二、

剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述

若物體在運動過程中，其所有的質(zhì)元都繞某一直線作圓周運動，這種運動稱之為轉(zhuǎn)動。該直線稱為轉(zhuǎn)軸。

二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述若物體在運動過程中，其所1

若轉(zhuǎn)動軸固定不動，即既不能改變方向又不能平移，這個轉(zhuǎn)軸為固定軸，這種轉(zhuǎn)動稱為定軸轉(zhuǎn)動。

我們只討論定軸轉(zhuǎn)動。OZ１、轉(zhuǎn)動瞬軸、定軸轉(zhuǎn)動

若轉(zhuǎn)軸的方向或位置在運動過程中變化，這個軸在某個時刻的位置稱為該時刻的轉(zhuǎn)動瞬軸。

若轉(zhuǎn)動軸固定不動，即既不能改變方向又不能平移，這個轉(zhuǎn)軸2垂直于轉(zhuǎn)動軸的平面為轉(zhuǎn)動平面。

１）角量描述：角位移角速度角加速度

由于這時組成剛體的各質(zhì)點均在各自的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞軸作圓周運動，因此前面關(guān)于質(zhì)點圓周運動的全套描述方法，此處全部可用。

以轉(zhuǎn)動平面與軸的交點為原點，任引一射線為極軸，原點引向考察點的矢徑與極軸的夾角

為角位置，并引入

0

x

2、定軸轉(zhuǎn)動的角量描述垂直于轉(zhuǎn)動軸的平面為轉(zhuǎn)動平面。１）角量描述：角位移角速度3２)剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點所有質(zhì)點的角量都相同

；質(zhì)點的線量與該質(zhì)點的軸矢徑大小成正比

。２)剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點所有質(zhì)點的角量都相同；4一、力矩1、力對固定點的力矩

1）定義：作用于質(zhì)點的力對慣性系中某參考點的力矩，等于力的作用點對該點的位矢與力的矢積，即

力矩是矢量，M

的方向垂直于r和F所決定的平面，其指向用右手螺旋法則確定。2）力矩的單位、?！っ?N·m)o

m3-2力矩

剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律一、力矩1、力對固定點的力矩1）定義：作用于質(zhì)點的力對慣53）力矩的計算：

M的大小、方向均與參考點的選擇有關(guān)※在直角坐標系中，其表示式為3）力矩的計算：M的大小、方向均與參考點的選擇有關(guān)※6

力矩在x,y,z軸的分量式，稱力對軸的矩。例如上面所列Ｍx,My,Mz

,即為力對Ｘ軸、Ｙ軸、Ｚ軸的矩。

２、力對軸的矩：

設力Ｆ的作用線就在Z軸的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，作用點到Ｚ軸的位矢為r，則力對Ｚ軸的力矩為·式中為力F到軸的距離若力的作用線不在轉(zhuǎn)動在平面內(nèi)，則只需將力分解為與軸垂直、平行的兩個分力即可。rF力矩在x,y,z軸的分量式，稱力對軸的矩。例如上面所列71.力對固定點的力矩為零的情況：

力F等于零，力F的作用線與矢徑r共線（力F的作用線穿過0點,即，有心 力對力心的力矩恒為零）。2.力對固定軸的力矩為零的情況：

有兩種情況,B）力的方向沿矢徑的方向（）有心力的力矩為零A)1.力對固定點的力矩為零的情況： 力F等于零，2.力對固定軸83.質(zhì)點系內(nèi)一對內(nèi)力對任一點的力矩之矢量和為零3.質(zhì)點系內(nèi)一對內(nèi)力對任一點的力矩之矢量和為零9二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，在剛體上取一質(zhì)元，繞軸作半徑的圓周運動，作用在質(zhì)點上的合力矩由牛頓第二定律可知則質(zhì)點所受力矩二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，在剛體上取一質(zhì)10對剛體所受所有力矩求和得：由于剛體各質(zhì)點相對軸距離不變，令對剛體所受所有力矩求和得：由于剛體各質(zhì)點相對軸距離不變，令112、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理

作定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其轉(zhuǎn)動角加速度與外力對該軸的力矩之和成正比，與剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比。其在定軸轉(zhuǎn)動中的地位與牛頓定律在質(zhì)點運動中地位相當。

