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第二章

二、隱函數(shù)、方程求導(dǎo)與高階導(dǎo)數(shù)三、微分及其應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)第二章機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題選解2例1.求的導(dǎo)數(shù).解:兩邊取對(duì)數(shù),化為隱式兩邊對(duì)x

求導(dǎo)，注意負(fù)號(hào)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(連乘根式適宜對(duì)數(shù)求導(dǎo)法!)3例2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，因?qū)χ笖?shù)和冪函數(shù)分別有求導(dǎo)公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束冪－冪指－冪指－指合并同類項(xiàng)(復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則!)(一個(gè)都不能少!)4例3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解:先把函數(shù)做有理化變形，成為容易求導(dǎo)的形式，機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束上下同乘以分母(有理化方法求極限求導(dǎo)數(shù)通用!)5例4.求的導(dǎo)數(shù).解:先求第一項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)，用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)x

求導(dǎo)并將原函數(shù)乘到右邊，得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束6例5.

求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).解:根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，因機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束7,求解：

例6.設(shè)方程組兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(分母照搬分子再求!)(如法!)(鏈?zhǔn)椒▌t連續(xù)用!)8例7.

設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，在原方程和求導(dǎo)后的方程中令①式②式(邊求導(dǎo)邊代值!)(對(duì)數(shù)性質(zhì)!)9，其中在連續(xù)，且，求.解：因?yàn)檫B續(xù)，且有解畢.例8.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(導(dǎo)數(shù)定義!)(連續(xù)性!)(n次方差公式!)(能否直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)？)(g(x)只知連續(xù)不知可導(dǎo)!)(否!)10例9.求在原點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)，其中.解:由導(dǎo)數(shù)定義:知是無窮小，而有界，從而由無窮小定理知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(原點(diǎn)函數(shù)值為0時(shí)導(dǎo)數(shù)值定義!)11例10.求極限其中f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，且解:由等價(jià)無窮小替換機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束作代換,令x=1/h,原式交換f(a)和h就獲得導(dǎo)數(shù)表達(dá)！指數(shù)函數(shù)(加減變形!)0(取指數(shù)對(duì)數(shù)!)12例11.設(shè)求解:故用歸納法假設(shè)則于是機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(n重復(fù)合!)13第二章機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)

和微分分節(jié)疑難習(xí)題

第二章

14例1.求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).解:先用積化和差公式和二倍角公式變形容易求導(dǎo)：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，每求一次導(dǎo)，系數(shù)提出一次.15例2.

證明：但在原點(diǎn)間斷，證:故但導(dǎo)函數(shù)的右極限在