第2章信號(hào)的分析與處理本章學(xué)習(xí)要求：1信號(hào)的時(shí)域分析2信號(hào)的相關(guān)分析3信號(hào)的頻域分析4數(shù)字信號(hào)處理基礎(chǔ)剔除信號(hào)的噪聲和干擾，及提高信噪比；消除測(cè)量系統(tǒng)誤差，修正畸變的波形；強(qiáng)化、突出有用信息，削弱信號(hào)中的無(wú)用部分；將信號(hào)加工、處理、變換，以便更容易識(shí)別和分析信號(hào)的特征，解釋被測(cè)對(duì)象所表現(xiàn)的各種物理現(xiàn)象。信號(hào)分析和信號(hào)處理的目的：2.1信號(hào)的時(shí)域分析2.1.1特征值分析1.離散時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)參數(shù)的計(jì)算（1）離散信號(hào)的均值

對(duì)于離散信號(hào)，若在0~T時(shí)間內(nèi)，離散點(diǎn)數(shù)為N，離散值為，則均值表示為:

（2）離散信號(hào)的絕對(duì)平均值（3）離散信號(hào)的均方值(2.3)信號(hào)的均方根值即為有效值，其表達(dá)式為:

（4）離散信號(hào)的方差(2.4)的開(kāi)方稱為均方根差，又叫標(biāo)準(zhǔn)差，表示為2.1.2概率密度函數(shù)分析

概率密度函數(shù)是概率相對(duì)于振幅的變化率。概率密度函數(shù)積分即得到概率

稱為概率分布函數(shù)，表示信號(hào)振幅在到范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率。對(duì)于任何隨機(jī)信號(hào)有分別為幅值小于和大于式中，的概率

時(shí)域信號(hào)的均值、均方根值、標(biāo)準(zhǔn)差等特征值與概率密度函數(shù)有著密切的關(guān)系，即

2.2信號(hào)的相關(guān)分析2.2.1相關(guān)系數(shù)

“相關(guān)”指變量之間線性關(guān)系。對(duì)于確定性信號(hào)，兩個(gè)變量之間為一一對(duì)應(yīng)的確定性關(guān)系。兩個(gè)隨機(jī)性變量之間不具有確定性關(guān)系。但若兩個(gè)變量之間具有某種內(nèi)涵的物理聯(lián)系，則通過(guò)大量統(tǒng)計(jì)就能發(fā)現(xiàn)變量之間存在某種雖不精確卻具有相應(yīng)的表征其特性的近似關(guān)系。

兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況:圖2.5x與y變量的相關(guān)性較好的線性關(guān)系具有某種程度的相關(guān)關(guān)系無(wú)相關(guān)性對(duì)于變量x和y之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)表示:

式中：——隨機(jī)變量x,y的協(xié)方差;

——隨機(jī)變量x、y的均值；

、

——隨機(jī)變量X、Y的標(biāo)準(zhǔn)差。2.2.2自相關(guān)分析1.自相關(guān)函數(shù)的概念

自相關(guān)函數(shù)用Rx(τ)表示，反映了信號(hào)在時(shí)移中的相關(guān)性,其定義為:(2.19)2.自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)證明：例2.1求正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)。解：根據(jù)式（2.22）得式中，是正弦函數(shù)的周期，令帶入上式，則可見(jiàn)正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)余弦函數(shù)，在時(shí)具有最大值。2.2.3互相關(guān)分析1.互相關(guān)函數(shù)的概念反映了兩個(gè)信號(hào)在時(shí)移中的相關(guān)性。2.互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1)互相關(guān)函數(shù)是可正可負(fù)的實(shí)函數(shù)。2)互相關(guān)函數(shù)非偶函數(shù),亦非奇函數(shù),而是互相關(guān)函數(shù)對(duì)稱性3）的峰值不在處,其峰值偏離原點(diǎn)的位置反映了兩信號(hào)時(shí)移的大小,相關(guān)程度最高?；ハ嚓P(guān)函數(shù)性質(zhì)6)兩個(gè)同頻率正余弦函數(shù)相關(guān)。7)周期信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)為零。例2.2

求兩個(gè)同頻率的正弦函數(shù)和的互相關(guān)函數(shù)解：對(duì)于周期函數(shù)由上例可見(jiàn)，兩個(gè)均值為零且有相同頻率的周期信號(hào)，互相關(guān)函數(shù)中保留了兩信號(hào)的圓頻率、幅值和相位差3.互相關(guān)技術(shù)的工程應(yīng)用（1）相關(guān)測(cè)速工程中常用兩個(gè)間隔一定距離的傳感器進(jìn)行非接觸測(cè)量運(yùn)動(dòng)物體的速度鋼帶運(yùn)動(dòng)非接觸測(cè)量（2）相關(guān)分析在故障診斷中的應(yīng)用（3）傳遞通道的相關(guān)測(cè)定

