僅供學(xué)習(xí)參考僅供學(xué)習(xí)參考本資料僅供參考復(fù)習(xí)練手之用，無(wú)論是重修只求及格，還是為了拿優(yōu)保研，復(fù)習(xí)課本上的根底知識(shí)點(diǎn)和例題、課后習(xí)題才是重中之重，作為一個(gè)重修過(guò)高數(shù)的學(xué)長(zhǎng)，望大家不要舍本求末，記住這樣一句話，只有當(dāng)你付出了，你才可能有收獲。課程名稱(chēng)：?高等數(shù)學(xué)?一、單項(xiàng)選擇題〔共15分，每題3分〕.設(shè)函數(shù)f(x,y)在P(xo,yo)的兩個(gè)偏導(dǎo)fx(xo,yo)，fy(xo,y0)都存在，那么

A.f(x,y)在P連續(xù) B.f(x,y)在P可微C. limf(x,y)及l(fā)imf(x,y)都存在D.lim f(x,y)存在00xfx0 yfy0 (x,yfx0,y0).假設(shè)z=yinx，那么dz等于〔 〕.B.ylnxlnyylnxlnB.ylnxlnyA. + xyylnylnxlnyyinxlnydx+ dyxylnxlny ylnxlnxdx+dyxy.設(shè)Q是圓柱面x2+y2=2x及平面z=0,z=1所圍成的區(qū)域，那么JJJf(x,y,z)dxdydz=( 〕.AJ*2AJ*2d0J28sodrJ1f(rcos0,rsin0,z)dz0 0 0C.J*2d0J2cos0rdrJ1f(rcos0,rsin0,zz)dz一兀c0 0B.J*2d0J2cos0rdrJ1f(rcos0,rsin0,z)dz00 0D.J*d0J2cosxrdrJ1f(rcos0,rsin0,z)dz00 0.4.假設(shè)￡a(x-1)n在x=—1處收斂，那么此級(jí)數(shù)在x=2處〔〕.nn=1A.條件收斂B.絕對(duì)收斂C.發(fā)散D.斂散性不能確定fx-y+z=2.曲線| 在點(diǎn)[1,1,2〕處的一個(gè)切線方向向量為〔 〕.[z=x2+y2A.〔-1,3,4〕B.〔3,-1,4〕C.〔-1,0,3〕 D. 〔3,0,-1〕二、填空題〔共15分,每題3分〕.設(shè)x+2y-2xyz=0，那么z'(1,1)= .交換I=JedxJlnxf(x,y)dy的積分次序后，I=.10.設(shè)u=2xy-z2，那么u在點(diǎn)M(2,-1,1)處的梯度為.Exn，那么xe-x= .n!n=05.函數(shù)z=x3+y3-3x2-3y2的極小值點(diǎn)是.三、解答題〔共54分，每題6--7分〕y d.zdz.〔本小題總分值6分）設(shè)z=yarctan-,求―,—.x dx0y.〔本小題總分值6分）求橢球面2x2+3y2+z2=9的平行于平面2x-3y+2z+1=0的切平面方程，并求切點(diǎn)處的法線方程.?一、 二1二s/T二.〔本小題總分值7分）求函數(shù)z=x2+y2在點(diǎn)（1,2）處沿向量l=-i+為-j方向的方向?qū)?shù)。.〔本小題總分值7分）將f（x）=1展開(kāi)成x-3的冪級(jí)數(shù)，并求收斂域。x.〔本小題總分值7分）求由方程2x2+2y2+z2+8yz-z+8=0所確定的隱函數(shù)z=z（x,y）的極值。6．〔本小題總分值7分〕計(jì)算二重積分JJ(x26．〔本小題總分值7分〕計(jì)算二重積分JJ(x2+y2)do,D由曲線x=-《1-y2,y=—1,y=1及x=—2圍成.D7.〔本小題總分值7分〕利用格林公式計(jì)算Jxy2dy—x2ydx，其中L是圓周x2+y2=a2〔按逆時(shí)針?lè)较颉?L8.〔本小題總分值7分〕卦限內(nèi)的區(qū)域.計(jì)算JJJxydxdydzQ其中Q是由柱面x2+y2=1及平面z=1,x=0,y=0所圍成且在第四、綜合題〔共16分，每題8分〕1．〔本小題總分值8分〕1．〔本小題總分值8分〕設(shè)級(jí)數(shù)￡u,￡Vnn=1 n=1都收斂，證明級(jí)數(shù)￡(un=1+V)2收斂。ndf cdf c且旬=2x，

d.x2．〔本小題總分值8分〕設(shè)函數(shù)f(x,y)在2．〔本小題總分值8分〕證明曲線積分J2xydx+f(x,y)dy與路徑無(wú)關(guān).假設(shè)對(duì)任意的才恒有L

