專題四導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用真題卷題號考點(diǎn)考向2023新課標(biāo)1卷11函數(shù)的極值極值點(diǎn)的定義19導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式證明問題2023新課標(biāo)2卷6導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性11導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究極值問題22導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究不等式證明問題、已知極值點(diǎn)求參2022新高考1卷7比較大小利用導(dǎo)數(shù)比較大小10三次函數(shù)極值點(diǎn)、零點(diǎn)問題、函數(shù)的對稱性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義15導(dǎo)數(shù)的幾何意義已知切線條數(shù)求參數(shù)的取值范圍22導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題2022新高考2卷14導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程22導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題與不等式證明問題2021新高考1卷7導(dǎo)數(shù)的幾何意義已知切線條數(shù)求參數(shù)的取值范圍15函數(shù)的最值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值22導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式2021新高考2卷16導(dǎo)數(shù)的幾何意義已知切線位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍22導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式2020新高考1卷21導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題2020新高考2卷22導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題【2023年真題】1.（2023·新高考=2\*ROMANII卷第6題）已知函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則a的最小值為（）A.SKIPIF1<0 B.e C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.（2023·新課標(biāo)I卷第11題）（多選）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镽，SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0

C.SKIPIF1<0是偶函數(shù) D.SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的極小值點(diǎn)3.（2023·新課標(biāo)=2\*ROMANII卷第11題）（多選）若函數(shù)SKIPIF1<0既有極大值也有極小值，則(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<04.（2023·新課標(biāo)I卷第19題）已知函數(shù)SKIPIF1<0討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；SKIPIF1<0證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<05.（2023·新高考=2\*ROMANII卷第22題）SKIPIF1<0證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.【2022年真題】6.（2022·新高考I卷第7題）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<07.（2022·新高考I卷第10題）（多選）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則(

)A.SKIPIF1<0有兩個極值點(diǎn) B.SKIPIF1<0有三個零點(diǎn)

C.點(diǎn)SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的對稱中心 D.直線SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的切線8.（2022·新高考I卷第15題）若曲線SKIPIF1<0有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是__________.9.（2022·新高考II卷第15題）曲線SKIPIF1<0經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為__________，__________.10.（2022·新高考I卷第22題）已知函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有相同的最小值.

SKIPIF1<0求SKIPIF1<0；

SKIPIF1<0證明：存在SKIPIF1<0直線，其與兩條曲線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.11.（2022·新高考II卷第22題）已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性;

SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0【2021年真題】12.（2021·新高考I卷第7題）若過點(diǎn)SKIPIF1<0可以作曲線SKIPIF1<0的兩條切線，則(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<013.（2021·新高考I卷第15題）函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為__________.14.（2021·新高考II卷第16題）已知函數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0取值范圍是__________.15.（2021·新高考I卷第22題）已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0討論SKIPIF1<0的單調(diào)性.SKIPIF1<0設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<016.（2021·新高考II卷第22題）已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；SKIPIF1<0從下面兩個條件中選一個，證明：SKIPIF1<0有一個零點(diǎn).①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【2020年真題】17.（2020·新高考I卷第21題、II卷第22題）已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求a的取值范圍.【答案解析】1.（2023·新高考=2\*ROMANII卷第6題）解：由題意，SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案選：SKIPIF1<02.（2023·新課標(biāo)I卷第11題）（多選）解：選項(xiàng)A，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故A正確;選項(xiàng)B，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故B正確;選項(xiàng)C，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C正確;選項(xiàng)D，不妨設(shè)SKIPIF1<0為常函數(shù)，且滿足原題SKIPIF1<0，而常函數(shù)沒有極值點(diǎn)，故D錯誤.故選：SKIPIF1<03.（2023·新課標(biāo)=2\*ROMANII卷第11題）（多選）解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以定義域?yàn)镾KIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0有兩個不相等的正解SKIPIF1<0則，易得SKIPIF1<0故選SKIPIF1<04.（2023·新課標(biāo)I卷第19題）解：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減.SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞增.SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞增.故，令，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞增，，即SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<05.（2023·新高考=2\*ROMANII卷第22題）SKIPIF1<0證明：構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0解：由SKIPIF1<0，得函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函數(shù)，所以只需考慮區(qū)間SKIPIF1<0SKIPIF1<0，

令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

其中，

①若，記SKIPIF1<0時，易知存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時，，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，這與SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)矛盾，舍去.

②若，記SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時，，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，

注意到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，當(dāng)SKIPIF1<0時，，

滿足SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，符合題意.

③若，即SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0為偶函數(shù)，只需考慮SKIPIF1<0的情形.

此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，

這與SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)矛盾，舍去.

