2022-2023學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知隨機(jī)變量，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性即可.【詳解】隨機(jī)變量，且，，，，.故選：A.2．已知兩條異面直線a，b上分別有4個(gè)點(diǎn)和7個(gè)點(diǎn)，則這11個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為（

）A．4 B．7 C．11 D．126【答案】C【分析】由題意，第1類，直線a分別與直線b上的7個(gè)點(diǎn)可以確定7個(gè)不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的4個(gè)點(diǎn)可以確定4個(gè)不同的平面，再根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，即可求解．【詳解】分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的7個(gè)點(diǎn)可以確定7個(gè)不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的4個(gè)點(diǎn)可以確定4個(gè)不同的平面．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定7＋4＝11個(gè)不同的平面.故選：C．3．若的展開(kāi)式中不含項(xiàng)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】根據(jù)展開(kāi)式中的項(xiàng)與項(xiàng)系數(shù)結(jié)合條件即得.【詳解】，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，令時(shí)，；令時(shí)，，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為，因?yàn)榈恼归_(kāi)式中不含項(xiàng)，所以，解得：.故選：D.4．在4次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率是，則事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是，根據(jù)對(duì)立事件的概率求得事件A一次都不發(fā)生的概率，即可得，即可求得答案.【詳解】設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是，由事件A至少發(fā)生次的概率為，可知事件A一次都不發(fā)生的概率為，由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率知，則，故選：C．5．將邊長(zhǎng)為的正三角形沿邊上的高線折成的二面角，則點(diǎn)到邊的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在三棱錐中，取線段的中點(diǎn)，連接、，由題意可得，推導(dǎo)出，并計(jì)算出線段的長(zhǎng)，即為所求.【詳解】翻折前，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，是邊上的高線，則為的中點(diǎn)，且，，且，翻折后，則有，，在三棱錐中，由二面角的定義可得，如下圖所示：

取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，，在中，，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，且，所以，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，，因此，點(diǎn)到的距離為.故選：A.6．某考生回答一道四選一的單項(xiàng)選擇考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.6，知道正確答案時(shí)，答對(duì)的概率為，而不知道正確答案時(shí)，猜對(duì)的概率為0.2，那么他答對(duì)題目的概率為（

）A．0.8 B．0.68 C．0.6 D．0.2【答案】B【分析】根據(jù)條件概率和全概率公式求解即可.【詳解】解：設(shè)“考生答對(duì)題目”為事件A，“考生知道正確答案”為事件B，則，，，．故選：B．7．學(xué)校環(huán)保節(jié)活動(dòng)期間，某班有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生參加了志愿者工作．將這四名學(xué)生分配到A，B，C三個(gè)不同的環(huán)保崗位，每個(gè)崗位至少分配一名學(xué)生，若甲要求不分配到B崗位，則不同的分配方案的種數(shù)為（

）A．30 B．24 C．20 D．18【答案】B【分析】分兩種情況：一是有一個(gè)人與甲在同一個(gè)崗位，另一個(gè)是沒(méi)有人與甲在同一個(gè)崗位，再利用分類加法原理可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得有兩種情況：①有一個(gè)人與甲在同一個(gè)崗位，則有種分配方案；②沒(méi)有人與甲在同一個(gè)崗位，則種分配方案；所以由分類加法原理可知共有不同的分配方案，故選：B8．如圖，長(zhǎng)方體中，，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論中不正確的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為B．當(dāng)時(shí)，若平面的法向量記為，則C．當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量求解二面角、線面角的方法計(jì)算各選項(xiàng)即可.【詳解】如下圖所示：

