2022年廣東省梅州市梅縣高級中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，則A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}參考答案：C考點：交集及其運算．專題：集合．分析：直接利用交集運算求得答案．解答：解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故選：C．點評：本題考查交集及其運算，是基礎的計算題．2.設A，B是有限集合，定義：，其中card（A）表示有限集合A中的元素個數(shù)，則下列不一定正確的是（）A．d（A，B）≥card（A∩B）B．C．d(A，B)≤D．d(A，B)≤[card(A)+card(B)+|card(A)﹣card(B)|]參考答案：C【考點】集合中元素個數(shù)的最值．【分析】根據(jù)定義：，逐一分析四個答案的真假，可得結論．【解答】解：∵card（A∪B）≥card（A∩B），d（A，B）=≥=card（A∩B）故A一定正確；∵card（A∪B）+card（A∩B）=card（A）+card（B）∴=故B，D一定正確；由基本不等式可得：=≥，故C不一定正確；故選：C3.已知某四面體的六條棱長分別為3，3，2，2，2，2，則兩條較長棱所在直線所成角的余弦值為（

）A.0 B. C.0或 D.以上都不對參考答案：B【分析】當較長的兩條棱是四面體相對的棱時，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊出現(xiàn)矛盾，得此種情況不存在；當它們是四面體相鄰的棱時，根據(jù)余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正確答案．【詳解】①當較長的兩條棱是四面體相對的棱時，如圖，取CD中點E，則∵等腰△BCD中，中線BE⊥CD，等腰△ACD中，中線AE⊥CD，AE、BE是平面ABE內(nèi)的相交直線∴CD⊥平面ABE，結合AB?平面ABE，可得AB⊥CD此時兩條較長棱所在直線所成角的余弦值為cos90°＝0，檢驗：此時△ABE中，AE＝BE，不滿足AE+BE＞AB，故此種情況舍去；②當較長的兩條棱是四面體相鄰的棱時，如圖設所成的角為θ，根據(jù)余弦定理得cosθ綜上所述，得所求余弦值為故選B.【點睛】本題考查了在四面體中求兩條棱所在直線所成角的余弦值，著重考查了余弦定理、線面垂直的判定與性質和異面直線所成角等知識，屬于基礎題．4.已知函數(shù)f（x）=，若關于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8個不同的實數(shù)根，則b+c的取值范圍為(

) A．（﹣∞，3） B．（0，3] C．[0，3] D．（0，3）參考答案：D考點：分段函數(shù)的應用．專題：綜合題；函數(shù)的性質及應用．分析：題中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8個不同實數(shù)解，即要求對應于f（x）=某個常數(shù)K，有2個不同的K，再根據(jù)函數(shù)對應法則，每一個常數(shù)可以找到4個x與之對應，就出現(xiàn)了8個不同實數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有滿足條件的K在開區(qū)間（0，1）時符合題意．再根據(jù)一元二次方程根的分布理論可以得出答案．解答： 解：根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：由圖象可得當f（x）∈（0，1]時，有四個不同的x與f（x）對應．再結合題中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8個不同實數(shù)解”，可以分解為形如關于k的方程k2﹣bk+c=0有兩個不同的實數(shù)根K1、K2，且K1和K2均為大于0且小于等于1的實數(shù)．列式如下：，化簡得，此不等式組表示的區(qū)域如圖：令z=b+c，則z=b+c在（2，1）處z=3，在（0，0）處z=0，所以b+c的取值范圍為（0，3），故選：D．點評：本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識，同時考查線性規(guī)劃等知識，較為綜合；采用數(shù)形結合的方法解決，使本題變得易于理解．5.過點（0，1）且與曲線在點（3，2）處的切線垂直的直線的方程為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A6.一個等比數(shù)列前三項的積為2，最后三項的積為4，且所有項的積為64，則該數(shù)列有（）A．13項 B．12項 C．11項 D．10項參考答案：B【考點】等比數(shù)列的性質．【分析】先設數(shù)列的通項公式為a1qn﹣1，則前三項之積：a13q3=2，后三項之積：a13q3n﹣6=4兩式相乘得即a12qn﹣1=2，又根據(jù)所有項的積為64，進而求出n．【解答】解析：設數(shù)列的通項公式為a1qn﹣1則前三項分別為a1，a1q，a1q2，后三項分別為a1qn﹣3，a1qn﹣2，a1qn﹣1．∴前三項之積：a13q3=2，后三項之積：a13q3n﹣6=4兩式相乘得：a16q3（n﹣1）=8，即a12qn﹣1=2又a1?a1q?a1q2…a1qn﹣1=64，∴=64，即（a12qn﹣1）n=642，∴2n=642，∴n=12故選B【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質．屬基礎題．7.如果對任意實數(shù)t都有f(3+t)=f(3-t)，那么（

）A．f(3)<f(1)<f(6)

B．f(1)<f(3)<f(6)

C．f(3)<f(6)<f(1)

D．f(6)<f(3)<f(1)參考答案：A8.在下列條件中，可判斷平面α與β平行的是

（

）

A．α、β都垂直于平面r.