上圖為汽車司機(jī)座振動(dòng)傳遞途徑的識(shí)別示意圖。在發(fā)動(dòng)機(jī)、司機(jī)座、后橋放置三個(gè)加速度傳感器，將輸出進(jìn)行相關(guān)分析可以看到，發(fā)動(dòng)機(jī)和司機(jī)座的相關(guān)性較差，而后橋和司機(jī)座的相關(guān)性較大，可以認(rèn)為司機(jī)座的振動(dòng)主要是由汽車后輪的振動(dòng)引起的。

（4）相關(guān)分析的聲學(xué)應(yīng)用測(cè)量墻板的衰減繞射聲和穿透聲的相關(guān)峰汽車相關(guān)法測(cè)速：思考題:2.3信號(hào)的頻域分析2.3.1帕斯瓦爾（Paseval）定理該定理有如下表達(dá)式（證明從略）

上述又稱為能量等式，即在時(shí)域中計(jì)算的信號(hào)總能量，等于在頻域中計(jì)算的信號(hào)總能量。

2.3.2功率譜分析?1.功率譜密度函數(shù)的定義

隨機(jī)信號(hào)的自功率譜密度函數(shù)（自譜）是該隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，即:兩隨機(jī)信號(hào)的互功率譜密度函數(shù)（互譜）為其逆變換為:2.功率譜密度函數(shù)的物理意義當(dāng)時(shí)，由自譜逆變換定義由相關(guān)函數(shù)的定義，當(dāng)時(shí)，有比較上兩式有：

可知自譜曲線下的總面積就是信號(hào)的總功率。自譜大小表明總功率在不同頻率處的功率分布。同理可以解釋互譜密度函數(shù)。自功率譜密度函數(shù)是偶函數(shù)，頻率范圍是（，）又稱雙邊自功率譜密度函數(shù)。（，0）和（0，）呈對(duì)稱映射。因此可用0～內(nèi)來(lái)表示信號(hào)的全部功率譜。稱為信號(hào)的單邊功率譜密度函數(shù)。圖2.18為單邊譜和雙邊譜的比較。3.功率譜的計(jì)算1）布拉克－杜開(kāi)（Blackman-Tukey)法：根據(jù)原始信號(hào)計(jì)算出相關(guān)函數(shù)，然后利用傅立葉變換得到相應(yīng)功率譜函數(shù)；2）模擬濾波器法：采用模擬分析儀進(jìn)行分析計(jì)算的一種方法；3）庫(kù)立－杜開(kāi)（Cooley-Tukey)法，即用FFT計(jì)算功率譜。模擬信號(hào)自譜估計(jì)式數(shù)字信號(hào)自譜的估計(jì)式數(shù)字信號(hào)互譜估計(jì)式

利用頻譜分析，將復(fù)雜的波形轉(zhuǎn)換成頻譜，以便進(jìn)一步了解振動(dòng)的構(gòu)成原因。2.4數(shù)字信號(hào)處理基礎(chǔ)

2.4.1數(shù)字信號(hào)處理的基本步驟

數(shù)字信號(hào)處理的基本步驟如圖2.29所示，它包括4個(gè)環(huán)節(jié)：數(shù)字信號(hào)處理步驟簡(jiǎn)圖信號(hào)調(diào)理A/D信號(hào)調(diào)理A/D數(shù)字信號(hào)分析儀或電子計(jì)算機(jī)結(jié)果顯示D/A···x(t)y(t)1.信號(hào)調(diào)理

目的是把信號(hào)調(diào)整為便于數(shù)字處理的形式，它包括:1)電壓幅值處理，以滿足電子計(jì)算機(jī)對(duì)輸入電壓的要求；2)過(guò)濾信號(hào)中的高頻噪聲；3)如果信號(hào)中不應(yīng)有直流分量，則隔離信號(hào)中的直流分量；4)如果原信號(hào)為調(diào)制信號(hào)，則應(yīng)解調(diào).

