第二章線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析電氣工程、自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)系列教材現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)01引言PARTONE在第1章中我們學(xué)習(xí)了控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，接下來(lái)開(kāi)始討論利用狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行系統(tǒng)分析的方法。本章將首先介紹線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)空間表達(dá)式的求解，并進(jìn)一步討論狀態(tài)空間表達(dá)式解對(duì)應(yīng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義與性質(zhì)；然后針對(duì)非齊次、時(shí)變、離散狀態(tài)等更為復(fù)雜情況中的狀態(tài)空間表達(dá)式求解方法進(jìn)行討論；最后介紹利用MATLAB進(jìn)行線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析的方法。連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的數(shù)學(xué)本質(zhì)是系統(tǒng)狀態(tài)關(guān)于時(shí)間的微分方程組，其求解過(guò)程本質(zhì)上是對(duì)一類(lèi)微分方程組的求解。對(duì)狀態(tài)空間表達(dá)式求解的學(xué)習(xí)與討論有助于加深對(duì)狀態(tài)空間表達(dá)式含義的理解。01引言02線性定常齊次狀態(tài)空間表達(dá)式的解PARTTWO其中，A為常數(shù)矩陣。為求解上述微分方程組，考慮一個(gè)一維的狀態(tài)空間表達(dá)式：對(duì)式(2.3)求導(dǎo)，可得線性定常齊次狀態(tài)空間表達(dá)式是狀態(tài)空間表達(dá)式最基本的一種類(lèi)型，可以寫(xiě)成如下矩陣方程其中，a為常數(shù)標(biāo)量。很容易求得上述一階微分方程的通解為02線性定常齊次狀態(tài)空間表達(dá)式的解矩陣方程(2.1)也存在關(guān)于At的類(lèi)似形式矩陣函數(shù)eAt,滿(mǎn)足如果將系統(tǒng)的初始狀態(tài)標(biāo)記為x0,即x(0)=x0,那么上式可以寫(xiě)為則式(2.1)的解為02線性定常齊次狀態(tài)空間表達(dá)式的解與標(biāo)量函數(shù)eat的定義類(lèi)似，矩陣函數(shù)eAt的定義為02線性定常齊次狀態(tài)空間表達(dá)式的解如果給定初始狀態(tài)不是t=0,而是t=t0,即x(t0)=x0,那么可以類(lèi)似解得02線性定常齊次狀態(tài)空間表達(dá)式的解至此就完成了對(duì)線性定常齊次狀態(tài)空間表達(dá)式的求解。式(2.10)描述的是系統(tǒng)在零輸入條件下，由初始狀態(tài)x,開(kāi)始狀態(tài)變化過(guò)程，因此又稱(chēng)為狀態(tài)空間表達(dá)式的自由解。03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣PARTTHREE由2.2節(jié)得到了狀態(tài)空間表達(dá)式(2.1)的自由解03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義1綜上所述，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以將t時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量x(t)描述為由初始t0時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量x0經(jīng)過(guò)與時(shí)間間隔相關(guān)的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣φ(t-t0)轉(zhuǎn)移得到。這種描述方式可以將系統(tǒng)本身特性與系統(tǒng)初始狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)向量的影響分開(kāi)表示，這是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的一大優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的其他性質(zhì)也為系統(tǒng)的分析和計(jì)算提供了便利，下一節(jié)將對(duì)這些性質(zhì)做統(tǒng)一介紹03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣01性質(zhì)2.1：φ(t-t)=I。證明：將t=0代入eAt的展開(kāi)式(2.8),即可得到φ(t-t)=I。02性質(zhì)2.2：φ(t?)φ(t?)=φ(t?+t?)。這一性質(zhì)也被稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的“組合性質(zhì)”。這表明系統(tǒng)狀態(tài)由一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到0時(shí)刻(即φ(一(-t?))=φ(t?)),再由0時(shí)刻轉(zhuǎn)移到t?時(shí)刻這一過(guò)程與狀態(tài)從一t?時(shí)刻直接轉(zhuǎn)移到t?時(shí)刻在結(jié)果上是等價(jià)的。03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì)203線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)2.3:φ(t)-1=φ(一t)證明：因?yàn)棣?t-t)=I,且φ(t—t)=φ(t)φ(一t)，所以φ(t)φ(一t)=I。由此可以得到更(t)可逆，且更(t)-1=φ(一t)。03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1.特殊矩陣的矩陣指數(shù)在介紹如何求解任意矩陣At的矩陣指數(shù)之前，首先介紹幾種特殊矩陣的矩陣指數(shù)。(1)對(duì)角矩陣的矩陣指數(shù)一般情況下，矩陣At={aijt}的矩陣指數(shù)并不滿(mǎn)足eAt={eaijt}(如例2.1中的φ3(t)并非系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣),所以本節(jié)將討論如何求解eAt。