湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院1第六章矩陣特征值問題的解法

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2

物理、力學(xué)和工程技術(shù)中的許多問題在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為矩陣特征值問題。如：力學(xué)、結(jié)構(gòu)或電磁振動中的固有值問題；物理學(xué)中的各種臨界值等。因此,特征值問題的數(shù)值求解十分重要。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院3給出若有使得：則稱為矩陣的特征值,

為相應(yīng)的特征向量。§1特征值問題及相關(guān)結(jié)果

特征值為特征方程的根。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院4記稱它為矩陣A的特征多項式.

是高次的多項式(n較大時)，它的求根是很困難的。通過求它的根來求矩陣的特征值,實際計算中并不采用。

基本思想:直接從矩陣A或者對A做一系列的相似變換后得到的具有更簡單形式的矩陣入手,

設(shè)計迭代過程;最后求得A的近似特征值和相應(yīng)的特征向量.數(shù)值方法湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院5

特征值的估計及擾動問題

1、特征值的估計稱之為Gerschgorin圓盤（蓋爾圓）.

定理1（Gerschgorin圓盤定理）

為實方陣，則在某個Gerschgorin圓盤之中.的任一特征值必落湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院6

定理2（第二圓盤定理）

設(shè)為階實方陣，如果的個Gerschgorin圓盤與其他圓盤不相連，則恰好有的個特征值落在該個圓盤的并集之中。即特別地，孤立圓盤僅含有一個特征值.

為的一個重新排列，,則中含有的個特征值.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院7

例如

有四個圓盤:

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院8

實對稱矩陣的極大-極小定理：

為矩陣關(guān)于向量的Rayleigh（雷利）商.

為階實對稱矩陣，則其特征值皆為實數(shù)，記做，并且存在規(guī)范正交特征向量系滿足：

設(shè)為階實矩陣，，則稱定義湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院9由于，對于任意，可以取，使得：.證明:

假設(shè)為的規(guī)范正交特征向量組，則對任何向量，有

設(shè)為階實對稱矩陣，其特征值為，則定理3湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院10于是因而,特別地，若取，這時從而.同理可證湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院112、特征值的擾動問題例：

討論：的大小.特征方程湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院12設(shè)則.若在的上三角位置，則特征值并無擾動.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院13設(shè)矩陣具有完全特征向量系，矩陣使得則經(jīng)擾動后的矩陣的一個特征值滿足不等式.其中為矩陣的范數(shù).

定理5（Bauer-Fike）

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院14經(jīng)常使用的但定理對一般仍成立.若為對稱矩陣，可選為正交矩陣，這時，于是有結(jié)論：

若為實對稱矩陣，而為的任何一個擾動，則對的任何一個特征值，有推論湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院15作業(yè)：P209-210題1（1）;題2;題3;湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院16§2乘冪法與反乘冪法

一、乘冪法二、乘冪法的加速三、反乘冪法湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院17

一、乘冪法的基本思想與計算格式設(shè)有完全特征向量系，即的特征向量構(gòu)成線性空間的基底并設(shè)：若，則.即逐漸與平行.

這是A關(guān)于

1的近似特征向量湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院18計算格式：

（規(guī)格化）

下面證明：

引入記號：表示的絕對值最大的分量.

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院19由于的最大分量為1，故有：

從而：

證明湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院20若，則有：

注意到湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院21即

并且

線性收斂速度.

若不滿足，乘冪法將復(fù)雜些.如果,此時

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院22又

收斂速度決定于的大小.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院23（1）

（2）

（3）

當(dāng)矩陣的特征值不滿足條件時，還可能出現(xiàn)的其他情形有：

情況就十分復(fù)雜。

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院24

算法：乘冪法

給定一非零的初始向量，獲得n

n矩陣A的主特征值及其相應(yīng)的特征向量.Input:

維數(shù)n;矩陣a[][];初始向量V0[];誤差容限TOL;

迭代的最大次數(shù)Nmax.Output:

近似特征值

和規(guī)格化的近似特征向量或失敗信息。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院25

算法:乘冪法Step1Setk=1;Step2Findindexsuchthat|V0[index]|=||V0||

;Step3SetV0[]=V0[]/V0[index];/*規(guī)格化V0*/Step4While(k

Nmax)dosteps5-11

Step5V[]=AV0[];/*由Uk1

計算

Vk*/

Step6=V[index];

Step7

Findindexsuchthat|V[index]|=||V||

;

Step8IfV[index]==0thenOutput(“Ahastheeigenvalue0”;V0[]);STOP.

/*矩陣是奇異的，用戶嘗試新的V0*/

Step9

err=||V0V[]/V[index]||

;

V0[]=V[]/V[index];/*計算Uk

*/

Step10If(err<TOL)thenOutput

(

;V0[]);STOP./*成功*/

Step11Setk++;Step12Output(Maximumnumberofiterationsexceeded);STOP./*失敗*/

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院26例如

求方陣按模最大的特征值及相應(yīng)的特征向量.

解取作為初始向量，可見與的對應(yīng)分量之比為1，特征值為43.38，特征向量為.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院271.00001.00001.00001.00001.000010.44600.44600.44630.44830.482010.18590.18590.18600.18570.2143143.8843.8843.9244.5756

43.8843.8843.9244.5756

19.5719.5719.6019.9827

8.1568.1578.1680.835712

543210乘冪法計算實例湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院28二、乘冪法的加速收斂

線性收斂速度,取決于的大小.（1）原點(diǎn)位移法

考慮矩陣：和特征值：和

和具有相同的特征向量.

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院29

即若，則.若有并且則可以加速收斂速度.原點(diǎn)位移即是用乘冪法計算的特征值.

