等腰三角形的腰在同一直線上，那么有著特殊位置的兩個(gè)等腰三角形會(huì)有什么結(jié)論那？共腰雙等腰首先我們就一起研究一下兩個(gè)共腰的等腰三角形有什么特性及其應(yīng)用。共腰雙等腰是指兩個(gè)等腰三角形各有一條腰在同一直線上，而剩余的腰和底不在同一直線上，那么兩個(gè)等腰三角形剩余腰與腰的夾角為兩個(gè)等腰三角形剩余底與底夾角的2倍。模型一、如圖，AB=AC,AD=AE,求證：nBAD=2nEDC。???AB=AC,.?.設(shè)nABC=nACB=a,???AD=AE,...設(shè)nADE=/AED=B，其中兩個(gè)等腰三角形的一條腰AE與AC共線，那么剩余的底DE與剩余的底BC的夾角nEDC邛-a,那么剩余的腰AB與剩余的腰AD的夾角nBAD=NADC-NABC=2B-2a,.nBAD=2nEDC。模型一變式、①如圖，AB=AC,nBAD=2nEDC,求證：AD=AE。②如圖，AD=AE,nBAD=2nEDC,求證：AB=AC。

模型二、如圖，AB=AC=AD，求證：(1)nCAD=2nCBD;(2)zBAC=2zBDCo??AB=AD，，設(shè)nABD=nADB=a,??AB=AC,...設(shè)nABC=/ACB=B， /其中兩個(gè)等腰三角形的一條腰AB與AB共線， B乙=那么剩余的底BD與剩余的底BC的夾角nDBC=3a,那么剩余的腰AC與剩余的腰AD的夾角nCAD=NBAD-NBAC=232a,?.nCAD=2nCBDo同理可證，nBAC=2nBDCo模型二變式、①如圖，AB=AC,nCAD=2nCBD,求證：AB=AD。②如圖，AB=AC,nBAC=2nBDC,求證：AB=AC。模型二思考、等腰MBC與等腰MCD也可以看成是兩個(gè)共腰的等腰三角形，那么圖中誰是剩余腰與腰的夾角，誰是剩余底與底的夾角，它們之間還是否滿足2倍的關(guān)系？模型三、如圖，AB=AC=AD，求證：(1)nCAD=2nCBD;(2)nBAC=2nBDC;(3)nBAD=2nBCDo「AB=AD，，設(shè)nABD=nADB=a,「AB=AC,...設(shè)nABC=/ACB=B，

其中兩個(gè)等腰三角形的一條腰AB與AB共線，那么乘U余的底BD與乘"余的底BC的夾角nDBC=B+a,那么剩余的腰AC與剩余的腰AD其中兩個(gè)等腰三角形的一條腰AB與AB共線，C??.nCAD=2nCBD。C同理可證nBAC=2nBDC;nBAD=2nBCD。模型二與模型三都可以看成點(diǎn)A為^BCD的外心。模型一、二、三中兩個(gè)等腰三角形不光共腰，它們還共點(diǎn)，那是不是一定要滿足共點(diǎn)這個(gè)條件那？模型四、如圖，等腰MBC中，AB=AC,等腰4DEF中，DE=DF,圖中AB與DE共線，那么剩余的腰或底在圖中沒有交點(diǎn)，就需要我們找到剩余A的腰或底所在直線，進(jìn)而找 A到剩余腰與腰的夾角和剩余底與底的夾角,通過前面的方法可證nCPF=2nFQC。E典型例題賞析例1：如圖，RfABC中，AB=AC,D、E分別是BC、AC邊上一點(diǎn)，連接AD、DE,若nBAD=2nDCDE,CD=4,AE=4?，求AC的長(zhǎng)。