J(,,1)2xydx+f(x,y)dy=J(0)2xydx+f(x,y)dy，求f(x,y)的表達(dá)式.(0,0) (0,0)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)單項(xiàng)選擇題〔共15分，每題3分〕：1.C 2D3C4B5A填空題〔共15分，每題3分〕1.-15.(2,2)2.I=J1dyJef(x,y)dx3,-2~i+47-2k4￡(Dnxn+10 ey n=0 n!1.-15.(2,2)解答題〔共54分，每題6--7分〕.解：dzdx里=arctan2+y2x2+.解：dzdx里=arctan2+y2x2+y2

xy(3分)XX2+y2(6分)..解：記切點(diǎn)(X,y,z)002x那么切平面的法向量為幾=2(2%,3y,z)滿足：十0 00 23yz-==才，切點(diǎn)為：(1,-1,2)或-3 2(-1,1,-2)(3分)，切平面：2x-3y+2z=9or-9(4分)，法線方程分別為:2 -3 2或者((6分)3.解：N(1,2)=(2,4)(3分3.解：N(1,2)=(2,4)(3分),14.解：f(x)=3+(7-3)S=1+2<3dl1-n-,(2分)x-3-I-)(7分)因?yàn)椤?-1)nxn=占n=011xe(-1,1)，所以不? 丁31+(殍)=￡(-1)n1.(二3 3n=0)n=￡(-1)n(—)n+1(x-3)n,其中n=0 3xx-3-1<—<1,即0<x<6.(5分)當(dāng)x=0時(shí)，級(jí)數(shù)為￡3發(fā)散；當(dāng)x當(dāng)x=0時(shí)，級(jí)數(shù)為￡3發(fā)散；當(dāng)x=6時(shí)，級(jí)數(shù)為￡(-1)n-3發(fā)散，故(7分)n=0n=01=￡(-1)n(1)"+1(x-3)n,x￡(0,6),x3n=0ez4X5.解：由＜ex1-2z-8ydz=4(y+2z)dy1-2z-8y=0,得至1」X=0與y+2z=0,(2分)=08再代入8再代入2x2+2y2+z2+8yz-z+8=0，得至U7z2+z—8=0即z=1,~7。由此可知隱函數(shù)z=z(x,y)的駐點(diǎn)為(0,-2)與(0,176)o(4分),az 4 d2z由_ ，-T~—_0&2 1-2z-8y axdy在(0,-2)點(diǎn)，z:1,因此&z 4dy2,az 4 d2z由_ ，-T~—_0&2 1-2z-8y axdy在(0,-2)點(diǎn)，z:1,因此&z 4dy21-2z—8yd2z 4—_—>0，d.x215可知在駐點(diǎn)(0,-2)與(0,16)有H>0。(5分)所以(0,-2)為極小值點(diǎn)，極小值為z=1；(6分)16 8在(0,)點(diǎn)，z―——，因此7 7d2zd.x24- 〈15― -16、 80，所以(0,y)為極大值點(diǎn)，極大值為z=-7(7分)-「'1—y2<x<0"y一<，那么D=DdD.〔2分〕故-1<y<1 1 2+y2)do=JJ(x2+y2)do-JJ(x2+y2)do (4分)D D D_J1dyJ0(x2+y2)dx-J:d0J1r3dr_——— 〔7分〕—1 —2 n0 3 4.解：L所圍區(qū)域D： x2+y2<；2,由格林公式，可得J肛LJJ(°(“2)-0(x2y))dxdy=JJ(x2+y2)dxdy=J2nd0Jar2-rdr_n-a4.(7分)ax ay 0 0 2D D.解：如圖，選取柱面坐標(biāo)系計(jì)算方便，此時(shí)0<z<1,Q:[0<0<-20<r<1,所以JJJxydxdydz_J1dzJ:d0J00Q=J:Ssin20d0J1r3dr=(-22 01rcos0-rsin0-rdr0(4分)cos20

4(7分)四、綜合題〔共16分，每題8分〕.證明:因?yàn)閘imu_0,limv_0，〔2分〕z1O1y因此￡(u+v)2收斂。〔8分〕nnn_1故存在N當(dāng)n>N時(shí)，(u+v)2_u2+v2+2uv<3unn nn nn n.證明:0(2xy)且一--_2x，故曲線積分J2xydx+f(x,y)dy與路徑無(wú)關(guān).〔4分〕ay LJ(t」)(0,0)2xydx+f(x,y)dy_J'0dx+J1[12+g(y)]dy_12+J1g(y)dy,〔5分〕J(1,t)2xy