轉(zhuǎn)動定律說明了J是物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。因為：2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理作定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其轉(zhuǎn)動角加速12即J越大的物體，保持原來轉(zhuǎn)動狀態(tài)的性質(zhì)就越強，轉(zhuǎn)動慣性就越大；反之，J越小，越容易改變其轉(zhuǎn)動狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱，或者說轉(zhuǎn)動慣性越小。

如一個外徑和質(zhì)量相同的實心圓柱與空心圓筒，若受力和力矩一樣，誰轉(zhuǎn)動得快些呢？MM即J越大的物體，保持原來轉(zhuǎn)動狀態(tài)的性質(zhì)就越強，轉(zhuǎn)動慣性13

轉(zhuǎn)動慣量計算舉例：轉(zhuǎn)動慣量的單位：千克·米2（kg·m2）4、轉(zhuǎn)動慣量的計算對于單個質(zhì)點質(zhì)點系若物體質(zhì)量連續(xù)分布，轉(zhuǎn)動慣量計算舉例：轉(zhuǎn)動慣量的單位：千克·米2（kg·m214解(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直例如圖所示，求質(zhì)量為m，長為l的均勻細棒的轉(zhuǎn)動慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直.在棒上任取一質(zhì)元，其長度為dx，距軸O的距離為x，設棒的線密度(即單位長度上的質(zhì)量)為

，則該質(zhì)元的質(zhì)量dm＝λdx.該質(zhì)元對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為整個棒對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為解例如圖所示，求質(zhì)量為m，長為l的均勻細棒的轉(zhuǎn)動慣量：在棒15(2)轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直時，整個棒對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為由此看出，同一均勻細棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動慣量不同.(2)轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直時，整個棒對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為由16解(1)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量.如圖2.36(a)所示，在環(huán)上任取一質(zhì)元，其質(zhì)量為dm，該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離為R，則該質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為考慮到所有質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以細圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為例設質(zhì)量為m，半徑為R的細圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動，求圓環(huán)和圓盤的轉(zhuǎn)動慣量.解(1)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量.如圖17則整個圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量.整個圓盤可以看成許多半徑不同的同心圓環(huán)構(gòu)成.為此，在離轉(zhuǎn)軸的距離為r處取一小圓環(huán)，如圖2.36(b)所示，其面積為dS＝2πrdr，設圓盤的面密度(單位面積上的質(zhì)量)

，則小圓環(huán)的質(zhì)量dm＝σdS＝σ2πrdr，該小圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為以上計算表明，質(zhì)量相同，轉(zhuǎn)軸位置相同的剛體，由于質(zhì)量分布不同，轉(zhuǎn)動慣量不同.則整個圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓18(2)質(zhì)量元的選?。壕€分布面分布

體分布(1)剛體的轉(zhuǎn)動慣量

以上各例說明：線分布體分布面分布與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)，與軸的位置有關(guān)。(2)質(zhì)量元的選?。壕€分布面分布體分布(1)剛體的轉(zhuǎn)動慣19(3)由于剛體是一個特殊質(zhì)點系，即各質(zhì)點之間無相對位移，對于給定的剛體其質(zhì)量分布不隨時間變化，故對于

定軸而言，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是一個常數(shù)。(3)由于剛體是一個特殊質(zhì)點系，即各質(zhì)點之間無相對位移，對20例如圖(a)所示，質(zhì)量均為m的兩物體A，B.A放在傾角為α的光滑斜面上，通過定滑輪由不可伸長的輕繩與B相連.定滑輪是半徑為R的圓盤，其質(zhì)量也為m.物體運動時，繩與滑輪無相對滑動.求繩中張力和及物體的加速度a(輪軸光滑).解物體A，B，定滑輪受力圖見圖2.37(b).對于作平動的物體A，B，分別由牛頓定律得對定滑輪，由轉(zhuǎn)動定律得例如圖(a)所示，質(zhì)量均為m的兩物體A，B.A放在傾角21由于繩不可伸長，所以聯(lián)立式①，②，③，④，⑤得由于繩不可伸長，所以聯(lián)立式①，②，③，④，⑤得22例轉(zhuǎn)動著的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，在t＝0時角速度為.此后飛輪經(jīng)歷制動過程，阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為大于零的常數(shù))，當ω＝