03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法3證明：由A的形式可知03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(2)約當(dāng)(Jordan)矩陣的矩陣指數(shù)若矩陣A滿(mǎn)足如下形式則稱(chēng)A為約當(dāng)矩陣，一般記為A=J,其對(duì)應(yīng)的矩陣指數(shù)為03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣請(qǐng)讀者自行完成式(2.25)的證明(提示：先求約當(dāng)矩陣J的n階導(dǎo)數(shù)，再代入式(2.8)進(jìn)行化簡(jiǎn))。(3)可通過(guò)非奇異變換轉(zhuǎn)化03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.幾種求解矩陣指數(shù)的方法前面介紹了幾種特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)計(jì)算方法，下面介紹一些更為普遍的矩陣指數(shù)計(jì)算方法。(1)公式法根據(jù)式(2.8)矩陣指數(shù)的定義直接計(jì)算此方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、直觀，適于借助計(jì)算機(jī)求解。但是由于式(2.33)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，只能得到一定精度的近似結(jié)果，難以得到解析解。03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣【例2.3】使用拉普拉斯反變換法求解例2.2。03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣0103線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣0103線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣03線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣04線性定常非齊次狀態(tài)方程的解PARTFOUR0104線性定常非齊次狀態(tài)方程的解0104線性定常非齊次狀態(tài)方程的解04線性定常非齊次狀態(tài)方程的解05線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解PARTFIVE05線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解時(shí)變特性在實(shí)際系統(tǒng)中普遍存在，系統(tǒng)自身參數(shù)、參考目標(biāo)等都可能隨時(shí)間的變化而變化，如汽車(chē)跟蹤一個(gè)時(shí)變軌跡時(shí)，位置誤差系統(tǒng)就是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)。定常系統(tǒng)在一定程度上是時(shí)變系統(tǒng)的簡(jiǎn)化和特例。本節(jié)將在前述線性定常系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行分析和討論。針對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解105線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解05線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解05線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)205線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解進(jìn)一步對(duì)帶有輸入的線性時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行分析，即線性時(shí)變非齊次狀態(tài)方程的求解問(wèn)題。線性時(shí)變非齊次狀態(tài)方程可以寫(xiě)成線性時(shí)變非齊次狀態(tài)方程的解305線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解05線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解06連續(xù)狀態(tài)方程的離散化PARTSIX06線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解隨著數(shù)字控制與計(jì)算機(jī)控制的日益發(fā)展，對(duì)離散系統(tǒng)的研究和分析逐漸成為現(xiàn)在科學(xué)技術(shù)發(fā)展的一個(gè)重要方向。在本章的前述內(nèi)容中，我們主要針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行了分析和討論，本節(jié)開(kāi)始討論離散狀態(tài)方程的相關(guān)內(nèi)容，首先學(xué)習(xí)如何把一個(gè)連續(xù)的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為離散狀態(tài)方程，即連續(xù)狀態(tài)方程的離散化。線性定常連續(xù)狀態(tài)方程的離散化106線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解06線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解06線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解06線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解06線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解06線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解最終得到離散化結(jié)果為06線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解相較于典型的定常系統(tǒng)，時(shí)變系統(tǒng)的離散化更為復(fù)雜，通常假設(shè)在一個(gè)采樣周期T內(nèi)A(t)、B(t)、C(t)和D(t)可以看作定值。對(duì)于連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)若其狀態(tài)方程解為線性時(shí)變連續(xù)狀態(tài)方程的離散化206線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解則那么，式(2.99)離散化的狀態(tài)方程為其中與線性定常系統(tǒng)的離散化結(jié)果相似，C(kT)和D(kT)可以直接將kT=t代入C(t)和D(t)得到。