概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)配套教材：吳傳生，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)， 高等教育出版社張維強(qiáng)，數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，科技樓433A.cn概率論產(chǎn)生于17世紀(jì)，本來是由保險(xiǎn)事業(yè)發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來自賭博者的請(qǐng)求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論問題的源泉.早在1654年，有一個(gè)賭徒梅勒向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了一個(gè)使他苦惱了很久的問題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰先贏m局就算獲勝，全部賭本就歸勝者，但是當(dāng)其中一個(gè)人甲贏了a(a<m)局的時(shí)候，賭博中止，問賭本應(yīng)當(dāng)如何分配才算合理？”概率論在物理、化學(xué)、生物、生態(tài)、天文、地質(zhì)、醫(yī)學(xué)等學(xué)科中，在控制論、信息論、電子技術(shù)、預(yù)報(bào)、運(yùn)籌等工程技術(shù)中的應(yīng)用都非常廣泛。序言領(lǐng)域,特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長等問題,都大量采用概率統(tǒng)計(jì)方法.法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)說:“生活中最重要的問題,其中絕大領(lǐng)域的趨勢(shì)還在不斷發(fā)展.在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題.”英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯曾對(duì)概率論大加贊美：“概率論是生活真正的領(lǐng)路人,如果沒有對(duì)概率的某種估計(jì),那么我們就寸步難行,無所作為.”目前,概率統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)入其他自然科學(xué)國內(nèi)有關(guān)經(jīng)典著作1.《概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用》

王梓坤著科學(xué)出版社1976年版2.《數(shù)理統(tǒng)計(jì)引論》陳希儒著科學(xué)出版社1981年版國外有關(guān)經(jīng)典著作1.《概率論的分析理論》P.-S.拉普拉斯著

1812年版2.《統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)學(xué)方法》H.克拉默著

1946年版概率論的最早著作數(shù)理統(tǒng)計(jì)最早著作

概率統(tǒng)計(jì)專業(yè)首位中科院院士

自然界和社會(huì)上發(fā)生的現(xiàn)象是多種多樣的.在觀察、分析、研究各種現(xiàn)象時(shí),通常我們將它們分為兩類:(1)在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象。例如，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到100℃必然沸騰;向空中拋擲一顆骰子，骰子必然會(huì)下落;在沒有外力作用下，物體必然靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng);太陽每天必然從東邊升起，西邊落下等等，稱這一類現(xiàn)象為確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象.

第1章隨機(jī)事件及其概率§1.1隨機(jī)事件一、隨機(jī)現(xiàn)象(2）在一定條件下，我們無法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象(或偶然現(xiàn)象).例如,在相同條件下,拋擲一枚硬幣,其結(jié)果可能是正面朝上,也可能是反面朝上,并且在每次拋擲之前無法確定拋擲的結(jié)果是什么.

人們經(jīng)過長期實(shí)踐和深入研究之后,發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象在個(gè)別試驗(yàn)中,偶然性起著支配作用,呈現(xiàn)出不確定性,但在相同條件下的大量重復(fù)試驗(yàn)中,卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.隨機(jī)現(xiàn)象的這種規(guī)律性我們稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.二、隨機(jī)試驗(yàn)試驗(yàn)者拋擲次數(shù)正面次數(shù)正面頻率DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069PearsonK1200060190.5016PearsonK24000120120.5005拋擲硬幣試驗(yàn)為了對(duì)隨機(jī)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究，就需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察，把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)試驗(yàn)簡稱試驗(yàn)，記為E。隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特點(diǎn):(1)可重復(fù)性：可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)可觀察性：每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),但是事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(3)不確定性：進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).注：這類的隨機(jī)試驗(yàn)稱為可重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)。還有一類隨機(jī)試驗(yàn)不具有特點(diǎn)1），例如：E:觀察某地某天的天氣是雨天還是非雨天.這樣的隨機(jī)試驗(yàn)稱為不可重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)。本書中除個(gè)別地方，所討論的都是可重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)。三、樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，記為ω，它們的全體稱為樣本空間，記為Ω。試驗(yàn)的樣本空間的實(shí)例E1:拋一枚硬幣,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.

則樣本空間為E2:將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.則樣本空間為E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H出現(xiàn)的次數(shù).則樣本空間為Ω1

={H,T}Ω

2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}Ω

3={0,1,2,3}E4:拋一粒骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).則樣本空間為E5:記錄電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù).

則樣本空間為E6:在一批燈泡中任意抽取一只,測(cè)試它的壽命.

