數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理推斷問(wèn)題參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)§6參數(shù)估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理推斷問(wèn)題參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)§6參數(shù)一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)定義1設(shè)總體的分布函數(shù)已知但含未知參數(shù),為來(lái)自總體的樣本，相應(yīng)的樣本值是.由樣本構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,用它的觀測(cè)值來(lái)估計(jì)未知參數(shù),稱(chēng)為的點(diǎn)估計(jì)量,稱(chēng)為的點(diǎn)估計(jì)值.一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)定義1設(shè)總體的分布函為來(lái)自總體的一個(gè)樣本，觀測(cè)值為：用樣本均值作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)量,即

從而

為的點(diǎn)估計(jì)值.1.數(shù)字特征法——用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征為來(lái)自總體用樣本方差作為總體方差的點(diǎn)估計(jì)量,即

從而

為的點(diǎn)估計(jì)值.用樣本方差例1在一批某種零件中,隨機(jī)地取8個(gè),測(cè)得它們的重量(單位:g)為:801,804,799,794,802,800,803,805.試用數(shù)字特征法估計(jì)總體均值和方差.解例1在一批某種零件中,隨機(jī)地取8個(gè),測(cè)得它們的重量例2已知乘客在某公交汽車(chē)站等車(chē)的時(shí)間(單位：min)服從上的均勻分布,現(xiàn)隨機(jī)抽測(cè)了10位乘客的等車(chē)時(shí)間,數(shù)據(jù)如下:2,4,5,8,3,6,5,6,10,1.試用數(shù)字特征法估計(jì)的值,并求乘客等車(chē)時(shí)間不超過(guò)5min的概率.解設(shè)是抽得的樣本,由于,密度函數(shù)為例2已知乘客在某公交汽車(chē)站等車(chē)的時(shí)間(單位：mi總體的均值為由數(shù)字特征法有因此代入數(shù)據(jù)得從而等車(chē)時(shí)間不超過(guò)5min的概率為

總體的均值為對(duì)于同一個(gè)未知參數(shù),不同的方法得到的估計(jì)量可能不同,應(yīng)該選用哪一個(gè)估計(jì)量？應(yīng)該用什么標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞？常用的標(biāo)準(zhǔn)有三個(gè)：（1）無(wú)偏性；（2）有效性；（3）一致性.2.估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于同一個(gè)未知參數(shù),不同的方法得到的估計(jì)量可能不(1)無(wú)偏性設(shè)是參數(shù)的估計(jì)量,若,則稱(chēng)是的無(wú)偏估計(jì)量.注:1.估計(jì)量的值不一定就是的真值,因?yàn)樗且粋€(gè)隨機(jī)變量,若是的無(wú)偏估計(jì),則盡管的值隨樣本值的不同而變化,但平均來(lái)說(shuō)它會(huì)等于的真值.2.一般說(shuō)來(lái)無(wú)偏估計(jì)量的函數(shù)并不是未知參數(shù)相應(yīng)函數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量.例如，當(dāng)時(shí)，是μ的無(wú)偏估計(jì)量，但不是的無(wú)偏估計(jì)量，事實(shí)上：(1)無(wú)偏性設(shè)是參數(shù)例3證明樣本均值為總體均值的無(wú)偏估計(jì).樣本方差為總體方差的無(wú)偏估計(jì).而不是總體方差的無(wú)偏估計(jì).證明

[1]因?yàn)殡S機(jī)變量與總體同分布，故所以樣本均值為總體均值的無(wú)偏估計(jì).例3證明樣本均值為總體均值[2][2]

所以樣本方差為總體方差的無(wú)偏估計(jì).

[3]所以不是總體方差的無(wú)偏估計(jì).[3](2)有效性設(shè)和都是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量,若,則稱(chēng)比更有效.的所有估計(jì)量中,方差最小的估計(jì)量稱(chēng)為的有效估計(jì)量.有效估計(jì)量偏離的真值的程度最小.(2)有效性設(shè)和例4設(shè)是來(lái)自總體的樣本,且

試驗(yàn)證估計(jì)量

都是的無(wú)偏估計(jì)量，并比較哪一個(gè)更有效.證明因?yàn)樗院投际堑臒o(wú)偏估計(jì)量.例4設(shè)是來(lái)自總體的樣本,且

由于因此所以比更有效.由于(3)一致性無(wú)偏性、有效性都是在樣本容量n一定的條件下進(jìn)行討論的，然而不僅與樣本值有關(guān)，而且與樣本容量n有關(guān)，很自然，我們希望n越大時(shí)，n對(duì)

