關(guān)于線性規(guī)劃的研究

在中國戰(zhàn)國時期，有一場流行于后世的賽馬比賽。我相信每個人都知道這是一場競爭。田忌賽馬的故事說明在已有的條件下,經(jīng)過籌劃、安排,選擇一個最好的方案,就會取得最好的效果?？梢?籌劃安排是十分重要的。現(xiàn)在普遍認(rèn)為,運(yùn)籌學(xué)是近代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個分支,主要是將生產(chǎn)、管理等事件中出現(xiàn)的一些帶有普遍性的運(yùn)籌問題加以提煉,然后利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解決。前者提供模型,后者提供理論和方法。作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科,用純數(shù)學(xué)的方法來解決最優(yōu)方法的選擇安排是在20世紀(jì)40年代才開始興起的一門分支。運(yùn)籌學(xué)主要研究經(jīng)濟(jì)活動和軍事活動中能用數(shù)量來表達(dá)的有關(guān)策劃、管理方面的問題。隨著客觀實(shí)際的發(fā)展,運(yùn)籌學(xué)的許多內(nèi)容不但研究經(jīng)濟(jì)和軍事活動,有些已經(jīng)深入到日常生活當(dāng)中去了。運(yùn)籌學(xué)可以根據(jù)問題的要求,通過數(shù)學(xué)上的分析、運(yùn)算,得出各種各樣的結(jié)果,最后提出綜合性的合理安排,已達(dá)到最好的效果。運(yùn)籌學(xué)作為一門用來解決實(shí)際問題的學(xué)科,在處理千差萬別的各種問題時,一般有以下幾個步驟:確定目標(biāo)、制定方案、建立模型、制定解法。雖然不大可能存在能處理及其廣泛對象的運(yùn)籌學(xué),但是在運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展過程中還是形成了某些抽象模型,并能應(yīng)用解決較廣泛的實(shí)際問題。隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)的發(fā)展,運(yùn)籌學(xué)已滲入很多領(lǐng)域里,發(fā)揮了越來越重要的作用。運(yùn)籌學(xué)本身也在不斷發(fā)展,現(xiàn)在已經(jīng)是一個包括好幾個分支的數(shù)學(xué)部門了。比如:數(shù)學(xué)規(guī)劃(又包含線性規(guī)劃;非線性規(guī)劃;整數(shù)規(guī)劃;組合規(guī)劃等)、圖論、網(wǎng)絡(luò)流、決策分析、排隊論、可靠性數(shù)學(xué)理論、庫存論、對策論、搜索論、模擬等等。各分支簡介數(shù)學(xué)規(guī)劃的研究對象是計劃管理工作中有關(guān)安排和估值的問題,解決的主要問題是在給定條件下,按某一衡量指標(biāo)來尋找安排的最優(yōu)方案。它可以表示成求函數(shù)在滿足約束條件下的極大極小值問題。這里最簡單的一種問題就是線性規(guī)劃。如果約束條件和目標(biāo)函數(shù)都是呈線性關(guān)系的就叫線性規(guī)劃。要解決線性規(guī)劃問題,從理論上講都要解線性方程組,因此解線性方程組的方法,以及關(guān)于行列式、矩陣的知識,就是線性規(guī)劃中非常必要的工具。線性規(guī)劃及其解法—單純形法的出現(xiàn),對運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展起了重大的推動作用。許多實(shí)際問題都可以化成線性規(guī)劃來解決,而單純形法有是一個行之有效的算法,加上計算機(jī)的出現(xiàn),使一些大型復(fù)雜的實(shí)際問題的解決成為現(xiàn)實(shí)。非線性規(guī)劃是線性規(guī)劃的進(jìn)一步發(fā)展和繼續(xù)。許多實(shí)際問題如設(shè)計問題、經(jīng)濟(jì)平衡問題都屬于非線性規(guī)劃的范疇。非線性規(guī)劃擴(kuò)大了數(shù)學(xué)規(guī)劃的應(yīng)用范圍,同時也給數(shù)學(xué)工作者提出了許多基本理論問題,使數(shù)學(xué)中的如凸分析、數(shù)值分析等也得到了發(fā)展。還有一種規(guī)劃問題和時間有關(guān),叫做“動態(tài)規(guī)劃”。