則現(xiàn)在關(guān)鍵是如何選取

.事實上，若求得的主特征值湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院30特別，若的特征值均為實數(shù)，且滿足

應(yīng)選，滿足

這時取，使得：達(dá)極小值。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院31此時：即：

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院32（2）Rayleigh商加速

設(shè)為實對稱矩陣，作Rayleigh商以下證明：

設(shè)為的規(guī)范正交特征向量系，仍設(shè)：，易知：湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院33因此：

故有：

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院34三、反乘冪法

假設(shè)有完全特征向量系，并設(shè)：注意：，則：則：

為的主特征值.A1的主特征值A(chǔ)的絕對值最小的特征值湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院35計算格式：

則：

實際計算格式：

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院36

若已知,考慮，

的特征值：

又若：

這時為的主特征值.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院37計算格式：

有：

（1）（2）

（當(dāng)時）由（1）得：

反乘冪法可求得任意特征值和相應(yīng)的特征向量，收斂快，精度高.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院38作業(yè)：P210題4（1）、題6、題7湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院39§3約化矩陣的Householder方法湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院40

定義：利用相似變換，將矩陣約化為“盡可能簡單”的形式的過程，稱為矩陣的約化.特征值特征向量湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院41一、Householder矩陣

二、約化矩陣為上Hessenberg矩陣三、矩陣的QR分解湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院42一、Householder矩陣

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院43性質(zhì)1

性質(zhì)2

正交性：正交矩陣作用于上，仍有：即不改變向量的長度.

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院44定理6

設(shè)，則總存在Householder矩陣，使得證明：若，則只需取正交即可.

據(jù)此應(yīng)有：若，確定

使湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院45即：

應(yīng)與向量平行.

因為，所以

又因為，所以可取這時即為所求的Householder矩陣.

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院46

求(找)，使得可以設(shè)計，使得變?yōu)樗枰男螤?

這里,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院47湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院48即要求，且的后面?zhèn)€元素為零.

還可構(gòu)造，使得：

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院49設(shè)：作

使得：令則顯然，這樣構(gòu)造的仍然是Householder矩陣.

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院50一、Householder矩陣

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院51

求(找)，使得可以設(shè)計，使得變?yōu)樗枰男螤?

這里,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院52即要求，且的后面?zhèn)€元素為零.

還可構(gòu)造，使得：

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院53

二、約化矩陣為上Hessenberg矩陣相似變換：其中，當(dāng)

定理7：對任何矩陣，可以構(gòu)造正交矩陣

使得為上Hessenberg矩陣，其中為Householder矩陣.

第1步約化的過程如下:記湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院54

構(gòu)造的Householder矩陣其中為階Householder矩陣，使得：

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院55

構(gòu)造Householder矩陣其中為階Householder矩陣，使得：

第2步約化:湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院56則具有如下形式：約化n-2步后,Householder矩陣，使記，顯然為正交矩陣.

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院57湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院58湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院59湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院60湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院61湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院62湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院63

三、矩陣的QR分解湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院64分解：，，為正交矩陣，為上三角陣.

作法：用表示的列向量，令取Householder矩陣使得

其中，則：湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院65然后,構(gòu)造Householder矩陣其中為階Householder矩陣，使得：

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院66則具有如下形式：構(gòu)造出一串Householder矩陣，使記，顯然為正交矩陣.

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院67湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院68作業(yè)：P210題9、題10、題11湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院69§4方法

一、算法

二、帶原點(diǎn)位移的方法

三、Hessenberg矩陣的方法

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院70

一、方法的基本思想

首先作的分解：（對角元非負(fù)）

?。喝缓笞鞯姆纸?

一般地：于是得矩陣序列：

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院71可以證明：

(1)∽

(2)為一階或二階方陣.

于是的特征值即為的特征值.

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院72定理10

設(shè)的個特征值具有性質(zhì)：

則：證：（略）湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院73二、帶原點(diǎn)位移的方法

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院74湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院75湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院76湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院77

三、Hessenberg矩陣的方法

先把經(jīng)相似變換約化為Hessenberg矩陣，即：

∽且有很多零元.

設(shè)為Hessenberg矩陣,作分解:

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院78問題在于是否仍為Hessenberg矩陣？

可以證明：

若為Hessenberg矩陣，

則：仍為Hessenberg矩陣。

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院79方法收斂的速度同于冪法.

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院80§5實對稱矩陣特征值問題的解法一、Jacobi方法二、二分法湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院81設(shè)則存在()，使得：一、Jacobi方法

理論上，實對稱矩陣A正交相似于以A的特征值為對角元的對角陣。即

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院82問題是如何構(gòu)造這樣的正交矩陣呢?Jacobi方法就是通過構(gòu)造特殊的正交矩陣序列，通過相似變換使A的非對角線元素逐次零化來實現(xiàn)對角化的.1、平面旋轉(zhuǎn)矩陣與相似約化先看一個簡單的例子.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院83設(shè)

是二階實對稱矩陣，其特征值為λ1，λ2.令

使得

記

容易驗證BT=B,

且湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院84解之得:當(dāng)時，當(dāng)時，并規(guī)定湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院85

2、

經(jīng)典的Jacobi方法

設(shè)A是實對稱矩陣，記A1=A.Jacobi方法的基本思想是用迭代格式

Ak+1=QTkAkQk,k=1,2,…

構(gòu)造一個相似矩陣序列，使｛Ak｝收斂于一個對角陣。其中

Qk為平面旋轉(zhuǎn)矩陣，其旋轉(zhuǎn)角θk由使Ak的絕對值最大元a(k)pq=a(k)qp化為0

或按列依次使A的非對