D例1解析：由AB=AC和nBAD=2nCDE,可得AD=AE=4丫2,解MCD,可得AC=2j2+2g。例2:例2:如圖，正方形ABCD,過點(diǎn)A作nEAF=90°,兩邊分別交直線BC于點(diǎn)E,交線段CD于點(diǎn)F,例2解析：由BG是直角三角形ABE的斜邊中線，得BG=AG,由正方形ABCD，得nBAC=45°,題中已知nBGH=90°得nBGH=2nBAH,由模型二的變式可得GH=GB，為接下來固定圖形起到了至關(guān)重要的作用，設(shè)AH=k,CH=3k,BC=2J2k,連接BH,得BH=<5k,由gBH為等腰直角三角形，得GB=GH=乎k,AE=2BG=^10k,AB=入2匕得BE-2匕由MD2ABE,DF=BE=Jk,AF=<10k,CF=,/2k,解ACFH，得FH=、5k,得AF=<2FH.ECE=16，求AE的長(zhǎng).DF使zBEC=60。，在CD共腰雙等腰部分例3：ECE=16，求AE的長(zhǎng).DF使zBEC=60。，在CD共腰雙等腰部分邊上取點(diǎn)F,連接EF,且nCEF=1zABE,若CF=4,2 A

DD例3解析：本題由菱形構(gòu)成，菱形四條邊相等，所以不缺少等腰三角形，但是nCEF=1nABE這個(gè)2條件不知如何使用。連接DE/ABEm^ADE/ABE=nADE,由DA=DC/CEF=1/人口￡,得de=df,2設(shè)EO=k,BE=2k,DE=DF=2k,DC=BC=2k+4,CO=16-k,BO=/k,勾股△BOC/得k=5,AE=6。例4:在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸正半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,直線AB的解析式為y=-x+3.（1）求拋物線解析式；（2）P為線段OA上一點(diǎn)（不與O、A重合），過P作PQ^x軸交拋物線于Q,連妾AQ,M為AQ中點(diǎn)，連接PM,過M作MN±PM交直線AB于N,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n，求n與t的函數(shù)關(guān)系；（3）在（2）的條件下，連接QN并延長(zhǎng)交y軸于E,連接AE,求t為何值時(shí)，MNIIAE.錯(cuò)誤!未找到引用源。（2）共腰雙等腰部分NMPNMP為等腰直角三角形，過M作xQ例4解析：有已知可容易得（1）答案y——x2+2x+3。(2)nBAO=1nNMP,MA=MP，得MN=”「，得^2(3)MN=MP=MQ，得nNQP=1nNMP=45°,nNHQ=nAHP=45°,得NQNH=90°,得EQ±2AB,MNllAE,由M為AQ的中點(diǎn)，得N為EQ的中點(diǎn)，得AN垂直平分EQ,得AQ=AE,nEAO二zAEB-90°=(45°+zAEQ)-90°=zAEQ-45°又:/AQP=nAQE-45°,，nEAO=nAQP,zEOA=zQPA=90°,aAPQ2OEA,AO=PQ=3,由Q(t,t2+21+3),得—t2+2t+3=3,(=0(舍)，t=2。2強(qiáng)化訓(xùn)練習(xí)題

3、如圖，在^ABC中，線段BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)F,垂足為E,D為EF上一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，若MCD為等邊三角形，EF=2，求BF的長(zhǎng).4、如圖，在四邊形ABDC中，連接AD、BC，AB=BC=BD，nDAC的正切值為1，若AB=5，求