近年來在工程控制、技術(shù)物理和通訊中的最佳控制問題中,已經(jīng)成為經(jīng)常使用的重要工具。排隊論是運(yùn)籌學(xué)的又一個分支,它有叫做隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論。它的研究目的是要回答如何改進(jìn)服務(wù)機(jī)構(gòu)或組織被服務(wù)的對象,使得某種指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的問題。比如一個港口應(yīng)該有多少個碼頭,一個工廠應(yīng)該有多少維修人員等。因為排隊現(xiàn)象是一個隨機(jī)現(xiàn)象,因此在研究排隊現(xiàn)象的時候,主要采用的是研究隨機(jī)現(xiàn)象的概率論作為主要工具。此外,還有微分和微分方程。排隊論把它所要研究的對象形象的描述為顧客來到服務(wù)臺前要求接待。如果服務(wù)臺以被其它顧客占用,那么就要排隊。另一方面,服務(wù)臺也時而空閑、時而忙碌。就需要通過數(shù)學(xué)方法求得顧客的等待時間、排隊長度等的概率分布。排隊論在日常生活中的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的,比如水庫水量的調(diào)節(jié)、生產(chǎn)流水線的安排,鐵路分成場的調(diào)度、電網(wǎng)的設(shè)計等等。對策論也叫博弈論,前面講的田忌賽馬就是典型的博弈論問題。作為運(yùn)籌學(xué)的一個分支,博弈論的發(fā)展也只有幾十年的歷史。系統(tǒng)地創(chuàng)建這門學(xué)科的數(shù)學(xué)家,現(xiàn)在一般公認(rèn)為是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、計算機(jī)之父——馮·諾依曼。搜索論是由于第二次世界大戰(zhàn)中戰(zhàn)爭的需要而出現(xiàn)的運(yùn)籌學(xué)分支。主要研究在資源和探測手段受到限制的情況下,如何設(shè)計尋找某種目標(biāo)的最優(yōu)方案,并加以實(shí)施的理論和方法。運(yùn)籌學(xué)有廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域,它已滲透到諸如服務(wù)、庫存、搜索、人口、對抗、控制、時間表、資源分配、廠址定位、能源、設(shè)計、生產(chǎn)、可靠性、等各個方面。運(yùn)籌學(xué)作為一門現(xiàn)代科學(xué),是在第二次世界大戰(zhàn)期間首先在英美兩國發(fā)展起來的,有的學(xué)者把運(yùn)籌學(xué)描述為就組織系統(tǒng)的各種經(jīng)營作出決策的科學(xué)手段。現(xiàn)代運(yùn)籌學(xué)的起源可以追溯到幾十年前,在某些組織的管理中最先試用科學(xué)手段的時候?？墒?現(xiàn)在普遍認(rèn)為,運(yùn)籌學(xué)的活動是從二次世界大戰(zhàn)初期的軍事任務(wù)開始的。當(dāng)時迫切需要把各項稀少的資源以有效的方式分配給各種不同的軍事經(jīng)營及在每一經(jīng)營內(nèi)的各項活動,所以美國及隨后美國的軍事管理當(dāng)局都號召大批科學(xué)家運(yùn)用科學(xué)手段來處理戰(zhàn)略與戰(zhàn)術(shù)問題,實(shí)際上這便是要求他們對種種(軍事)經(jīng)營進(jìn)行研究,這些科學(xué)家小組正是最早的運(yùn)籌小組。第二次世界大戰(zhàn)期間,“OR”成功地解決了許多重要作戰(zhàn)問題,顯示了科學(xué)的巨大物質(zhì)威力,為“OR”后來的發(fā)展鋪平了道路。當(dāng)戰(zhàn)后的工業(yè)恢復(fù)繁榮時,由于組織內(nèi)與日俱增的復(fù)雜性和專門化所產(chǎn)生的問題,使人們認(rèn)識到這些問題基本上與戰(zhàn)爭中所曾面臨的問題類似,只是具有不同的現(xiàn)實(shí)環(huán)境而已,運(yùn)籌學(xué)就這樣潛入工商企業(yè)和其它部門,在50年代以后得到了廣泛的應(yīng)用。