淺析高大建筑物表面的電磁

導(dǎo)電表面的負(fù)荷分布與周圍環(huán)境密切相關(guān)。在自然環(huán)境中，大型建筑物表面的負(fù)荷集中在一定程度，并且受到云層電氣的影響。電子儀器表面的負(fù)荷在一定程度上集合，這可能會(huì)損壞機(jī)器本身。因此，關(guān)于電子顯微鏡的表面分布有一定的意義。從電磁學(xué)的知識(shí)來(lái)看，在電磁學(xué)上，具有獨(dú)立的帶電導(dǎo)率的地方電密度大，局電率低的地方電密度小。這容易給人一種錯(cuò)覺(jué)：相同曲率的地方電密度相同。本文通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例，計(jì)算了導(dǎo)面的電密度分布。結(jié)果表明，即使是同一條獨(dú)立的導(dǎo)線，在同一條導(dǎo)線表面的同一個(gè)區(qū)域，電密度也不同。1導(dǎo)電表面電勢(shì)設(shè)一個(gè)無(wú)限大導(dǎo)體平面上方與平面距離為a的地方有一帶電荷量為Q的點(diǎn)電荷,試求達(dá)到靜電平衡后平面上各點(diǎn)的電荷密度.為此,建立如圖1所示柱坐標(biāo)系(z軸垂直于導(dǎo)體平面且通過(guò)點(diǎn)電荷所在的點(diǎn),xOy平面與導(dǎo)體平面重合).此問(wèn)題對(duì)z軸具有軸對(duì)稱性,即對(duì)于距z軸相同距離ρ的各點(diǎn)情況是一樣的,與φ無(wú)關(guān).我們先求出電勢(shì)在空間的分布u(ρ,z),通過(guò)E=-Δu求出電場(chǎng)強(qiáng)度在空間的分布,進(jìn)而求出平面上的電荷分布σ.由于有無(wú)限大的導(dǎo)體平面存在,空間的電勢(shì)應(yīng)該由點(diǎn)電荷Q和平面上的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生,根據(jù)電像法,感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)與在z=-a處的像電荷-Q產(chǎn)生的電勢(shì)是一樣的,故在空間P(ρ,φ,z)處的電勢(shì)為u(ρ?z)=Q4πε0√ρ2+(z-a)2-Q4πε0√ρ2+(z+a)2電場(chǎng)強(qiáng)度為E=-?u?ρeρ-?u?zez=-Q4πε0[-ρ(ρ2+(z-a)2)3/2+ρ(ρ2+(z+a)2)3/2]eρ-Q4πε0[-(z-a)(ρ2+(z-a)2)3/2+z+a(ρ2+(z+a)2)3/2]ez式中eρ、ez分別為ρ方向和z方向的單位矢量.在導(dǎo)體表面上場(chǎng)強(qiáng)為E|z=0=-Q4πε0[a(ρ2+a2)3/2+a(ρ2+a2)3/2]ez=-Q2πε0a(ρ2+a2)3/2ez上式的結(jié)果與電磁學(xué)中在導(dǎo)體表面處的場(chǎng)強(qiáng)與導(dǎo)體表面垂直是一致的.根據(jù)電磁學(xué)中面電荷密度與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系,容易給出導(dǎo)體表面的電荷密度為σ=ε0E=-Q2πa(ρ2+a2)3/2由此式可知,不同ρ處的電荷面密度σ是不同的,即在導(dǎo)體平面上雖曲率處處相同但電荷密度是不一樣的.2中半平面電勢(shì)設(shè)有一個(gè)很大的楔形金屬導(dǎo)體,頂角為π3,充電到電勢(shì)為V0.可以求出此時(shí)空間各點(diǎn)的電勢(shì)分布,進(jìn)而求出該導(dǎo)體表面的電荷面密度.由于楔形導(dǎo)體在寬度上很大,在垂直于寬度的任一截面上情況是一樣的,因此可以作為二維問(wèn)題處理,只研究一個(gè)截面的情況就可以了.建如圖2所示坐標(biāo)系,稱為z平面.在我們所研究的空間無(wú)電荷,電勢(shì)u滿足拉普拉斯方程.