時，飛輪的角加速度是多少？從開始制動到現(xiàn)在經(jīng)歷的時間是多少？解(1)由題知，故由轉(zhuǎn)動定律有即將代入，求得這時飛輪的角加速度為例轉(zhuǎn)動著的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，在t＝0時角速度為23(2)為求經(jīng)歷的時間t，將轉(zhuǎn)動定律寫成微分方程的形式，即分離變量，并考慮到t＝0時，

，兩邊積分故當時，制動經(jīng)歷的時間為(2)為求經(jīng)歷的時間t，將轉(zhuǎn)動定律寫成微分方程的形式，即分離241、轉(zhuǎn)動動能

可見，剛體的轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘積的一半。注意比較轉(zhuǎn)動動能平動動能i質(zhì)點的動能

整個剛體的動能—對i求和3-3剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理1、轉(zhuǎn)動動能可見，剛體的轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量252、力矩的功對于i質(zhì)點其受外力為Fi，對i求和，當整個剛體轉(zhuǎn)動d

，則力矩的元功

式中M為作用于剛體上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于力矩與角位移之乘積（∵內(nèi)力矩之和為零）

∴當剛體轉(zhuǎn)過有限角時，力矩的功為2、力矩的功對于i質(zhì)點其受外力為Fi，對i求和，當263、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：力矩對剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。3、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：力矩對剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)274、剛體的勢能其中m為剛體的總質(zhì)量,yc為剛體質(zhì)心的高度。

質(zhì)量分布均勻而有一定幾何形狀的剛體，質(zhì)心的位置為它的幾何中心。OXYmiMC4、剛體的勢能其中m為剛體的總質(zhì)量,yc為剛體質(zhì)心的高度。28例如圖所示，一根質(zhì)量為m，長為l的均勻細棒OA，可繞固定點O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置成30°角時中心點C和端點A的速度.解棒受力如圖2.39所示，其中重力G對O軸的力矩大小等于，是θ的函數(shù)，軸的支持力對O軸的力矩為零.由轉(zhuǎn)動動能定理，有等式左邊的積分為重力矩的功.即式中

是棒的質(zhì)心所在處相對棒的質(zhì)心C在最低點(即棒在豎直位置處)的高度.

例如圖所示，一根質(zhì)量為m，長為l的均勻細棒OA，可繞固定點29則中心點C和端點A的速度分別為將及

代入①式，得則中心點C和端點A的速度分別為將30§3-4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理

角動量守恒定律§3-4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理31一、

質(zhì)點的角動量

在質(zhì)點的勻速圓周運動中，動量mv不守恒，但

角動量的引入：開普勒行星運動定律的面積定律

許多實例都說明是一個獨立的物理量，再考慮到行星的質(zhì)量m為恒量，一、質(zhì)點的角動量在質(zhì)點的勻速圓周運動中，動量m32

在描述行星的軌道運動，自轉(zhuǎn)運動，衛(wèi)星的軌道運動及微觀粒子的運動中都具有獨特作用。因此必須引入一個新的物理量－－角動量L，來描述這一現(xiàn)象。

衛(wèi)星地球+在描述行星的軌道運動，自轉(zhuǎn)運動，衛(wèi)星33１、質(zhì)點對固定點的角動量

動量為mv的質(zhì)點，對慣性系內(nèi)某參考點0的角動量，等于質(zhì)點對該參考點的位矢r與其動量mv的矢積。

角動量是矢量，角動量L

的方向垂直于r和mv所組成的平面，其指向可用右手螺旋法則確定。注意：為表示是對哪個參考點的角動量，通常將角動量L畫在參考點上。L的大小為·L１、質(zhì)點對固定點的角動量動量為mv的質(zhì)點，對慣34★角動量的單位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。

★當質(zhì)點作圓周運動時,有v=r

,且r與v互相垂直，故有★是相對量：與參照系的選擇有關(guān)，與參考點的選擇有關(guān)L＝rmv=mr2

★角動量的定義并沒有限定質(zhì)點只能作曲線運動而不能作直線運動?！锝莿恿康膯挝皇牵呵Э恕っ?·秒-1(kg·m2·s-1352、質(zhì)點對軸的角動量☆假定質(zhì)點的動量就在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，且質(zhì)點對軸的矢徑為r，則質(zhì)點對z軸的角動量為，方向沿z軸，可正、可負☆質(zhì)點動量不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，則只需考慮動量在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量；或運用坐標分量式求得：2、質(zhì)點對軸的角動量☆假定質(zhì)點的動量就在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，且質(zhì)點36

