姓名年級性別學校學科教師上課日期上課時間課題11.2雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì)標準方程x2y2 Y一一丁=1a2b2(a>0,b>0)y2-X2=1a2b2(a>0,b>0)圖形性質(zhì)范圍——對稱性-對稱軸： ,對稱中心： -頂點-(―a,0),(a,0)(0,-a),(0,a)-軸長-實軸長= ,虛軸長= -離心率-—漸近線y=JbXaa—c一【答案】l≥或XW一ay≤-a或y≥a坐標軸原點2a2b右底且e>11.若雙曲線Xj2-m=1(mm>0)的漸近線方程為y=±2x，則雙曲線的焦點坐標是 .【解析】 由雙曲線方程得出其漸近線方程為y=±竿X,???m=3,求得雙曲線方程為x2-y2=1,從而得到焦點坐標為(一近，0),(近，0).【答案】Lm0)，(近，0)X22.設中心在原點的雙曲線與橢圓?l+y2=1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程2 是 .【解析】 橢圓的焦點為(±1,0),??.雙曲線的焦點為(±1,0),橢圓的離心率e=?-,???雙曲線的離心率e'=M'5,又C2—a2=b2,.?1=2a2,a2=b2=2,所求雙曲線方程為2X2—2y2=1.【答案】2X2-2y2=1根據(jù)雙曲線方程研究幾何性質(zhì)例求雙曲線nx2-my2=mn(m>0,n>0)的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程.【精彩點撥】 化為標準方程形式一求出a,b,c一得雙曲線的幾何性質(zhì)x2y2【自主解答】 把方程nx2—my2=mn(m>0,n>0),化為標準方程一一=1(m>0,n>0)," ` '' mn由此可知，實半軸長a='、；m，虛半軸長b=?''n,c=、Jm+n,焦點坐標為(\：w+n,0),(一\Jm+n,0),離心率e=^==?∕1+'.頂點坐標為(一Ym,0),(而,0)..?.漸近線的方程為y=±?X=±2Lmnx.由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟.把雙曲線方程化為標準形式是解決本題的關鍵..由標準方程確定焦點位置，確定a,b的值..由C2=a2+b2求出C值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).［再練一題］1.將本“例1”雙曲線方程改為“16x2—9y2=—144"，試求實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程.【解】 方程變形為琮一^9^=1,，a=4,b=3,c=5,，實半軸長為4,虛半軸長為3,焦點為(0,5),(0,—5),漸近線方程為y=±3X，頂點為(0,4),(0,-4),離心率5e=4求雙曲線的標準方程2》例求滿足下列條件的雙曲線的標準方程:13⑴一個焦點為(0,13),且離心率為彳3；(2)漸近線方程為y=±1x，且經(jīng)過點4(2,—3).【精彩點撥】|分析雙曲線的幾何性質(zhì)I一求a,b,C→確定(討論)焦點位置一求雙曲線的標準方程【自主解答】(1)由題意知雙曲線的焦點在y軸上，且C=13,因為C=13所以a=5,b=,,--.Cc2—a2=12. 故所求雙曲線的標準方程為y2——27=1.a5 25 144(2)法一因為雙曲線的漸近線方程為y=±2x, 若焦點在x軸上，設所求雙曲線的標準方程為x2y2 .b1 4 9 …~—b2=1(a>0,b>0),則4=2.① 因為點4(2,-3)在雙曲線上，所以—一b=1.②聯(lián)立①②，無解.若焦點在y軸上，設所求雙曲線的標準方程為y;—b=1(a>0,b>0),則a=2.③a^2 2 U乙94因為點4(2,—3)在雙曲線上， 所以一一7=1.④聯(lián)立③④，解得a2=8,b2=32.a2b2故所求雙曲線的標準方程為y82—32=1.法二由雙曲線的漸近線方程為y=±2x,可設雙曲線的方程為蕓—y2=λ(λ≠0).22 一一一因為點4(2,—3)在雙曲線上， 所以^-一(—3)2=λ,即λ=—8.22故所求雙曲線的標準方程為y2—x2=1.8 32L求雙曲線標準方程的兩個關注點(1)定位：是指確定與坐標系的相對位置，在標準方程的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以確定方程的形式.