則樣本空間為Ω

4={1,2,3,4,5,6}Ω

5={0,1,2,3,…}Ω

6={t|t≥0}于是樣本空間是由三個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合這個(gè)例子表明:試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與樣本空間是根據(jù)試驗(yàn)的內(nèi)容而確定的.例:拋二粒骰子的樣本空間為：四、隨機(jī)事件樣本空間中某些樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件。用英文大寫字母A,B,

表示事件.事件是樣本空間的子集。設(shè)A是一個(gè)事件,當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)中出現(xiàn)的樣本點(diǎn)w

A時(shí),稱事件A在該次試驗(yàn)中發(fā)生.例

E：

在一大批電視機(jī)中任意抽取一臺(tái),測(cè)試其壽命;W={t|t0})中,若測(cè)試出電視機(jī)的壽命t=11000小時(shí),則事件"電視機(jī)為合格品"=A={t|t>10000}

在該次試驗(yàn)中發(fā)生;同樣,若測(cè)試出電視機(jī)的壽命t=6000小時(shí),則在該次試驗(yàn)中事件A沒有發(fā)生.

顯然,要判定一個(gè)事件是否在一次試驗(yàn)中發(fā)生,只有當(dāng)該次試驗(yàn)有了結(jié)果以后才能知道.事件的分類：（1）隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。通常用字母A，B，C表示。（2）必然事件：在每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件。用字母Ω或S表示。（3）不可能事件：在在任何一次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生的事件。用字母

表示。必然事件與不可能事件都是確定性事件，為方便討論，今后將它們看作是兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件?；臼录河蓡蝹€(gè)樣本點(diǎn)組成的事件。

例:對(duì)于試驗(yàn)E2:將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.A2={HHH,TTT}（2）事件A2:“三次出現(xiàn)同一面”,則A1={HHH,HHT,HTH,HTT}（1）事件A1:“第一次出現(xiàn)的是正面H”,則A2={HHT,HTH，THH}（3）事件A3:“出現(xiàn)二次正面”,則五、事件間的關(guān)系與運(yùn)算事件是一個(gè)集合,因而事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算自然按照集合論中集合之間的關(guān)系和集合運(yùn)算來處理.根據(jù)“事件發(fā)生”的含義,下面給出事件的關(guān)系和運(yùn)算在概率論中的提法和含義.

（1）包含關(guān)系若屬于A的樣本點(diǎn)必屬于B,則稱事件B包含事件A，記為A

B.即事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生.事件的關(guān)系：（2）相等關(guān)系若屬于A的樣本點(diǎn)必屬于B,且屬于B的樣本點(diǎn)必屬于A，則稱事件A與事件B相等，記為A=

B.A＝B

A

B且B

A例:拋二粒骰子，A=“二粒骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，B=“二粒骰子的點(diǎn)數(shù)為一奇一偶”.則事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，而且B發(fā)生必然導(dǎo)致A發(fā)生，所以A=

B.（3）互不相容若事件A與事件B沒有相同的樣本點(diǎn),則稱事件A與B互不相容（或互斥）

.A與B互不相容，即事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生.A與B互不相容

A∩B=

基本事件互不相容。（1）事件的并由事件A與B中所有樣本點(diǎn)（相同的樣本點(diǎn)只計(jì)入一次）組成的新事件稱為事件A與B的并或和.事件的運(yùn)算A∪B={x|x∈A或x∈B}當(dāng)且僅當(dāng)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí),事件A∪B發(fā)生.例:拋一粒骰子，事件A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過3”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”.

則A={1，2，3}，

B={2，4，6}.所以，A∪B={1，2，3，4，6}（2）事件的交由事件A與B中公共的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為事件A與B的交或積.當(dāng)且僅當(dāng)A與B同時(shí)發(fā)生時(shí),事件AB發(fā)生.A∩B=AB={x|x∈A且x∈B}例:拋一粒骰子，事件A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過3”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”.

則A={1，2，3}，

B={2，4，6}.所以，A∩B={2}（3）事件的差由屬于事件A而不屬于B的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為事件A對(duì)B的差.當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生,而B不發(fā)生時(shí),事件A-B發(fā)生.例:拋一粒骰子，事件A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過3”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”.

則A={1，2，3}，

B={2，4，6}.所以，A-B={1，3}問：B-A=？（4）對(duì)立事件由在樣本空間Ω中而不在A中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對(duì)立事件或逆事件.

事件A與B互為對(duì)立事件

A∪B=Ω且AB=

.A的對(duì)立事件記作B=ā

.例:拋一粒骰子，事件A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過3”.則A={1，2，3}，而Ω={1，2，3，4，5，6，}.所以，ā

={4，5，6}顯然，構(gòu)成一個(gè)完備事件組。七、事件的運(yùn)算規(guī)則1、交換律：A

B＝B

A，AB＝BA2、結(jié)合律：(A

B)

C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A

B)C＝(AC)(BC)，(AB)

C＝(AC)(B

C)4、對(duì)偶律：例甲乙丙三人各射靶一次，記A