質(zhì)點的角動量定理１、對點的角動量定理（微分形式）若用r叉乘牛頓定律即式中r是質(zhì)點對參考點o的位矢。

又于是有或

即：作用在質(zhì)點上的力矩等于質(zhì)點角動量對時間的變化率。此即質(zhì)點對固定點的角動量定理。質(zhì)點的角動量定理１、對點的角動量定理（微分形式）若用37２、角動量定理的積分形式：

叫沖量矩*：M和L必須是對同一點而言a、對點的角動量守恒律若，則

質(zhì)點所受外力對某參考點的力矩為零，則質(zhì)點對該參考點的角動量守恒。這就是質(zhì)點的角動量守恒定律。

外力距對某固定點的沖量距等于質(zhì)點對該點的角動量的增量。＊若質(zhì)點受有心力作用，則該質(zhì)點對力心的角動量一定守恒。質(zhì)點角動量守恒定律２、角動量定理的積分形式：叫沖量矩*：M和L38b、對軸的角動量守恒律：

若Mz=0，則Lz=常數(shù)，即若力矩在某軸上的分量為零（或力對某軸的力矩為零），則質(zhì)點對該軸的角動量守恒。b、對軸的角動量守恒律：若Mz=0，則Lz39二、

質(zhì)點系的角動量定理1、質(zhì)點系對固定點的角動量定理

i質(zhì)點對固定點O的角動量定理設有一質(zhì)點系，共有n個質(zhì)點，其第i個質(zhì)點受力為則i質(zhì)點對固定點o的角動量定理為二、質(zhì)點系的角動量定理1、質(zhì)點系對固定點的角動量定理40

對i求和——質(zhì)點系對固定點O的角動量定理由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，每對內(nèi)力對O的力矩之和為零，因此內(nèi)力矩之總和為零，于是有（i)內(nèi)力矩對系統(tǒng)的總角動量無貢獻，（與質(zhì)點系的動量定理相似）對i求和——質(zhì)點系對固定點O的角動量定理由于內(nèi)力成對出現(xiàn)41(iii)質(zhì)點系對固定點的角動量定理的物理意義：質(zhì)點系對o點的角動量隨時間的變化率等于外力對該點力矩的矢量和。(ii)在質(zhì)點系的情況下，求外力對固定點的力矩之和時，不能先求合力，再求合力矩。只能說外力矩之和不能說合外力之矩。(iii)質(zhì)點系對固定點的角動量定理的物理意義：質(zhì)點系對422、質(zhì)點系對軸的角動量定理如果將作用于質(zhì)點系上的外力矩之矢量和及質(zhì)點系的角動量分別向給定軸投影，即可得質(zhì)點系對軸的角動量定理。

式中ri為i質(zhì)點到z軸的距離，

i

是vi與ri間的夾角。

若質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點均繞同一軸、并以相同角速度

作圓周運動，則這時則有

為簡單記只討論沿z軸的角動量定理——這時組成質(zhì)點系的n個質(zhì)點位于z軸的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，于是有2、質(zhì)點系對軸的角動量定理如果將作用于質(zhì)點系上的外力矩之矢43將其與線動量 相比

m

表示物體的平動慣性，則J表示轉(zhuǎn)動慣性，故將命名為對軸的轉(zhuǎn)動慣量，（式中ri

為mi

到軸的距離）即：若質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點均繞同一軸、并以相同角速度

作圓周運動，則這時系統(tǒng)對軸的角動量為

此時質(zhì)點系對軸的角動量定理為將其與線動量 相比m表示物體的平動慣性，則J441、對軸的角動量定理已知質(zhì)點對軸的角動量定理的積分形式為可以證明，這個結(jié)論對剛體定軸轉(zhuǎn)動同樣成立，同時考慮到

即：剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體在這段時間內(nèi)角動量的增量。這一關(guān)系稱剛體的角動量定理。三、

剛體組對軸的角動量定理及其守恒定律1、對軸的角動量定理已知質(zhì)點對軸的角動量定理的積分形式為452、定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒若Mz外＝0，

若外力對Ｚ軸的力矩為零，則剛體（或剛體組）對Ｚ軸的角動量守恒，稱之為剛體對軸的角動量守恒定律。

若為剛體，當角動量守恒時，因J＝常數(shù)，則亦為常數(shù)，這與轉(zhuǎn)動定律是一致的。2、定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒若Mz外＝0，若外