令ζ=z3/5,在ζ平面(如圖3)看楔形金屬為下半平面.在ζ平面電勢(shì)同樣滿足拉普拉斯方程?2u?ξ2+?2u?η2=0.由于邊界條件與ξ無(wú)關(guān),u也應(yīng)與ξ無(wú)關(guān),故方程變?yōu)閐2udη2=0,從而可以解出u=cη+d由于當(dāng)η=0時(shí),u=V0,所以u(píng)=cη+V0變回到z平面,則有u=cη+V0=Im(cz3/5)+V0=cImρ3/5ei35φ+V0其中z=ρeiφ.由上式,在上表面φ=0時(shí),u=V0;在下表面φ=5π3時(shí),u=V0.均與題設(shè)導(dǎo)體表面電勢(shì)為V0相符.下面由E=-Δu求出場(chǎng)強(qiáng).E=-Δu=-?u?ρeρ-1ρ?u?φeφ=-3c5ρ-2/5?sin(35φ)eρ-cρρ3/535cos(35φ)eφ=-3c5ρ-2/5[sin(35φ)eρ+cos(35φ)eφ]式中eρ、eφ為別為ρ及φ方向的單位矢量.在上表面φ=0時(shí),有E=-3c5ρ-2/5eφ在下表面φ=5π3時(shí),有E=3c5ρ-2/5eφ由以上結(jié)果知,場(chǎng)強(qiáng)的方向沿eφ即垂直于導(dǎo)體表面,若c<0(V0>0時(shí)導(dǎo)體帶正電,c一定小于零)場(chǎng)強(qiáng)方向沿金屬指向外,這與電磁學(xué)中預(yù)期的結(jié)果是一致的.由電荷密度與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系容易給出導(dǎo)體表面的電荷密度為σ=ε0En=-3c5ρ-2/5ε0由此式知在導(dǎo)體表面不同的地方,雖曲率一樣但電荷密度是不同的,電荷大部分只集聚于楔形導(dǎo)體的尖端,與尖端放電現(xiàn)象相符.3e+cuz及最大負(fù)荷密度一無(wú)限大導(dǎo)體平面上有一半徑為1的半圓柱凸起,柱軸與圖示平面正交,將其充電到電勢(shì)V0,可求出此時(shí)空間各點(diǎn)的電勢(shì)分布及導(dǎo)體表面的電荷面密度.由于垂直于半圓柱的各個(gè)面上情況相同,本問(wèn)題亦為二維問(wèn)題,我們只需研究一個(gè)平面即可,把這個(gè)面叫做z平面.建如圖4所示坐標(biāo)系,z平面上有一半徑為1的半圓形凸起,經(jīng)過(guò)儒可夫斯基變換ζ=12(z+1z),凸起變?yōu)閷?shí)軸上的一條直線,如圖5所示.在ζ平面看無(wú)電荷區(qū)域電勢(shì)u(ξ,η)滿足拉普拉斯方程?2u?ξ2+?2u?η2=0.由于邊界上u=V0,電勢(shì)與ξ無(wú)關(guān),由二維狄利克雷外問(wèn)題解的唯一性,可設(shè)u與ξ無(wú)關(guān),故d2udη2=0,從而可以解出u=cη+d.因當(dāng)η=0時(shí),u=V0,所以u(píng)=cη+V0=cImζ+V0.變回到z平面,有u=cIm12(z+1z)+V0=c2(ρ-1ρ)sinφ+V0.在圓上ρ=1,u=V0;在實(shí)軸上φ=0或π,u=V0.均與題設(shè)相符.下面由E=-Δu求出場(chǎng)強(qiáng)E及電荷密度σ.E=-Δu=-??ρ[c2(ρ-1ρ)sinφ+V0]eρ-1ρ??φ[c2(ρ-1ρ)sinφ+V0]eφ=-12c(1+1ρ2)(sinφ)eρ-12c(1-1ρ2)(cosφ)eφ在導(dǎo)體上E={-c(sinφ)eρ(在半圓上ρ=1)-12c(1-1ρ2)(cosφ)eφ(在ρ＞1?φ=0或π)電荷的分布σ=ε0E,故在導(dǎo)體上σ={-ε0csinφ(在半圓周ρ=1上)-12ε0c(1-1ρ2)(在平面ρ＞1上)同樣可以看出,在半圓柱上各點(diǎn)電荷密度是不一樣的,在平面上各點(diǎn)電荷密度也是不一樣的.由以上3例可以得出:在靜電平衡條件下,無(wú)論是孤立導(dǎo)體還是非孤立導(dǎo)體,在導(dǎo)體表面曲率相同的區(qū)域電荷面密