(2)定量：是指確定a2,b2的數(shù)值，常由條件列方程求解.2.若焦點的位置不明確，應注意分類討論，也可以設雙曲線方程為“mx2+在2=1”的形式，為簡單起見，常標明條件“mn<0”.［再練一題］2.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為網(wǎng)3,0),離心率等于3則雙曲線C的方程是()X2y2 X2y2 -X2y2 X2y2AN-小=1 B.1-5=1 C萬-5=1 D.?-小=1【解析】右焦點為b(3,0)說明兩層含義：雙曲線的焦點在X軸上；C=3.又離心率為c=3,故a=2,b2=C2a2—a2=32—22=5,故雙曲線C的方程為X2—y2=1,選B.【答案】 B雙曲線的離心率探究橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度，在雙曲線中，雙曲線的“張口”大小是圖象的一個重要特征，怎樣描述雙曲線的“張口”大小呢？【提示】如右圖，作直線X±y=1,在雙曲線x2—y2=1的各支向外延伸時，與兩直線無限接近，把這兩條ab a2b2直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線的“張口”大小取決于a的值，設e=C，則a=■■■-，e2—1.b?當e的值逐漸增大時，a的值增大，雙曲線的“張口”逐漸增大.例 雙曲線x2—y=1(a>1,b>0)的焦距為2C,直線l過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線l的距離與點(一a2b241,0)到直線l的距離之和S≥5和求雙曲線的離心率e的取值范圍.【精彩點撥】寫出直線l的方程→寫出點(1,0)到直線l的距離→寫出點(一1,0)到直線l的距離I→依題意列出不等式→求出e的范圍【自主解答】 直線l的方程為X+y=1,即bX+ay—ab=0.點(1,0)到直線l的距離d=Ia"，點(一1,0)ab 1Va2+b2 'b(a+1)到直線l的距離d2=1 ,Fa2+b2,1, 2ab 2ab ,.4 ,目2ab.4S=d1+d2=a+==T,由S≥5c,得V≥5J即50?l'c2—a2≥2C2,于是得5?：e2—1≥2e2,即4e4—25e2+25≤0，得4≤e2≤5.由于e>1,所以e的取值范圍是號≤e≤55.雙曲線離心率及其范圍的求法.雙曲線離心率的求解，一般可采用定義法、直接法等..雙曲線離心率范圍的求解，涉及解析幾何中“范圍”問題的解法.在解析幾何中，求“范圍”問題，一般可從以下幾個方面考慮：①與已知范圍聯(lián)系，通過求值域或解不等式來完成；②通過判別式/>0；③利用點在曲線內(nèi)部形成的不等式關系；④利用解析式的結構特點，如a，近IaI等非負性.［再練一題］.設F1,F2分別為雙曲線02—b=1(a>0,b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得(IPFJ—IPF21)2=b2-3ab，則該雙曲線的離心率為( ) A√2 B.√T5 C.4D.√1?【解析】 根據(jù)雙曲線的定義，得IIPF1I—IPF2∣I=2a.又(IPF1|—IPF2I)2=b2—3ab，所以4a2=b2—3ab，即(a+b)(4a—b)=0,又a+b￡0,所以b=44,所以e=C='\11+(^)2=，1+42=、./17.【答案】 D.已知雙曲線a—y2=1(a>0)的離心率為2,則a=( )A.2B.乎 C.45 D.1【解析】 由題意得e=' 3=2,.?.?I1a2+3=2a,Λa2+3=4a2,Λa2=1,Λa=1.【答案】D.若一雙曲線與橢圓4X2+y2=64有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程為()A.y2—3x2=36 B.X2—3y2=36 C.3y2—X2=36 D.3X2—y2=36【解析】 橢圓4X2+y2=64,即X2+64=1,焦點為(0,±4√3)，離心率為宗則雙曲線的焦點在y軸上，c=4?∣'3,e=/，從而a=6,b2=12,故所求雙曲線的方程為y2—3X2=36.【答案】 A.已知雙曲線C1：a—b=1(a>0,b>0)與雙曲線C2:X2—y!