3nDAC的正切值為1，若AB=5，求

3BDCEEBB5、如圖，在菱形ABCD中，tan/DAB=4,AE=AB,AH^BE于點(diǎn)H,連接DE交AH于點(diǎn)G,3連接BG,BG=10,求BE的長(zhǎng).6、如圖，RfABC中，NB=90°,NBAC=60°,點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，D為BC上一點(diǎn)，若BA=BD,，/ACB=90°,D是AC的中點(diǎn)，E為，/ACB=90°,D是AC的中點(diǎn)，E為AC垂直平分線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE,過E作EF^CE,垂足為E,射線EF交直線AB于F,若AC=4，四邊形BCEF的面積為4.5時(shí)，求AF的長(zhǎng).8、如圖，在四邊形ABCD中，連接AC、BD,AC=AD=BC,zABC=60°,AD=2J7,CD=2戶,求BD的長(zhǎng).9、如圖，等邊MBC中，D為直線BC下方一點(diǎn)，滿足NBDC=90°,將點(diǎn)C沿直線BD折疊得到點(diǎn)E,連接DE、AE,交射線DB于點(diǎn)F.(1)求證：nAEC=30°;(2)請(qǐng)你猜想AE、CE、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.10、如圖，在RfABC中，NACB=90°,點(diǎn)O在AB邊上，OB=OC,點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，連接AD,點(diǎn)E在AD上，OE交AC于點(diǎn)F,OE=OC,nABC=nCAD+30°,若OF=4,DE=3，求OD的長(zhǎng).答案：1、nCDE=68°2、nDAC=100°3、BF=44、CD=5、BE=8c6、sinnADE=127、AF=3/或AF=5J28、BD=89、(1)略;(2)233CE+BF=AE10、OD=7共底雙等腰接下來我們就一起研究一下兩個(gè)共底的等腰三角形有什么特性及其應(yīng)用。共底雙等腰是指兩個(gè)等腰三角形的底在同一直線上，而剩余的腰不在同一直線上，那么兩個(gè)等腰三角形腰與腰的夾角等于兩個(gè)等腰三角形剩余腰與腰的夾角。模型一、如圖，AB=AC,BD=DE,(1)求證：nABD=nCDE;(2)延長(zhǎng)ED交AB于F,求證：nBDC=nBFE。證明：(1).「AB=AC,...設(shè)nABC=nACB二a「「DB=de,...設(shè)nDBE=nDEB=B，其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰BD的夾角nABD=nABC-nDBE=a-0,

那么剩余的腰AC與剩余的腰DE的夾角nCDE=nACB-nDEB=a-B，??.nABD=nCDE。(2).「AB=AC,.?設(shè)nABC=nACB二a「「DB=DE,...設(shè)nDBE=nDEB=B，其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰DE的夾角NBFE=180°-NABC-NDEB=180°-a-B，那么剩余的腰AC與剩余的腰BD的夾角NBDC=180°-NACB-NDBE=180°-a-B，??.nBDC=nBFE。模型一變式、①如圖，AB=AC,nABD模型一變式、①如圖，AB=AC,nABD=nCDE,求證：BD=DE。模型二、如圖，點(diǎn)D為射線CA上一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，AB交DE于F,若AB=AC,DB=DE,求證:(1)zABD=zCDE;(2)zBDC=zBFEo證明：(1).「AB=AC,...設(shè)nABC=nACB二a「「DB=DE,...設(shè)nDBE=/DEB=B，其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰BD的夾角nABD=nDBE-nABC=p-a,那么剩余的腰AC與剩余的腰DE的夾角nCDE=nDEB-nACB邛-a,??.nABD=nCDE。(2).「AB=AC,...設(shè)nABC=nACB二a「「DB=DE,...設(shè)nDBE=nDEB=0,其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰DE的夾角NBFE=180°-NABC-NDEB=180°-a-B,那么剩余的腰AC與剩余的腰BD的夾角NBDC=180°-NACB-NDBE=180°-a-B,??.nBDC=nBFE??.nBDC=nBFE。模型二變式、①如圖，AB=AC/ABD=nCDE,求證：BD=DE。②如圖，BD=DE/ABD=nCDE,求證：AB=AC。③如圖，AB=AC/BDC=nBFE,求證：BD=DE。④如圖，BD=DE/BDC④如圖，BD=DE/BDC=nBFE,求證：AB=AC。模型三、如圖，點(diǎn)D為射線CA上一點(diǎn)，點(diǎn)E為射線CB上一點(diǎn)，若AB=AC, DB=DE,求證：nABD=nCDE。證明：.「AB=AC,...設(shè)nABC=nACB二a「「DB=DE,.?.設(shè)nDBE=nDEB=0,

