圓錐擺裝置的設(shè)計(jì)

用不可延伸的輕繩連接體積小的球，懸掛后獲得球的速度，在水平面上均勻地旋轉(zhuǎn)，形成一個(gè)均勻、圓的運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)中，重力和繩子的力為球的運(yùn)動(dòng)提供了向心力。這種設(shè)備被稱為圓錐體。1線速度的測(cè)定探究程序:(1)做成圓錐擺裝置,調(diào)節(jié)高低,使擺球處于畫有同心圓的水平放置的白紙上某一圓周上時(shí),剛好對(duì)紙面無壓力,如圖1所示;用手帶動(dòng)鋼球沿某一圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng),用秒表記錄運(yùn)動(dòng)若干圈N的時(shí)間t,求出運(yùn)動(dòng)周期,測(cè)出對(duì)應(yīng)軌跡圓的半徑r,計(jì)算線速度;用天平稱出鋼球質(zhì)量m,由計(jì)算向心力.(2)由鋼球運(yùn)動(dòng)過程的受力情況畫出受力圖,如圖2所示.由受力圖可得鋼球的合力F=mgtanθ,由軌跡圓半徑r和軌跡圓圓心到圓錐擺懸點(diǎn)間的高度h,求得tanθ,求得(3)比較,若在實(shí)驗(yàn)誤差允許的范圍內(nèi)兩式相等,就能證明的關(guān)系成立,進(jìn)而證明F=mrω2關(guān)系成立,由此可總結(jié)得到?jīng)Q定向心力的因素——質(zhì)量、半徑、速度.2確定座椅向中心軸的角度例1.(2008年廣東高考題)有一種轉(zhuǎn)“飛椅”的游樂項(xiàng)目,示意圖如圖3所示,長為L的鋼繩一端系著座椅,另一端固定在半徑為r的水平轉(zhuǎn)盤邊緣.轉(zhuǎn)盤可繞穿過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),鋼繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi),與豎直方向的夾角為θ.不計(jì)鋼繩的重力,求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω與夾角θ的關(guān)系.解析:設(shè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω時(shí),輕繩與豎直方向的夾角為θ,則座椅到中心軸的距離R=r+Lsinθ,此即座椅做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的半徑;由圓錐擺受力特點(diǎn),座椅運(yùn)動(dòng)的向心力F心=mgtanθ,故有mgtanθ=mRω2,綜合解得例2.鐵路轉(zhuǎn)彎處,為了減小甚至消除鐵軌與車輪輪緣間的側(cè)向擠壓,增加鐵軌與車輪的使用壽命,也為了行車安全,技術(shù)上是將外軌高于內(nèi)軌,讓火車轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心力來源盡可能等于重力與支持力的合力.鐵路某彎道處的圓弧半徑是R,內(nèi)外軌的高度差為h,若火車兩輪間軌距是L,且L遠(yuǎn)大于h,火車通過這里的速度應(yīng)該多大才能使內(nèi)、外軌不受輪緣的擠壓?當(dāng)內(nèi)外軌的高度差一定時(shí),如果火車的速度大于或小于上述值,會(huì)分別發(fā)生什么現(xiàn)象?解析:火車在鐵路彎道處運(yùn)行時(shí),若車輪與內(nèi)、外軌間剛好無側(cè)向擠壓,其受力情況類似于圓錐擺的受力情況,如圖4所示.設(shè)彎道傾角為α,由圖可知,在L遠(yuǎn)大于h的情況下,有當(dāng)時(shí),F合<F向,不足部分由外軌提供,此時(shí)外軌易損壞.當(dāng)時(shí),F合>F向,多余部分由內(nèi)軌平衡,此時(shí)內(nèi)軌易損壞.總結(jié):圓錐擺模型的特點(diǎn)是物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由重力和彈力(拉力、支持力等)的合力提供向心力.只要畫出受力圖,結(jié)合圖中的幾何關(guān)系,建立牛頓運(yùn)動(dòng)方程,就能順利解決問題.3基于均勻干工作模型的圓周運(yùn)動(dòng)例3.一帶電荷量為+Q的正點(diǎn)電荷固定在真空中,在空間形成一電場(chǎng),在其周圍有一質(zhì)量為m的帶電微粒,在此點(diǎn)電荷附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng),周期為T,運(yùn)動(dòng)中微粒與點(diǎn)電荷Q間的距離始終為R,重力加速度為g,靜電力常量為k.微粒的重力不能忽略.求:(1)帶電微粒的電性和電荷量;(2)微粒運(yùn)動(dòng)軌跡所在平面與點(diǎn)電荷Q間的距離.解析:根據(jù)題意,微粒在點(diǎn)電荷+Q周圍只有受庫侖引力時(shí),才能與重力共同作用,形成類圓錐擺模型,以提供微粒在點(diǎn)電荷周圍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,如圖5所示.(2)由受力情況,微粒運(yùn)動(dòng)軌跡一定在水平面內(nèi),且在點(diǎn)電荷+Q的下方,設(shè)軌道平面距+Q為h,由圓周運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)有例4.(2008年四川高考題)如圖6所示,一半徑為R的光滑絕緣半球面開口向下,固定在水平面上.整個(gè)空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度方向豎直向下.一電荷量為q(q>0)、質(zhì)量為m的小球P在球面上做水平的勻速圓周運(yùn)動(dòng),圓心為O′.球心O到該圓周上任一點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角為.為了使小球能夠在該圓周上運(yùn)動(dòng),求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值及小球P相應(yīng)的速率.(重力加速度為g).解析:據(jù)題意,小球P在球面上做水平的勻速圓周運(yùn)動(dòng),該圓周的圓心為O′.P受到向下的重力mg、球面對(duì)它沿OP方向的支持力N和磁場(chǎng)的洛侖茲力f=qvB,方向指向O′,式中v為小球運(yùn)動(dòng)的速率,如圖7所示.點(diǎn)評(píng):本題中帶電小球雖受3個(gè)力,若將支持力與洛倫茲力的合力當(dāng)作圓錐擺中繩的拉力,本題模型就等效為一個(gè)圓錐擺模型了.(1)由受力情況可知,微粒必須帶負(fù)電,設(shè)所帶電荷量為q,微粒運(yùn)動(dòng)半徑為r,由庫侖定律及圓周運(yùn)動(dòng)向心力特征有根據(jù)牛頓第二定律,