綜上：a的取值范圍為SKIPIF1<06.（2022·新高考I卷第7題）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

①SKIPIF1<0，

令SKIPIF1<0

則SKIPIF1<0，

故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，

可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0，

令SKIPIF1<0

則SKIPIF1<0，

令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0

故SKIPIF1<07.（2022·新高考I卷第10題）（多選）解：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，

所以SKIPIF1<0有兩個極值點(diǎn)SKIPIF1<0為極大值點(diǎn)，SKIPIF1<0為極小值點(diǎn)SKIPIF1<0，故A正確;

又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0僅有1個零點(diǎn)SKIPIF1<0如圖所示SKIPIF1<0，故B錯;

又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對稱，故C正確;

對于D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)SKIPIF1<0，在P處的切線為SKIPIF1<0，

即SKIPIF1<0，

若SKIPIF1<0是其切線，則SKIPIF1<0，方程組無解，所以D錯.8.（2022·新高考I卷第15題）解：SKIPIF1<0，設(shè)切點(diǎn)為SKIPIF1<0，

故SKIPIF1<0，

即SKIPIF1<0

由題意可得，方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

化簡得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，顯然此時0不是根，故滿足題意.9.（2022·新高考II卷第15題）解：當(dāng)SKIPIF1<0時，點(diǎn)SKIPIF1<0上的切線為SKIPIF1<0

若該切線經(jīng)過原點(diǎn)，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，

此的切線方程為SKIPIF1<0

當(dāng)SKIPIF1<0時，點(diǎn)SKIPIF1<0上的切線為SKIPIF1<0

若該切線經(jīng)過原點(diǎn)，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，

此時切線方程為SKIPIF1<010.（2022·新高考I卷第22題）解：SKIPIF1<0由題知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0，則兩函數(shù)均無最小值，不符題意;

②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增；

SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增；

故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0

SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；

SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0

①SKIPIF1<0時，此時SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0與兩條曲線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0

共有0個交點(diǎn)，不符合題意；

②SKIPIF1<0時，此時SKIPIF1<0，

故SKIPIF1<0與兩條曲線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共有2個交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；

③SKIPIF1<0時，首先，證明SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有2個交點(diǎn)，

即證明SKIPIF1<0有2個零點(diǎn)，SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，

又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為SKIPIF1<0

其次，證明SKIPIF1<0與曲線和SKIPIF1<0有2個交點(diǎn)，

即證明SKIPIF1<0有2個零點(diǎn)，SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，

又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為SKIPIF1<0

再次，證明存在b，使得SKIPIF1<0

因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

所以只需證明SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解即可，

即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零點(diǎn)，

因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0即可，

此時取SKIPIF1<0

則此時存在直線SKIPIF1<0，其與兩條曲線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共有三個不同的交點(diǎn)，

最后證明SKIPIF1<0，即從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，

因?yàn)镾KIPIF1<0

所以SKIPIF1<0，

又因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

同理，因?yàn)镾KIPIF1<0，

又因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

即直線SKIPIF1<0與兩條曲線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

11.（2022·新高考II卷第22題）解：SKIPIF1<0

當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減;

當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增.

SKIPIF1<0令SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立

又SKIPIF1<0

令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0

①若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

所以SKIPIF1<0使得當(dāng)時，有SKIPIF1<0單調(diào)遞增SKIPIF1<0，矛盾

②若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，

SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，

SKIPIF1<0，符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是SKIPIF1<0

SKIPIF1<0求導(dǎo)易得SKIPIF1<0

令SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

即SKIPIF1<0，證畢.

12.（2021·新高考I卷第7題）解：設(shè)切點(diǎn)為根據(jù)兩點(diǎn)之間斜率和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，

易知SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0有兩解，

令SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0

即，

解得SKIPIF1<0，

又因?yàn)楫?dāng)x趨近正無窮時SKIPIF1<0，

當(dāng)x趨近負(fù)無窮時，SKIPIF1<0趨近SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0綜上，SKIPIF1<0故選SKIPIF1<013.（2021·新高考I卷第15題）解：已知函數(shù)，易知函數(shù)定義域?yàn)镾KIPIF1<0，①

：當(dāng)SKIPIF1<0時，，

所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，②

當(dāng)SKIPIF1<0時，，所以SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以最小值為SKIPIF1<0故答案為SKIPIF1<014.（2021·新高考II卷第16題）解：由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，所以，同理，所以故答案為：15.（2021·新高考I卷第22題）SKIPIF1<0解：的定義域?yàn)?/p>

，，由解得SKIPIF1<0，由解得SKIPIF1<0，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；SKIPIF1<0證明：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即，不妨設(shè)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即，即證明SKIPIF1<0，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，可得SKIPIF1<0，先證明SKIPIF1<0，令，SKIPIF1<0，，在上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，，，即，由SKIPIF1<0可知在上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；下面再證明SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0

則SKIPIF1<0，由可得，化簡SKIPIF1<0

，要證SKIPIF1<0，即證，即證，即證，即證，設(shè)，SKIPIF1<0，，令，SKIPIF1<0，，，在上單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞減，，即，SKIPIF1<0