其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰DB的夾角NABD=180°-NABC-NDBE=180°-a-B，那么剩余的腰AC與剩余的腰DE的夾角NCDE=180°-NACB-NDEB=180°-a-B，azABD=zCDEo模型三思考：圖中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，腰AC與腰腰DB的夾角為nBDC,那么剩余線，進(jìn)而找到的腰AB與剩余的腰DE在圖中沒有交點(diǎn)，就需要我們找到剩余的腰或底所在直D剩余腰與腰的夾角nAFD,通過前面的方法可證nBDC=nAFDo線，進(jìn)而找到典型例題賞析例1：如圖，等腰直角△ABC,nBAC=90°,AB=AC,D是AB上一點(diǎn)，連接CD、DE,若CD=DE,AC

AC例1解析：:AB=AC,CD=DE,由共底雙等腰，得nBDE=nACD,過D作DFIIBC交AC于F,導(dǎo)角得/CFD=nDBE=135°,可得^CD恒^EDB,「.BE=DF,由DF=y2AD,，BE=、2AD。例2:如圖，^ABC為等邊三角形，D為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=CB，連接BE例2解析：題目中已經(jīng)具備了等邊三角形ABC和等腰三角形CBE,并且兩個(gè)等腰三角形還是共腰的

雙等腰，但是并不足以解決求CD的問題，所以我們?cè)贑F上取點(diǎn)G，連接BG，使得FG=BG，再構(gòu)造出一個(gè)等腰aGFB,由CE=CB，形成共底雙等腰，得nGBC=NFCE,再由題目中的等邊三角形ABC,就出現(xiàn)了我們非常熟悉的△ACD^^BCG,「.AD=CG=3,FG=CF-CG=7-3=4,S△ACD^^BCG,「.CD=BG=FG=4。例3：如圖，在半OO中，AB為直徑，C在半OO上，且AC=BC，當(dāng)AB=4時(shí)，連接AC.(1)求AC的長(zhǎng)；(3)在(2)的條件下，CD上有一點(diǎn)E,過E作EF平行AC交AD于F,醯BE(3)在(2)的條件下，CD上有一點(diǎn)E,過E作EF平行AC交AD于F,醯BE、BF,若BE=BF,OE,:/EMO=90°,AOE,:/EMO=90°,A P O聚? \\.?.在^OEM中，OE2=OM2+EM2,dN ANM B F/例3解析：由已知條件，很容易求出(1)AC=2。,(2)AD=855。(3)題目中已經(jīng)具備等腰三角形BEF,延長(zhǎng)EF交AB于P「「EFllAC,「.NEPB=nCAB=45°,過E作EM±AB于M，構(gòu)造出第二個(gè)等腰三角形MEP，由共底雙等腰得，nBEM=nFBP,過F作FH,AB于N,.”EMB2BNF,「. c FN=BM，設(shè)BM=k,則FN=匕由tan/DAB=1,^^^E 2??.AN=2k,BN=4-2k,// D^E.?.EM=4-2k,〈BM二卜，「.0乂=2次，連接

10土2、5 122=(2—k)2+(4—2k)2,?.k=一二(取加號(hào)時(shí)，k>2,.??加號(hào)舍去)，???tan/DAB=5,AF=2J5-2。強(qiáng)化訓(xùn)練習(xí)題1、如圖，等邊MBC中，D是BC的中點(diǎn)，P為射線AD上一點(diǎn)，若^BPA 為等腰三角形，求NBCABCBPC的度數(shù).2、如圖，等邊MBC中，點(diǎn)D為射線BA上一點(diǎn)，作DE=DC,交直線BC于點(diǎn)E.nABC的平分線BF,交CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作AH±CD于H，當(dāng)nEDC=30°,CF=4，求DH的長(zhǎng).3、如圖，等腰直角△ABC,nBAC=90°,AB=AC,D是射線BA上一點(diǎn)，E是直線BC上一點(diǎn)，連接BCD、BCBCD、BC5、如圖、等腰MBC,AB=AC,將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段AD,交BC于E,過D作AAD的垂線交AC延長(zhǎng)線于F，gAE=9，DF=8，求DE的長(zhǎng).6、如圖在M