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系；由，可知，則，設(shè)，，選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，平面ABCD的法向量為，所以直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為：，故A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，平面的法向量記為，由.,由可知，，所以可取，所以，故B正確；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，所以，平面的法向量記為，設(shè)平面的法向量記為，由.,由可知，，所以可取，所以二面角的余弦值為，所以，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若，，，因?yàn)?，所以，所以，，由，解得，所以，即，故D正確.故選：C二、多選題9．在江蘇新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理共六門，學(xué)生根據(jù)高校要求，結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣，首先在物理、歷史2門學(xué)科中選擇1門，再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、政治、地理4門學(xué)科中選擇2門，選中的3門學(xué)科作為選擇性考試科目參加考試．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若任意選科，則選法總數(shù)為B．若政治必選，則選法總數(shù)為C．若化學(xué)、地理至少選一門，則選法總數(shù)為D．若歷史必選，生物、政治至多選一門，則選法總數(shù)為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意利用分步計(jì)數(shù)原理與組合知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】在物理、歷史2門學(xué)科中選擇1門有種，在化學(xué)、生物、政治、地理4門學(xué)科中選擇2門有種，若任意選科，則選法總數(shù)為種，A正確；若政治必選，還需從化學(xué)、生物、地理3門學(xué)科中選擇1門有，則選法總數(shù)為種，B錯(cuò)誤；若化學(xué)、地理至少選一門，兩門都選有1種，只選一門有，則選法總數(shù)為，C正確；若歷史必選有種，生物、政治至多選一門有種，則選法總數(shù)為種，D正確.故選：ACD.10．設(shè)，則結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．，，，，，，中最小的是【答案】ABD【分析】賦值法可判斷A，B；求出的通項(xiàng)可判斷C，D.【詳解】對(duì)于A，令，則①，故A正確；對(duì)于B，令，則②，則②減①可得：，則，故B正確；對(duì)于C，的通項(xiàng)為，令，則，令，則，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的通項(xiàng)為，所以當(dāng)時(shí)，即，而，又，故，，，，，，中最小的是，故D正確.故選：ABD.11．“信息熵”是信息論中的一個(gè)重要概念，設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為，且，，定義X的信息熵，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)且時(shí)，C．若，則隨著n的減小而減小D．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小【答案】ABC【分析】根據(jù)給定的定義，逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，,，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，B正確；對(duì)于C，，，則隨著n的減小而減小，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩者相等，D錯(cuò)誤.故選：ABC12．在棱長(zhǎng)為的菱形ABCD中，，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成大小為的二面角，若折成的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．折成的四面體體積的最大值為B．當(dāng)折成的四面體表面積最大時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，球O的體積為D．當(dāng)時(shí)，球O的表面積為【答案】BD【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)菱形的性質(zhì)，求得邊長(zhǎng)，結(jié)合二面角的定義，表示出四面體的高，結(jié)合三棱錐的體積公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；選項(xiàng)B，由題意，只需求側(cè)面兩個(gè)全等三角形的面積最大值，利用面積公式求得夾角，根據(jù)余弦定理，可得答案；選項(xiàng)C、D，根據(jù)外接球的性質(zhì)，確定球心，利用幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，求得半徑，可得答案.【詳解】由題意，可作圖如下：

選項(xiàng)A，，，則為等邊三角形，取的中點(diǎn)，則，同理可知，為等邊三角形，，且，，二面角的平面角為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即四面體的體積的最大值是，故A不正確；選項(xiàng)B，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)四面體的表面積最大，最大值為，此時(shí)，在中，由余弦定理可得，，解得，故B正確；選項(xiàng)C，設(shè)分別為的外心，則，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線與過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，如下圖：

，，，平面，平面，平面，，，，平面，平面，同理可得平面，則為四面體的外接球球心，連接，，，，，，，平面，平面，，，即球心的半徑為，球的體積為，故C不正確；選項(xiàng)D，由C可得當(dāng)時(shí)，，，平面，平面，，，即球的半徑為，球的表面積為，故D正確.故選：BD.三、填空題13．若能被13整除，則m的最小正整數(shù)取值為．【答案】12【分析】由于，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槟鼙?3整除，所以是13的倍數(shù)時(shí)，能被13整除，所以m的最小正整數(shù)取值為12，故答案為：12四、雙空題14．隨機(jī)變量的分布列如表所示，設(shè)，則，．01【答案】【分析】先由的分布列求得，再利用期望與方差的性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，得，因?yàn)椋裕?故答案為：；.五、填空題15．我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“四位合六數(shù)”（如1203、1005均是四位合六數(shù)），則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有個(gè)．【答案】21【分析】首位為1，則后三位數(shù)字之和為5，然后分類排列即可求解.【詳解】由題知后三位數(shù)字之和為5，當(dāng)一個(gè)位置為5時(shí)有005，050，500，共3個(gè);當(dāng)兩個(gè)位置和為5時(shí)有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12個(gè);當(dāng)三個(gè)位置和為5時(shí)有113，131，311，122，212，221，共6個(gè);所以一共有21個(gè).故答案為:21.16．如圖，三棱柱的各條棱長(zhǎng)均為是2，側(cè)棱與底面ABC所成的角為60°，側(cè)面底面ABC，點(diǎn)P在線段上，且平面平面，則．

