Page12021年廣東春季高考數(shù)學模擬試卷(7)注：本卷共22小題，滿分150分。一、單選題（本大題共15小題，每小題6分，滿分90分）1．已知集合，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】求出A的等價條件，結(jié)合補集的定義進行計算即可.【詳解】，則，故選：B.【點睛】本題主要考查集合的基本運算，結(jié)合補集的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．將編號為001，002，003，…，300的300個產(chǎn)品，按編號從小到大的順序均勻的分成若干組，采用每小組選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法抽取.一個樣本，若第一組抽取的編號是003，第二組抽取的編號是018，則樣本中最大的編號應(yīng)該是（）A．283 B．288 C．295 D．298【答案】B【解析】【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法，確定樣本間隔，求出樣本數(shù)，最后一個樣本的編號即為樣本中最大的編號.【詳解】根據(jù)分層抽樣的特點，由第一組抽取的編號是003，第二組抽取的編號是018，則樣本間隔為18-3=15，共抽取樣本數(shù)為，則最大的編號為，故選：B.【點睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣方法，考查了樣本間隔以及樣本數(shù)的確定，屬于簡單題.3．下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)零向量的定義，可判斷A項正確；根據(jù)共線向量和相等向量的定義，可判斷B，C，D項均錯.【詳解】模為零的向量是零向量，所以A項正確；時，只說明向的長度相等，無法確定方向，所以B，C均錯；時，只說明方向相同或相反，沒有長度關(guān)系，不能確定相等，所以D錯.故選：A.【點睛】本題考查有關(guān)向量的基本概念的辨析，屬于基礎(chǔ)題.4．已知函數(shù)是定義在的周期為2的函數(shù)，當時，，則（）A．1 B．4 C．2 D．32【答案】C【解析】【分析】根據(jù)周期性可得，再通過時，可得答案.【詳解】解：由已知可得.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)周期性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.5．下列各組角中，終邊相同的角是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】【分析】將各組角相減，看是否為的倍數(shù).【詳解】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤；故選：C.【點睛】本題考查終邊相同的角的判斷，屬于基礎(chǔ)題.6．是等差數(shù)列的前n項和，如果，那么的值是()A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q,則即可得.【詳解】故選B【點睛】本題考查等比數(shù)列前n項和的求解和性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題型，解題中要注意認真審題，注意下標的變化規(guī)律，合理地進行等價轉(zhuǎn)化.7．不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】試題分析：不等式化為，不等式的解集為考點：分式不等式解法8．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則的幾何意義是點與點之間的斜率，畫出可行域即可求出.【詳解】設(shè)，則的幾何意義是點與點之間的斜率，如圖，由題意知點，，，，，故選：A.【點睛】此題考線性規(guī)劃，主要是弄清目標函數(shù)的幾何意義，屬于簡單題.9．以下命題正確的有①；②；③；④．A．①②B．①②③C．②③④D．①②④【答案】A【解析】試題分析：①由線面垂直的判定定理可知結(jié)論正確；②由線面垂直的性質(zhì)可知結(jié)論正確；③中的關(guān)系可以線面平行或直線在平面內(nèi)；④中直線可以與平面平行，相交或直線在平面內(nèi)考點：空間線面平行垂直的判定與性質(zhì)10．已知直線，若，則的值為（）A．8 B．2 C． D．-2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩條直線垂直，列方程求解即可.【詳解】由題：直線相互垂直，所以，解得：.故選：D【點睛】此題考查根據(jù)兩條直線垂直，求參數(shù)的取值，關(guān)鍵在于熟練掌握垂直關(guān)系的表達方式，列方程求解.11．我國三國時期的數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，該圖是由四個全等的直角三角形組成，它們共同圍成了一個如圖所示的大正方形和一個小正方形．設(shè)直角三角形中一個銳角的正切值為3．在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自小正方形內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】不妨設(shè)兩直角邊為3,1，可得兩正方形的面積，利用幾何概型公式計算可得答案.【詳解】解：不妨設(shè)兩直角邊為3,1，可得大正方形的邊長為，小正方形的邊長為2，由幾何概型公式可得概率，故選B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概念和計算，設(shè)兩直角邊為3,1，得出兩正方形的邊長和面積是解題的關(guān)鍵.12．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且圖象是連續(xù)不斷的，若f(a)·f(b)＜0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上（）A．至少有一實數(shù)根 B．至多有一實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．必有唯一的實數(shù)根【答案】D【解析】【分析】由零點存在性定理可知f(x)在區(qū)間[a，b]上至少有一個零點，而函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，從而可判斷結(jié)果【詳解】解：由題意知函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)，∵f(a)·f(b)＜0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至少有一個零點，又∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至多有一個零點，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有且只有一個零點，即方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]內(nèi)必有唯一的實數(shù)根.