第四章數(shù)列

4.3.2.等比數(shù)列的前n項和公式第一課時等差數(shù)列等比數(shù)列定義an-an-1=d公差d可以是0q不可以是0等差中項2A=a+bG2=ab通項公式

an=a1+(n－1)dan=an=am+(n－m)d

an=a1qn-1an=amqn-m性質(zhì)(若m+n=p+q=2k)ap+aq=as+at=

2akapaq=asat=

復(fù)習(xí)引入

數(shù)學(xué)小故事：國際象棋起源于古印度.棋盤上共有8行8列構(gòu)成64個格子.傳說國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他有什么要求，發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，在棋盤的第2個格子里放上2顆麥粒，在棋盤的第3個格子里放上4顆麥粒，在棋盤的第4個格子里放上8顆麥粒，以此類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的糧食來實現(xiàn)上述要求.”1223344551667788你想得到什么樣的賞賜？陛下，賞小人一些麥粒就可以.請在第一個格子放1顆麥粒請在第二個格子放2顆麥粒請在第三個格子放4顆麥粒請在第四個格子放8顆麥粒

依次類推……新課引入

就在國王猶豫是否要答應(yīng)發(fā)明者的要求時，站在一旁一位將告老還鄉(xiāng)的大臣聽后不滿地說：“我跟陛下這么多年戰(zhàn)功卓著，請求陛下同樣賞賜給我麥子，在棋盤的第一格子里放上2顆麥粒，在第2個格子里放上4顆麥粒，在第3個格子里放上8顆麥粒，依次類推，每一個格子放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到放完64個格子為止.”

國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.思考:已知一千顆麥粒的質(zhì)量約為40g，據(jù)查，2016-2017年度世界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實現(xiàn)他們的諾言.新課引入

2S64=2+22+23+···+263+264

②由②－①可得：S64=264-1=18446744073709551615

粒錯位相減法

1000粒麥粒重約為40克，那么這些麥粒的總質(zhì)量就是7300多億噸.而據(jù)統(tǒng)計2019年全世界小麥的年產(chǎn)量約為7.65億噸！

兩邊同乘q：

①②

(1–q)Sn

=a1–a1qn由①-②得：

?

這種求和方法稱為錯位相減法當(dāng)q≠1時，步驟:乘公比，錯位寫，正位減

當(dāng)q=1時，當(dāng)q≠1時，

思考：運用公式求和，需注意什么問題？

課堂探究步驟:乘公比，錯位寫，正位減n個判斷下列計算是否正確公式鞏固

解：

將該等比數(shù)列記作{an}，公比為q，則

因此例1.求等比數(shù)列

的各項的和．想一想

在等比數(shù)列{an}中，若已知五個量a1,an,n,q,Sn中的任意三個量,

請問:能否求出其余兩個量?方程思想，知三求二例2.已知等比數(shù)列中，，求①②解:得則在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當(dāng)條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時，均可以用a1與q表示an與Sn，從而列方程組求解，在解方程組時經(jīng)常用到兩式相除達(dá)到整體消元的目的．這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用．例3練習(xí).在等比數(shù)列{an}中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；∴a1＝3.

n＝6.Sn＝189，an＝96，例4.在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；∴a1＝8.∵a1≠0,1＋q2≠0，（）（）（）

錯位相減法步驟:乘公比，錯位寫，正位減

等差數(shù)列等比數(shù)列.例5等比數(shù)列的前項和n公式：

如果等比數(shù)列{an}的首項a1，公比為q，那么該等比數(shù)列的前n項和公式為：

等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共有“a1，q，n，an，Sn”五個量，故知三可求其二．（注意方程思想的應(yīng)用）錯位相減法步驟:

乘公比，錯位寫，正位減

等差數(shù)列等比數(shù)列