運(yùn)籌學(xué)的特點(diǎn)是:(1)運(yùn)籌學(xué)已被廣泛應(yīng)用于工商企業(yè)、軍事部門、民政事業(yè)等研究組織內(nèi)的統(tǒng)籌協(xié)調(diào)問題,故其應(yīng)用不受行業(yè)、部門之限制;(2)運(yùn)籌學(xué)既對各種經(jīng)營進(jìn)行創(chuàng)造性的科學(xué)研究,又涉及到組織的實(shí)際管理問題,它具有很強(qiáng)的實(shí)踐性,最終應(yīng)能向決策者提供建設(shè)性意見,并應(yīng)收到實(shí)效;(3)它以整體最優(yōu)為目標(biāo),從系統(tǒng)的觀點(diǎn)出發(fā),力圖以整個系統(tǒng)最佳的方式來解決該系統(tǒng)各部門之間的利害沖突。對所研究的問題求出最優(yōu)解,尋求最佳的行動方案,所以它也可看成是一門優(yōu)化技術(shù),提供的是解決各類問題的優(yōu)化方法。運(yùn)籌學(xué)的研究方法有:(1)從現(xiàn)實(shí)生活場合抽出本質(zhì)的要素來構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,因而可尋求一個跟決策者的目標(biāo)有關(guān)的解;(2)探索求解的結(jié)構(gòu)并導(dǎo)出系統(tǒng)的求解過程;(3)從可行方案中尋求系統(tǒng)的最優(yōu)解法。運(yùn)籌學(xué)的具體內(nèi)容包括:規(guī)劃論(包括線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃)、圖論、決策論、對策論、排隊論、存儲論、可靠性理論等。數(shù)學(xué)規(guī)劃即上面所說的規(guī)劃論,是運(yùn)籌學(xué)的一個重要分支,最初是在生產(chǎn)組織管理和制定交通運(yùn)輸方案方面首先研究和應(yīng)用一線性規(guī)劃方法。1947年旦茨格等人提出了求解線性規(guī)劃問題的單純形方法,為線性規(guī)劃的理論與計算奠定了基礎(chǔ),特別是電子計算機(jī)的出現(xiàn)和日益完善,更使規(guī)劃論得到迅速的發(fā)展,可用電子計算機(jī)來處理成千上萬個約束條件和變量的大規(guī)模線性規(guī)劃問題,從解決技術(shù)問題的最優(yōu)化,到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、交通運(yùn)輸業(yè)以及決策分析部門都可以發(fā)揮作用。圖論是一個古老的但又十分活躍的分支,它是網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的基礎(chǔ)。圖論的創(chuàng)始人是數(shù)學(xué)家歐拉。1736年他發(fā)表了圖論方面的第一篇論文,解決了著名的哥尼斯堡七橋難題,相隔一百年后,在1847年基爾霍夫第一次應(yīng)用圖論的原理分析電網(wǎng),從而把圖論引進(jìn)到工程技術(shù)領(lǐng)域。20世紀(jì)50年代以來,圖論的理論得到了進(jìn)一步發(fā)展,將復(fù)雜龐大的工程系統(tǒng)和管理問題用圖描述,可以解決很多工程設(shè)計和管理決策的最優(yōu)化問題,例如,完成工程任務(wù)的時間最少,距離最短,費(fèi)用最省等等。圖論受到數(shù)學(xué)、工程技術(shù)及經(jīng)營管理等各方面越來越廣泛的重視。排隊論又叫隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論。1909年丹麥的電話工程師愛爾朗(A.K.Erlang)排隊問題,1930年以后,開始了更為一般情況的研究,取得了一些重要成果。1949年前后,開始了對機(jī)器管理、陸空交通等方面的研究,1951年以后,理論工作有了新的進(jìn)展,逐漸奠定了現(xiàn)代隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。排隊論主要研究各種系統(tǒng)的排隊隊長,排隊的等待時間及所提供的服務(wù)等各種參數(shù),以便求得更好的服務(wù)。它是研究系統(tǒng)隨機(jī)聚散現(xiàn)象的理論。可靠性理論是研究系統(tǒng)故障、以提高系統(tǒng)可靠性問題的理論?？煽啃岳碚撗芯康南到y(tǒng)一般分為兩類:(1)不可修系統(tǒng):如導(dǎo)彈等,這種系統(tǒng)的參數(shù)是壽命、可靠度等,(2)可修復(fù)系統(tǒng):如一般的機(jī)電設(shè)備等,這種系統(tǒng)的重要參數(shù)是有效度,其值為系統(tǒng)的正常工作時間與正常工作時間加上事故修理時間之比。決策論研究決策問題。所謂決策就是根據(jù)客觀可能性,借助一定的理論、方法