故選：D.【點睛】此題考查零點存在性定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理化簡已知條件，求得，進而得到，由此求得正確選項.【詳解】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，由正弦定理得，由正弦定理有，故．故選B.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理進行邊角互化，考查兩角和的正弦公式以及三角形內(nèi)角和定義，屬于基礎(chǔ)題.14．已知直線與圓相交于，兩點，且為等腰直角三角形，則實數(shù)（）.A． B．1 C．或1 D．或2【答案】C【解析】【分析】由三角形為等腰直角三角形，得到圓心到直線的距離，利用點到直線的距離公式列出方程，求出方程的解即可得到的值．【詳解】為等腰直角三角形，圓心到直線的距離，即，整理得：，即，解得：或1，故選：C【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點線距公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．一個幾何體的三視圖如圖示，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】【分析】試題分析：由三視圖可知該幾何體為正方體去掉一角，其直觀圖如圖縮小，正方體的體積，去掉的三棱錐的體積，因此組合體的體積，故答案為D．考點：由三視圖求幾何體的體積．二、填空題16．已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為_________.【答案】【解析】【分析】利用可計算數(shù)列的通項公式.【詳解】，而，當時，，故.填.【點睛】數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系式，我們常利用這個關(guān)系式實現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.17．某藥廠選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組，如圖是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，則第三組中的人數(shù)為_________．【答案】【解析】【分析】由頻率以及直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有20人的頻率，即可求出總的人數(shù)，求出第三組的人數(shù).【詳解】由直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有20人，分布在區(qū)間第一組與第二組的頻率分別為0.24，0.16，設(shè)總的人數(shù)為n,則所以第3小組的人數(shù)為人.故答案為18【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖中頻數(shù)、頻率等的計算，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平.18．已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為____________.【答案】4【解析】【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解．【詳解】解：，為正實數(shù)，且，，當且僅當時取等號，解可得，即最小值4．故答案為：4【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題．19．已知函數(shù)對任意不相等的實數(shù)，，都有，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到在上為減函數(shù)，從而得到，再解不等式組即可.【詳解】由題知：對任意不相等的實數(shù)，，都有，所以在上為減函數(shù)，故，解得：.故答案為：【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡單題.三、解答題20．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等比中項的定義求得或，代入檢驗，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求出答案；（2）由（1）得，再根據(jù)裂項相消法即可求出答案．【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，則，，，又，，成等比數(shù)列，∴，即，解得或，又時，，與，，成等比數(shù)列矛盾，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和，考查等比中項的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．21．如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點.（1）求證：；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理，可得，結(jié)合，根據(jù)線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理，可得結(jié)果.（2）計算，，然后根據(jù)三棱錐的體積公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，∵平面，∴，∵在中，，，，∴，∴，∴，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴.（2）∵是中點，∴，∵平面，，∴.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理，還考查了錐體的體積公式，難點在于根據(jù)線段長度關(guān)系利用勾股定理得出垂直，重點在于對定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.22．如圖所示，在某海濱城市A附近的海面出現(xiàn)臺風活動.據(jù)監(jiān)測，目前臺風中心位于城市A的東偏南60°方向、距城市A300km的海面點P處，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移動.如果臺風影響的范圍是以臺風中心為圓心的圓形區(qū)域，半徑為km，將問題涉及范圍內(nèi)的地球表面看成平面，判斷城市A是否會受到上述臺風的影響.如果會，求出受影響的時間；如果不會，說明理由.【答案】城市A在h后會受到影