=1有相同的漸近線，且C1的右焦點為F(√5,0),貝°a=,b=.Jb=4, P【解析】 由題意得< a2 解得a2=1, b2=4.又a>0, b>0,故a=1, b=2.【答案】12、a2+b2=5,.已知雙曲線X2—12—η=1(0<n<12)的離心率為√3,則n=.【解析】?.?0Vn<12,.*.a2=n,b2=12—n,?C2=a2+b2=12,Δe=-=-=j3,?n=4.aMnπ.求中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，經(jīng)過點(3,-2),且一條漸近線的傾斜角為6的雙曲線的方程.【解】漸近線方程為y=±33x，設雙曲線方程為X2—3y2=%將(3,—2)代入求得見=—3,所以雙曲線方X2程為y2—-=1.一、選擇題1.等軸雙曲線的一個焦點是F1(-6,0),則它的標準方程是()里—X2A.1818-1x2y2 x2y2B-18-18=1 C,^8—8=1D.”_X288.1【解析】 設等軸雙曲線方程為x2—y2=1(a>0),Λa2+a2=62,Λa2=18，故雙曲線方程為x2—y2=1.a2a2 18182.已知雙曲線方程為X2-y2=1,過P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則共有1( )A.4條B.3條 C.2條D.1條【解析】因為雙曲線方程為x2—y2=1,所以P(1,0)是雙曲線的右頂點，所以過?(1,0)并且和x軸垂直的直線是雙曲線的一條切線，與雙曲線只有一個公共點，另外還有兩條就是過點P(1,0)分別和兩條漸近線平行的直線，所以符合要求的共有3條，故選B.3.雙曲線Cx2-y2=1(a>0,b>0)的離心率為2,焦點到漸近線的距離為%區(qū)則雙曲線C的焦距等于()a2b2A.2B.2√2 C.4D.4√2【解析】 由已知得e=C=2,所以a=2c,故b=■■■,；,c2—a2="c,從而雙曲線的漸近線方程為y=±”=±?,3a 2， ， 2 .a，L.一 ,X，由焦點到漸近線的距離為4，3,得3-C=?J3,解得C=2,故2C=4,故選C.【答案】 C.若實數(shù)k滿足o<k<5,則曲線X6-5-k=1與曲線16]-y2=1的()A.實半軸長相等B.虛半軸長相等。離心率相等 D.焦距相等X2 y2【解析】 右0<k<5,則5—k>0,16—k>0,故方程16—5—?=1表示焦點在X軸上的雙曲線，且實半軸的長為4,虛半軸的長為?√r5^耳，焦距2C=2??，,21—k，離心率e=V；同理方程16—k—y2=1也表示焦點在X軸上的雙曲線，實半軸的長為\；16—k,虛半軸的長為飛,5焦距2C=2\；’21—k,離心率e='2”可知兩曲線的焦16—k距相等，故選D.【答案】D.雙曲線兩條漸近線互相垂直，那么它的離心率為()A.2B.?'3 CQ D.2【解析】 雙曲線為等軸雙曲線，兩條漸近線方程為y=±x，即b=1,e=C=\：2 【答案】 Ca a二、填空題.在平面直角坐標系Xoy中，若雙曲線X2-m2?4=1的離心率為√5則m的值為.【解析】 ;c2=m+m2÷4,Λe2=—= =5,.?m2—4m+4=0,.?m=2.【答案】2a2 m.已知方為雙曲線C： =1的左焦點，P,Q為C上的點.若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為.【解析】由雙曲線方程知，b=4,a=3,C=5,則虛軸長為8,則HPQI=16.由左焦點F(—5,0),且A(5,0)恰為右焦點，知線段PQ過雙曲線的右焦點，則P,Q都在雙曲線的右支上.由雙曲線的定義可知1PFI—IPAI=2a,IQFI—IQAI=2a,兩式相加得，IPFI+1QF|—(IPAI+IQAI)=4a,貝∣JIPFI+IQFI=4a+IPQI=4×3+16=28，故△PQF的周長為28+16=44. 【答案】44三、解答題.雙曲線與橢圓汽+64=1有相同的焦點，它的一條漸近線為y=x，求雙曲線的標準方程和離心率.【解】 由橢圓16+64=1,知C2=64—16=48,且焦點在y軸上，;雙曲線的一條漸近線為y=x,；.設雙曲線方程為a2—a=1.又C2=2a2=48,.?.a2=24.；.所求雙曲線的方程為24—24=1.由a2=24,C2=48,得e2=?=2,又e>0,?'?e=J2..已知雙曲線X2—