云南省昆明市黃岡實驗學校2024屆高一數學第一學期期末經典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數，若函數在上有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.，2．已知向量，則銳角等于A.30° B.45°C.60° D.75°3．納皮爾是蘇格蘭數學家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻是對數的發(fā)明，著有《奇妙的對數定律說明書》，并且發(fā)明了對數尺，可以利用對數尺查詢出任意一對數值.現將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻2.5236分鐘后，物體的溫度是50℃，若根據對數尺可以查詢出，則空氣溫度是（）A.5℃ B.10℃C.15℃ D.20℃4．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則xy（）A.有最大值為1 B.有最小值為1C.有最大值為 D.有最小值為5．函數的零點所在區(qū)間是（）A B.C. D.6．已知,,,,則A. B.C. D.7．圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點A處的水平面.已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻（太陽直射點的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為，則該地的緯度約為北緯（）（參考數據：，）A. B.C. D.8．“是鈍角”是“是第二象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．若，則的值為（）A. B.C. D.10．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．圓柱的高為1，它的兩個底面在直徑為2的同一球面上，則該圓柱的體積為____________；12．一條光線從A處射到點B(0，1)后被軸反射，則反射光線所在直線的一般式方程為_____________.13．已知f(x)是定義在R上的奇函數且以6為周期，若f(2)=0，則f(x)在區(qū)間(0,10)內至少有________零點.14．下列命題中，正確命題的序號為______①單位向量都相等；②若向量，滿足，則；③向量就是有向線段；④模為的向量叫零向量；⑤向量，共線與向量意義是相同的15．已知扇形的半徑為4，圓心角為，則扇形的面積為___________.16．計算______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設污水凈化管道（，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.設計要求管道的接口是的中點，分別落在線段上.已知米，米，記.（1）試將污水凈化管道總長度(即的周長)表示為的函數，并求出定義域；（2）問當取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.（提示：.）18．已知向量=（cosx，-sinx），=（1，），=（1，1），x∈[0，π]（1）若與共線，求x的值；（2）若⊥，求x的值；（3）記f（x）=?，當f（x）取得最小值時，求x的值19．已知函數，（1）證明在上是增函數；（2）求在上的最大值及最小值.20．“百姓開門七件事，事事都會生垃圾，垃圾分類益處多，環(huán)境保護靠你我”，為了推行垃圾分類，某公司將原處理垃圾可獲利萬元的一條處理垃圾流水線，通過技術改造后，開發(fā)引進生態(tài)項目.經過測算，發(fā)現該流水線改造后獲利萬元與技術投入萬元之間滿足的關系式：.該公司希望流水線改造后獲利不少于萬元，其中為常數，且.（1）試求該流水線技術投入的取值范圍；（2）求流水線改造后獲利的最大值，并求出此時的技術投入的值.21．某次數學考試后，抽取了20名同學的成績作為樣本繪制了頻率分布直方圖如下：（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求20位同學成績的平均分；（3）估計樣本數據的第一四分位數和第80百分位數（保留三位有效數字）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】根據時，一定有一個零點，故只需在時有一個零點即可，列出不等式求解即可.【題目詳解】當時，令，即可得，；故在時，一定有一個零點；要滿足題意，顯然，令，解得只需，解得.故選：D【題目點撥】本題考查由函數的零點個數求參數范圍，涉及對數不等式的求解，屬綜合基礎題.2、B【解題分析】因為向量共線，則有，得,銳角等于45°，選B3、B【解題分析】依題意可得，即，即可得到方程，解得即可；【題目詳解】：依題意，即，又，所以，即，解得；故選：B4、C【解題分析】利用基本不等式的性質進行求解即可【題目詳解】，，且，（1），當且僅當，即，時，取等號，故的最大值是：，故選：【題目點撥】本題主要考查基本不等式的應用，注意基本不等式成立的條件5、C【解題分析】利用零點存在定理可得出結論.【題目詳解】函數在上單調遞增，因為，，，，所以，函數的零點所在區(qū)間是.故選：C.6、C【解題分析】分別求出的值再帶入即可【題目詳解】因為,所以因為,所以所以【題目點撥】本題考查兩角差的余弦公式．