用函數(shù)來(lái)表示變量間的數(shù)量關(guān)系廣泛應(yīng)用于各學(xué)科領(lǐng)域，但是在實(shí)際問(wèn)題中，往往是通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀測(cè)以及計(jì)算等方法，得到的是函數(shù)在一些點(diǎn)上的函數(shù)值。如何通過(guò)這些離散數(shù)據(jù)找到函數(shù)的一個(gè)滿足精度要求且便于使用的近似表達(dá)式，是經(jīng)常遇到的問(wèn)題。對(duì)于這類問(wèn)題我們解決的方法為插值法，而最常用也最簡(jiǎn)單的插值方法就是多項(xiàng)式插值。當(dāng)然用插值法得到的近似表達(dá)式必須滿足插值條件即假設(shè)給定了n+1個(gè)點(diǎn)的自變量的值以及函數(shù)值，近似函數(shù)必須要過(guò)這n+1個(gè)點(diǎn)。多項(xiàng)式插值，從幾何角度看，就是尋求n次代數(shù)曲線y=Pn(x)通過(guò)n+1個(gè)點(diǎn)作為f(x)的近似。但是隨著插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，高次插值多項(xiàng)式的近似效果并不理想。根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)得出，在進(jìn)行高次多項(xiàng)式插值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。因此，為了解決這樣的一個(gè)問(wèn)題，我們可以通過(guò)縮小插值區(qū)間的辦法達(dá)到減小誤差的目的。但是當(dāng)在每個(gè)小區(qū)間上用一次函數(shù)進(jìn)行插值時(shí)，有很好的收斂性但是光滑度不夠，因此本實(shí)驗(yàn)將用三次Hermite進(jìn)行插值，做具體的討論和學(xué)習(xí)。關(guān)鍵詞：龍格現(xiàn)象分段差值三次Hermite進(jìn)行插值1、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^(guò)對(duì)分段三次Hermite插值算法程序的編寫(xiě)，提高自己編寫(xiě)程序的能力體會(huì)分段三次Hermite插值比分段線性插值優(yōu)越在哪里用實(shí)驗(yàn)報(bào)告的形式展現(xiàn)，提高自己在寫(xiě)論文方面的能力2、 算法流程分段線性插值多項(xiàng)式S(x)在插值區(qū)間\a.b]±只能保證連續(xù)性，而不光滑。要想得到在插值區(qū)間上光滑的分段線性插值多項(xiàng)式，可采用分段埃爾米特(Hermite)插值，這里我們考慮在整個(gè)I。,用上用分段三次埃爾米特插值多項(xiàng)式來(lái)逼近f(x)。一般的將帶有導(dǎo)數(shù)的插值多項(xiàng)式稱為Hermite插值多項(xiàng)式。如果已知函數(shù)y=f(x)在節(jié)點(diǎn)a=X。v*1v?v=b處的函數(shù)的值和導(dǎo)數(shù)值：yt==f'(xi),i=0,1,2,?,“則在小區(qū)間氏」1，刈上有四個(gè)插值條件：yi-i=「(豹-1)山=/3)羌一1=廣(羽-1)必'=廣(豹)故能構(gòu)造一個(gè)三次多項(xiàng)式〃心),并稱為三次Hermite插值多項(xiàng)式。這時(shí)在整個(gè)力］上可以用分段三次Hermite插值多項(xiàng)式來(lái)逼近/'(x)。H}(x\xe[x0,x1：H(x)=H2(x)fxe[xltx2H(x)=其中HQ)"[&_i西]滿足條件：乩(豹_i)=f'(xf-J=y,_!，//,(%,)=f(xf)=y(=f\xi_i)=y'i_MO=/(xz)=y'i關(guān)于仇(x)的構(gòu)造，我們可以通過(guò)基函數(shù)來(lái)進(jìn)行，這時(shí)令Kx)=y_的一13)+y的3)+乂一1也一13)+饑仇3)其中(p—i(x)、(pi(x)、站一i(x)和也(x)均為三次多項(xiàng)式，并稱為三次Hermite插值多項(xiàng)式的基函數(shù)。對(duì)上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得到H'q)="1拭-13)+貝饑3)+E-iW—iO)+?優(yōu)3)則由插值條件可以分別給出基函數(shù)滿足的條件：1 =1,佝(x」i)=0,i/a.1(x1_1)=0,也(豹_1)=0(Pi~1(婦=0,啊(婦=VPi-i(婦=。,也(孕)=0"i(")=o航(孕一J=0,"—iG「i)=tvAfe-i)=o拭—13)=。，況(豹)=o加-i(&)=1,況3)=1下面具體求解基函數(shù)婦(X)、"X)、W」i(x)和仇(X)。由上面的條件的第一列可以得到饑-l(x)滿足條件：0」1(陽(yáng)_1)=1,口_1(孫)=0,拭_1(勤_1)=0,0—1(狼)=0(1)由上式中的第二、第四個(gè)條件可知饑-13)應(yīng)該具有形式(pt-i(x)=(x-%i)2(ax4-h)(2)這時(shí)況-13)=2(%-%,)(ax4-幻4-a(x-xf)2(3)再由(1)式中的第一、第三個(gè)條件分別帶入(2)式(3)式得到h^axt_1+b)=1一2hz(axf_1+b)+aht2=0I解此線性方程組得到2 1 2Xi-!將a、b代入(2)式得到(2 1 2x」i\ %-%,_!(x-Xj)2饑?_1(%)=(%-xJ + =(1+2—-—)———\hi3h，CI 山妒類似地有X-%,-1(X-&)2的(x)=(1-2—-—)———1也-13)=薩3-豹-1)(X-婦21也(X)=薩(X-豹)(x-豹_1)2因此將得到

血+血+2(x-Xj，!)](%-%i)2[hi-2(x-Xf)](%-x(-1)2M(x)= y+ yf(Xf?1)(%-婦2, 0_豹)(％_*])2+ y『i+ Vi這樣，便求出了分段三次Hermite插值多項(xiàng)式：Hi(x),xe[x0,xlzH(x)=如3),乂￡[%b%2H(x)=??????3、數(shù)值算例已知下列的條件Xi1223y'i1-1通過(guò)分段三次Hermite插值法，求解當(dāng)x=1.5時(shí)的y值。解：具體的程序如下所示：#include，zstdafx.h〃floatHermite(floatx[],floaty[],floatz[],floatxl,intlen)(inti=0;floats=0;floath=0;floatLl=0;floatL2=0;floatL3=0;floatL4=0;for(i=0;i<len-l;i++)(if(xl>=x[i]&&xl<x[i+l])break;)i=i+l;h=x[i]-x[i-l];L1二(h+2*(xl-x[i-l]))*(xl-x[i])*(xl-x[i])/(h*h*h);L2二(h+2*(xl-x[i]))*(xl-x[i-l])*(xl-x[i-l])/(h*h*h);L3二(xl-x[i-l])*(xl-x[i])*(xl-x[i])/(h*h);L4=(xl-x[i-l])*(xl-x[i-l])*(xl-x[i])/(h*h);s=Ll*y[iT]+L2*y[i]+L3*z[iT]+L4*z[i];returns;)floatHermite(floatx[],floaty[],floatxl,intlen);voidmainO(floatx[]={l,2);floaty□={2,3);floatz[]={l,-1);intlen=sizeof(x)/sizeof(x[0]);floatxl=0;floats=0;printf(，z請(qǐng)輸入要求解的xl的值:\n〃)；scanf(〃%f〃,&xl);s=Hermite(x,y,z,xl,len);printfC經(jīng)過(guò)分段三次Hermite插值的結(jié)果為：\