2.模數(shù)（A/D）轉(zhuǎn)換

模數(shù)轉(zhuǎn)換包括：在時(shí)間上對(duì)原信號(hào)等間隔采樣；幅值的量化及編碼；把模擬量轉(zhuǎn)換成數(shù)字量，即把連續(xù)信號(hào)變成離散時(shí)間序列。

3.數(shù)字信號(hào)分析

在信號(hào)分析儀或通用計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。需將長(zhǎng)序列數(shù)據(jù)截?cái)?，進(jìn)行數(shù)字濾波、時(shí)域中的概率統(tǒng)計(jì)、相關(guān)分析、頻域中的頻譜分析、功率譜分析、傳遞函數(shù)分析等。4.輸出結(jié)果

運(yùn)算結(jié)果直接顯示或打印，也可用數(shù)模轉(zhuǎn)換器把數(shù)字量轉(zhuǎn)換成模擬量輸入外部被控裝置。2.4.2時(shí)域采樣和采樣定理1.時(shí)域采樣

采樣是在模數(shù)轉(zhuǎn)換過(guò)程中以一定時(shí)間間隔對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行取值的過(guò)程。它的數(shù)學(xué)描述就是用間隔為的周期單位脈沖序列去乘模擬信號(hào)(2.66)上式說(shuō)明經(jīng)時(shí)域采樣后，各采樣點(diǎn)的信號(hào)幅值為g(t)為采樣函數(shù)。2.采樣定理采樣函數(shù)為一周期信號(hào)，即對(duì)進(jìn)行傅立葉變換，有寫成傅立葉級(jí)數(shù)形式，有

可見(jiàn)，間距為的采樣脈沖序列的傅立葉變換也是脈沖序列,其間距為。

上式為信號(hào)經(jīng)過(guò)間隔為的采樣之后所形成的采樣信號(hào)的頻譜。

由卷積定理，并考慮到函數(shù)與其它函數(shù)卷積的特性，有

若采樣間隔太大，即太低，則由于平移距離過(guò)小，移至各采樣脈沖對(duì)應(yīng)的序列點(diǎn)的頻譜就會(huì)有一部分相互交疊.

新合成的圖形與不一致，這種現(xiàn)象稱為混疊.

為避免混疊以便采樣后能準(zhǔn)確恢復(fù)原信號(hào)，采樣頻率必須大于信號(hào)最高頻率的兩倍，即這就是采樣定理。實(shí)際工作中，一般采樣頻率應(yīng)選為被處理信號(hào)中最高頻率的倍以上。

2.4.3截?cái)?、泄漏和窗函?shù)1.截?cái)唷⑿孤┖痛昂瘮?shù)的概念

在數(shù)字處理時(shí)必須把長(zhǎng)時(shí)序列截?cái)?。截?cái)嗑褪菍o(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)乘以有限寬的窗函數(shù)?！按啊钡囊馑际侵竿ㄟ^(guò)窗口使我們能夠看見(jiàn)原始信號(hào)的一部分，原始信號(hào)在視窗以外的部分均視為零。

窗函數(shù)就是在模數(shù)轉(zhuǎn)換過(guò)程中（或數(shù)據(jù)處理過(guò)程中）對(duì)時(shí)域信號(hào)取樣采用的截?cái)嗪瘮?shù)。2.幾種常用的窗函數(shù)

對(duì)時(shí)域窗的一般要求：其頻譜的主瓣盡量窄，以提高頻率分辨率；旁瓣盡量低，以減少泄漏。頻域指標(biāo)：

（1）3dB帶寬B它是主瓣歸一化幅值下降到-3dB時(shí)的帶寬。（2）最大旁瓣峰值A(chǔ)（dB）A越小，由旁瓣引起的譜失真越小。（3）旁瓣譜峰漸進(jìn)衰減速度D（dB/oct）。（1）矩形窗

矩形窗使用最普遍，因?yàn)榱?xí)慣上中的不加窗就相當(dāng)使用了矩形窗，并且矩形窗的主瓣是最窄的。

（2）漢寧（hanning)窗漢寧窗的旁瓣小，泄漏少，但漢寧窗的主瓣較寬。

（3）哈明(hamming)窗

2.4.4離散傅立葉變換和快速傅立葉變換1.離散傅立葉變換

傅立葉變換及其逆變換不適合用數(shù)字計(jì)算機(jī)計(jì)算，須將連續(xù)信號(hào)離散化，無(wú)限數(shù)據(jù)有限化。對(duì)有限個(gè)離散數(shù)據(jù)的傅立葉變換，稱為有限離散傅立葉變換，簡(jiǎn)稱DFT.

在進(jìn)行DFT時(shí)，首先需將連續(xù)信號(hào)離散化，在區(qū)間（0，T）內(nèi)，以時(shí)間間隔散序列用計(jì)算機(jī)對(duì)離散時(shí)間序列進(jìn)行傅立葉變換，對(duì)采樣，得到離得到的譜線是離散值。

由于頻域中離散譜線對(duì)應(yīng)時(shí)域中的周期函數(shù)，因此要對(duì)離散時(shí)間序列求頻譜，必須假設(shè)信號(hào)是周期的，即以T為周期。在此假設(shè)基礎(chǔ)上，便可利用周期函數(shù)的傅立葉變換公式分析離散時(shí)間序列。周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)為：式中：