屬于基礎題7、B【解題分析】由題意有，可得，從而可得【題目詳解】由圖1可得，又，所以，所以，所以，該地的緯度約為北緯，故選：8、A【解題分析】根據鈍角和第二象限角的定義，結合充分性、必要性的定義進行判斷即可.【題目詳解】因為是鈍角，所以，因此是第二象限角，當是第二象限角時，例如是第二象限角，但是顯然不成立，所以“是鈍角”是“是第二象限角”的充分不必要條件，故選：A9、D【解題分析】，故選D.10、A【解題分析】由題可得該幾何體為正方體的一半，截去了一個三棱錐，即得.【題目詳解】由三視圖可知該幾何體為正方體的一半，截去了一個三棱錐，如圖，則其體積為.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由題設，易知圓柱體軸截面的對角線長為2，進而求底面直徑，再由圓柱體體積公式求體積即可.【題目詳解】由題意知：圓柱體軸截面的對角線長為2，而其高為1，∴圓柱底面直徑為.∴該圓柱的體積為.故答案為：12、【解題分析】根據反射光線的性質，確定反射光線上的兩個點的坐標，最后確定直線的一般式方程.【題目詳解】因為一條光線從A處射到點B(0，1)后被軸反射，所以點A關于直線對稱點為，根據對稱性可知，反射光線所在直線過點，又因為反射光線所在直線又過點，所以反射光線所在直線斜率為，所以反射光線所在直線方程為，化成一般式得：，故答案為：.13、6【解題分析】直接利用f(x)的奇偶性和周期性求解.【題目詳解】因為f(x)是定義在R上奇函數且以6為周期，所以f(x)=-f即f-x所以f(x)的圖象關于3,0對稱，且f3則f9又f(0)=0,f(6)=0，又f(2)=0，所以f(8)=0,f(-2)=0,f(4)=0，所以f(x)在區(qū)間(0,10)內至少有6個零點.故答案為：6個零點14、④⑤【解題分析】由向量中單位向量，向量相等、零向量和共線向量的定義進行判斷，即可得出答案.【題目詳解】對于①.單位向量方向不同時，不相等，故不正確.對于②.向量，滿足時，若方向不同時，不相等，故不正確.對于③.有向線段是有方向的線段，向量是既有大小、又有方向的量.向量可以用有向線段來表示，二者不等同，故不正確,對于④.根據零向量的定義，正確.對于⑤.根據共線向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，故正確.故答案為：④⑤15、【解題分析】先計算扇形的弧長，再利用扇形的面積公式可求扇形的面積【題目詳解】根據扇形的弧長公式可得，根據扇形的面積公式可得故答案為：16、11【解題分析】進行分數指數冪和對數式的運算即可【題目詳解】原式故答案為11【題目點撥】本題考查對數式和分數指數冪的運算，熟記運算性質，準確計算是關鍵，是基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），定義域為.（2）當或時所鋪設的管道最短，為米.【解題分析】（1）如圖，因為都是直角三角形，故可以得到，也就是，其中.（2）可變形為，令后，則有，其中，故取的最大值米.【題目詳解】（1）.由于，，所以，故.管道的總長度，定義域為.(2).設，則，由于，所以.因為在內單調遞減，于是當時，取的最大值米.（此時或）.答：當或時所鋪設的管道最短，為米.【題目點撥】在三角變換中，注意之間有關系，如，，三者中知道其中一個，必定可以求出另外兩個.18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】（1）利用兩向量平行有可得到一個關于的方程，利用三角函數恒等變化化簡進而求得x的值.（2）利用兩向量垂直有可得到一個關于的方程，利用三角函數恒等變化化簡進而求得x的值.（3）根據化出一個關于的方程，再利用恒等變化公式將函數轉化成，從而找到最小值所取得的x的值.【題目詳解】解：（1）∵向量=（cosx，-sinx），=（1，），=（1，1），x∈[0，π]與共線，∴，∴tanx=-，∵x∈[0，π]，∴x=（2）∵⊥，∴cosx-sinx=0，∴tanx=1，∵x∈[0，π]，∴x=（3）f（x）=?=cosx-，∵x∈[0，π]，∴x-∈[-，]，∴x-=時，f（x）取得最小值-2，∴當f（x）取得最小值時，x=【題目點撥】向量間的位置關系：兩向量垂直，則，兩向量平行，則.19、（1）證明見解析；（2）當時，有最小值2；當時，有最大值.【解題分析】（1）根據單調性的定義，直接證明，即可得出結論；（2）根據（1）的結果，確定函數在給定區(qū)間的單調性，即可得出結果.【題目詳解】（1）證明：在上任取，，且，，，，，，，即，故在上是增函數；（2）解：由（1）知：在上是增函數，當時，有最小值2；當時，有最大值.【題目點撥】本題主要考查證明函數單調性，以及由函數單調性求最值，屬于常考題型.20、（1）；（2）當時，，此時；當時，，此時.【解題分析】（1）由題意得出，解此不等式即可得出的取值范圍；（2）比較與的大小關系，分析二次函數在區(qū)間上的單調性，由此可得出函數的最大值及其對應的的值.【題目詳解】（1），，由題意可得，即，解得，因此，該流水線技術投入的取值范圍是；（2）二次函數的圖象開口向下，且對稱軸為直線.①當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，所以，；②當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞減，所以，.綜上所述，當時，；當時，【題目點撥】本題考查二次函數模型的應用，同時也考查了二次函數最值的求解，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.21、（1）；（2）；（3）第一四分位