06線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解回顧導(dǎo)數(shù)的定義此時(shí)再將t=kT代入式(2.104),可以得到將△t換成采樣周期T,當(dāng)T足夠小時(shí)，有連續(xù)狀態(tài)方程離散化的近似解306線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解上述結(jié)論對(duì)于矩陣方程同樣成立，則由x(t)=Ax(t)+Bu(t)可得所以，當(dāng)離散系統(tǒng)的采樣周期T足夠小時(shí)，可以近似地得到離散化結(jié)果對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)，也可以得到類(lèi)似結(jié)論07離散狀態(tài)方程的解PARTSEVEV07離散狀態(tài)方程的解對(duì)式(2.109)進(jìn)行迭代得遞推法求解線性離散狀態(tài)方程107離散狀態(tài)方程的解由此可以推導(dǎo)出式(2.111)就是離散狀態(tài)方程(2.109)的解。采用迭代法也可以求得離散時(shí)變狀態(tài)方程的解，方法與上述過(guò)程相似。但是由于G(kT)和H(kT)的時(shí)變特點(diǎn)，最終結(jié)果將更為復(fù)雜。07離散狀態(tài)方程的解07離散狀態(tài)方程的解07離散狀態(tài)方程的解則有為簡(jiǎn)化分析，不妨設(shè)ko=0,首先對(duì)式(2.109)進(jìn)行Z變換，可得對(duì)式(2.117)兩邊同時(shí)進(jìn)行Z反變換，得變換法求解線性定常離散狀態(tài)方程207離散狀態(tài)方程的解需要注意的是，與遞推法不同，Z變換法只適用于線性定常系統(tǒng)。盡管有此不同，對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)兩種方法得到的解是等價(jià)的。對(duì)比式(2.111)與式(2.118)可以發(fā)現(xiàn)，與連續(xù)線性非齊次狀態(tài)空間表達(dá)式的解(2.64)相似，離散狀態(tài)空間表達(dá)式的解也可以分成兩部分：其中，φ(k)為離散狀態(tài)空間表達(dá)式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。07離散狀態(tài)方程的解則07離散狀態(tài)方程的解07離散狀態(tài)方程的解最后08MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用PARTEIGHT08MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用使用函數(shù)expm()可以計(jì)算輸入矩陣的矩陣指數(shù)。在線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析中，MATLAB有著廣泛的應(yīng)用，借助這一數(shù)學(xué)工具可以大大簡(jiǎn)化此過(guò)程。應(yīng)用MATLAB計(jì)算線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣108MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣時(shí)，我們通常想要得到的是關(guān)于時(shí)間的矩陣Ar的矩陣指數(shù)，使用MAT-LAB也能做到。除expm()函數(shù)外，可以計(jì)算eAt的函數(shù)還有expmdemo1()、expmdemo2()、expmdemo3(),它們的區(qū)別只是逼近eAt的數(shù)學(xué)方法不同而已。08MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用應(yīng)用MATLAB求線性定常系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)208MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用08MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用除上述方法外，lsim()函數(shù)可以更方便地計(jì)算特定輸入下的線性系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)。08MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用繪制該系統(tǒng)零輸入條件下、單位正弦信號(hào)輸入下的系統(tǒng)輸出時(shí)間響應(yīng)曲線。解：首先定義線性系統(tǒng)：之后定義系統(tǒng)輸入與初值：08MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用狀態(tài)初值為[0,0],應(yīng)用gensig()函數(shù)生成單位正弦函數(shù)，即周期為2π、時(shí)間間隔為0.01、總時(shí)長(zhǎng)為50s的sin函數(shù)。最后輸入指令：就得到了系統(tǒng)狀態(tài)時(shí)間響應(yīng)曲線，如圖2.1所示。08MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用狀態(tài)初值為[0,0],應(yīng)用gensig()函數(shù)生成單位正弦函數(shù)，即周期為2π、時(shí)間間隔為0.01、總時(shí)長(zhǎng)為50s的sin函數(shù)。最后輸入指令：就得到了系統(tǒng)狀態(tài)時(shí)間響應(yīng)曲線，如圖2.1所示。08MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用MATLAB中的c2d()函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)狀態(tài)空間模型的離散化。之后調(diào)用c2d()函數(shù)：函數(shù)變量中的“1”表示采樣周期為1,'zoh'表示采用零階保持方式計(jì)算離散空間模型，函數(shù)c2d()中還給出了'foh'等多種離散化的方法，感興趣的讀者可以調(diào)用helpc2d查看學(xué)習(xí)。應(yīng)用MATLAB變連續(xù)狀態(tài)空間模型為離散狀態(tài)空間模型308MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用前述指令最終顯示如下結(jié)果：08MATLAB在線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用函數(shù)lsim()除可以分析連續(xù)系統(tǒng)外，對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)同樣適用?！纠?.18】對(duì)例2.16中系統(tǒng)以采樣周期為1s進(jìn)行離散化，并繪制在相同初始狀態(tài)與輸人下系統(tǒng)輸出的時(shí)間響應(yīng)曲線。函數(shù)lsim()除可以分析連續(xù)系統(tǒng)外，對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)同樣