【答案】【分析】取中點(diǎn)，連接，，由已知可得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面與平面的一個(gè)法向量，可求得結(jié)論．【詳解】側(cè)面底面，則點(diǎn)在平面上的射影在直線上，為直線與底面所成的角，，三棱柱的各條棱長(zhǎng)均為2，是等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，，則，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，面，所以面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，平面平面，∴，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：取中點(diǎn)，證明，，兩兩垂直，是解決本題的關(guān)鍵.六、解答題17．有甲、乙兩只不透明的袋子，其中甲袋放有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙袋放有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，且所有球的大小和質(zhì)地均相同．(1)先隨機(jī)取一只袋子，再?gòu)脑摯须S機(jī)取1個(gè)球，求取出的該球是白球的概率；(2)先從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球，求從乙袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用條件概型和全概率公式求解即可；（2）由全概率公式求解即可；【詳解】（1）先隨機(jī)取一只袋子，記“取到的是甲袋”為事件，“取到的是乙袋”為事件，再?gòu)拇须S機(jī)取1個(gè)球，“取出的該球是白球”為事件B，則事件B有兩類：取到的是甲袋且從中取出的是白球，取到的是乙袋且從中取出的是白球，即，因?yàn)榕c互斥，所以，由概率的乘法公式得，又因?yàn)椋?，，，所有先隨機(jī)取一只袋子，再?gòu)脑摯须S機(jī)取1個(gè)球，取出的該球是白球的概率為（2）記“從甲袋中取出2個(gè)紅球”為事件，“從甲袋中取出2個(gè)白球”為事件，“從甲袋中取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球”為事件，“從乙袋中取出的2個(gè)球均為紅球”為事件D，顯然，事件，，兩兩互斥，且正好為“從甲袋中任取2個(gè)球”的樣本空間，由全概率公式得，先從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋中，再?gòu)闹掖腥稳?個(gè)球，則從乙袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率為18．有5名男運(yùn)動(dòng)員和3名女運(yùn)動(dòng)員，從中選出5名運(yùn)動(dòng)員，參加“籃球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”這5種不同的球類競(jìng)賽，每名運(yùn)動(dòng)員只能參加一個(gè)球類項(xiàng)目競(jìng)賽，且每個(gè)球類項(xiàng)目競(jìng)賽都要有人參加，求符合下列條件的選法種數(shù)．（用數(shù)字作答）(1)有女運(yùn)動(dòng)員參賽，且參賽的女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)必須少于參賽的男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)；(2)女運(yùn)動(dòng)員指定參加排球競(jìng)賽，男運(yùn)動(dòng)員必須參賽但不能參加足球競(jìng)賽．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）利用分步乘法計(jì)數(shù)原理與排列組合的知識(shí)，先選再排即可得解，注意考慮特殊運(yùn)動(dòng)員的安排情況.【詳解】（1）因?yàn)橛信\(yùn)動(dòng)員參賽，且參賽的女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)必須少于參賽的男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)，所以選出的5名運(yùn)動(dòng)員可以是2名女運(yùn)動(dòng)員和3名男運(yùn)動(dòng)員，也可以是1名女運(yùn)動(dòng)員和4名男運(yùn)動(dòng)員，則有種情況，再將選出來(lái)的運(yùn)動(dòng)加分配到各個(gè)項(xiàng)目中，則有種方法，所以符合要求的選法種數(shù)為.（2）因?yàn)榕\(yùn)動(dòng)員指定參加排球競(jìng)賽，男運(yùn)動(dòng)員必須參賽但不能參加足球競(jìng)賽，所以先從除去該女運(yùn)動(dòng)員和該男運(yùn)動(dòng)員的6人中任選3人，有種情況，再安排男運(yùn)動(dòng)員參賽的項(xiàng)目，有種情況，最后選出的3人對(duì)余下的3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行全排列，有種情況，則符合要求的選法種數(shù)為.19．已知在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．(1)求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】(1)，，(2)，【分析】（1）利用二項(xiàng)式展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列得出，然后利用通項(xiàng)公式即可求出有理項(xiàng)；（2）由（1）設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)的系數(shù)最大，則滿足，求解不等式組即可.【詳解】（1）在的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)分別依次為，，，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，整理得，解得或（不合題意舍去），則展開(kāi)式中的通項(xiàng)為：，要求有理項(xiàng)，則需為整數(shù)，即，4，8，則有理項(xiàng)分別為：，，.（2）由（1）知，此二項(xiàng)式為，設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，即，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以第項(xiàng)和第項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)達(dá)到最大，故展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，.20．如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．

(1)求證：；(2)求直線PC與平面ABP所成角的余弦值；(3)線段PA上是否存在點(diǎn)E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)存在；.【分析】（1）取AB的中點(diǎn)為O，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理作答.（2）以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的正弦作答.（3）確定點(diǎn)E的位置，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理判斷作答.【詳解】（1）取AB的中點(diǎn)為O，連接DO，PO，由，得，又四邊形ABCD為直角梯形，且，，，，則四邊形OBCD為正方形，，又，平面POD，因此平面POD，又平面POD，所以.

（2）且平面PAB，又平面平面ABCD，且平面平面，則平面ABCD，平面，有，即有OA，OD，OP兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD、OA、OP分別為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，由等腰直角，，，得，則，即，平面PAB的一個(gè)法向量為，設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，因此，即，所以所求直線PC與平面ABP所成角的余弦值為.（3）線段PA上存在點(diǎn)E，且當(dāng)時(shí)，使得平面EBD.由，得，則，，設(shè)平面EBD的法向量為，則，令，得，又，則，而平面EBD，因此平面EBD，所以點(diǎn)E滿足時(shí)，有平面EBD．21．某校為了普及科普知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，在全校組織了一次科普知識(shí)競(jìng)賽．經(jīng)過(guò)初賽、復(fù)賽，甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)（每隊(duì)3人）進(jìn)入了決賽．規(guī)定每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得10分，答錯(cuò)者得0分．假設(shè)甲隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，乙隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響，用表示甲隊(duì)的總得分．(1)求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；期望為(2)【分析】（1）由題意知的所有可能取值為0，10，20，30，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；（2）記“甲隊(duì)得30分，乙隊(duì)得0分”為事件A，“甲隊(duì)得20分，乙隊(duì)