的估計(jì)應(yīng)該越精確.如果依概率收斂于,即,有則稱(chēng)是的一致估計(jì)量.(3)一致性無(wú)偏性、有效性都是在樣練習(xí)題選擇題：以下說(shuō)法不正確的有___________（A）只有總體服從正態(tài)分布，樣本均值才是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量（B）無(wú)論總體服從什么分布，樣本均值一定是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量（C）當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)，樣本方差必為總體方差的無(wú)偏估計(jì)量（D）無(wú)論總體服從什么分布，樣本方差一定是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量練習(xí)題選擇題：二、參數(shù)的區(qū)間估計(jì)定義1設(shè)是自總體的一個(gè)未知參數(shù),對(duì)于給定值,若由來(lái)自的樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和使得成立,則稱(chēng)為置信水平(或置信度),稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間是參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間,和分別為置信下限和置信上限.注:1.區(qū)間包含未知參數(shù)的真值的概率為;2.置信區(qū)間的長(zhǎng)度反映了精確要求,區(qū)間越短越精確；3.置信水平反應(yīng)了區(qū)間估計(jì)的可靠性要求,越小越可靠.二、參數(shù)的區(qū)間估計(jì)定義1下面討論正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間的計(jì)算方法.下面討論正態(tài)總體1.均值的區(qū)間估計(jì)（1）方差已知設(shè)是來(lái)自總體的一個(gè)樣本,其中為已知,為未知.由于,所以故有統(tǒng)計(jì)量

1.均值的區(qū)間估計(jì)（1）方差已知對(duì)于給定的置信水平,可選擇使得（1）成立,即

故

由此得由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得臨界值.對(duì)于給定的置信水平再由（1）式得

即故的一個(gè)置信水平為的置信區(qū)間：再由（1）式得例5設(shè)總體,從總體中抽取一個(gè)樣本值如下:12.6,13.4,12.8,13.2求總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解由題意知,樣本均值的觀測(cè)值為由查表得例5設(shè)總體,從總體中從而總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：

從而總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：若且方差已知時(shí),求的置信區(qū)間的步驟如下:（1）從總體中隨機(jī)抽取容量為的樣本,其觀測(cè)值為（2）計(jì)算樣本均值的觀測(cè)值（3）根據(jù)由查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,查得臨界值（4）求出總體均值的置信水平為的置信區(qū)間

若（2）方差未知考慮T統(tǒng)計(jì)量

（2）方差未知對(duì)于給定的置信水平,可選擇t分布的雙側(cè)臨界值使得（2）成立,即

查自由度為的t分布表得雙側(cè)臨界值從而由（2）得對(duì)于給定的置信水平即故的一個(gè)置信水平為的置信區(qū)間：即例6已知某地初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布,隨機(jī)抽取12名初生嬰兒,測(cè)得其體重（單位：g）為:3100,2520,3000,3000,3600,3160，3560,3320,2880,2600,3400,2540.試以0.95的置信水平估計(jì)該地初生嬰兒的平均體重.解由,得樣本均值的觀測(cè)值為例6已知某地初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布,隨機(jī)抽取從而總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：

從而總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：若且方差未知時(shí),求的置信區(qū)間的步驟如下:（1）從總體中隨機(jī)抽取容量為的樣本,其觀測(cè)值為（2）計(jì)算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的觀測(cè)值（3）根據(jù)和樣本容量查標(biāo)t分布表,查得臨界值（4）求出總體均值的置信水平為的置信區(qū)間若2.方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)是來(lái)自總體的一個(gè)樣本,其中為未知.考慮2.方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)對(duì)于給定的置信水平,選取區(qū)間

使得

于是

即亦即對(duì)于給定的置信水平故方差的一個(gè)置信水平為的置信區(qū)間：標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)置信水平為的置信區(qū)間：故方差的一個(gè)置信水平為的置例7已知某地初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布,隨機(jī)抽取12名初生嬰兒,測(cè)得其體重（單位：g）為:3100,2520,3000,3000,3600,3160，3560,3320,2880,2600,3400,2540.試以0.95的置信水平估計(jì)該地初生嬰兒體重的方差.解由,得查分布表得例7已知某地初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布,隨機(jī)抽取又由例6知從而該地初生嬰兒體重方差以0.95為置信水平的置信區(qū)間為：

又由例6知若且未知時(shí),求的置信區(qū)間的步驟如下:（1）從總體中隨機(jī)抽取容量為的樣本,其觀測(cè)值為（2）計(jì)算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的觀測(cè)值（3）根據(jù)和樣本容量查標(biāo)分布表,查得臨界值