B．α內(nèi)存在不共線的三點到β的距離相等.

C．l，m是α內(nèi)兩條直線，且l∥β，m∥β.

D．l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α,l∥β，m∥β.參考答案：答案：D9.設x，y滿足約束條件，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，則ab的最大值為（）A．1 B． C． D．參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作差可行域，由可行域得到使目標函數(shù)取得最小值的點，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得到關于a，b的等式，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：由約束條件作差可行域如圖，聯(lián)立，解得A（2，3）．由圖可知，目標函數(shù)z=ax+by在點（2，3）上取到最小值2，即2a+3b=2．∴ab=．當且僅當2a=3b=1，即時等號成立．故選：C．10.若（+2x）6展開式的常數(shù)項為（）A．120 B．160 C．200 D．240參考答案：B【考點】DB：二項式系數(shù)的性質．【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項．【解答】解（+2x）6的展開式的通項公式為Tr+1=C6r2rx2r﹣6．令2r﹣6=0，解得r=3，∴（+2x）6展開式的常數(shù)項為C6323=160，故選：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）采用系統(tǒng)抽樣方法從600人中抽取50人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為001，002，…，600，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽得的號碼為003，抽到的50人中，編號落入?yún)^(qū)間[001，300]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[301，495]的人做問卷B，編號落入?yún)^(qū)間[496，600]的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為

．參考答案：8【考點】：系統(tǒng)抽樣方法．概率與統(tǒng)計．【分析】：從600人中抽取50人做問卷調(diào)查，=12．即每12人中抽取1人做問卷調(diào)查，可知：按3+12k（k∈N*）抽?。傻茫涸趨^(qū)間[496，600]抽取的第一人號碼為507，依次為507+12，507+12×2，…，507+12×7，即可得出．解：∵從600人中抽取50人做問卷調(diào)查，=12．即每12人中抽取1人做問卷調(diào)查，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽得的號碼為003，則以后按3+12k（k∈N*）抽?。?×12×41=495，∴在區(qū)間[496，600]抽取的第一人號碼為507，依次為507+12，507+12×2，…，507+12×7，因此編號落入?yún)^(qū)間[496，600]的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為8．故答案為：8．【點評】：本題考查了系統(tǒng)抽樣的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．12.在中，，是的中點，若，在線段上運動，則的最小值為____________.參考答案：13.設表示離最近的整數(shù)，即若，則=.下列關于函數(shù)的四個命題中正確的是

。①函數(shù)的定義域是R，值域是；②函數(shù)的圖像關于直線對稱；③函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是1；④函數(shù)是偶函數(shù)。參考答案：①②③14.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為__________.參考答案：略15.

如右圖，一塊曲線部分是拋物線形的鋼板，其底邊長為，高為，將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，記，梯形面積為．則關于的函數(shù)解析式及定義域為

．參考答案：，16.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則的值是

．參考答案：17.設實數(shù)滿足不等式組，則的最小值為

；

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)，）．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的方程為．（1）求直線l的直角坐標方程；（2）若P為曲線C上一點，Q為l上一點，求|PQ|的最小值．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）直線l的方程轉化為+=﹣4，由此能求出直線l的直角坐標方程．（2）點P（8tan2θ，8tanθ）到直線l的距離d==4（tan）2+3，由此能求出當tanθ=﹣時，|PQ|取得最小值．【解答】解：（1）∵直線l的方程為．即+=﹣4，∴直線l的直角坐標方程為，即x+y+8=0．（2）∵曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)，）．P為曲線C上一點，Q為l上一點，∴點P（8tan2θ，8tanθ）到直線l的距離：d==4|（tanθ+）2+|=4（tan）2+3，∴當tanθ=﹣時，|PQ|取得最小值3．19.（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．（1）求橢圓的標準方程；（2）求點C的坐標；（3）設動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．參考答案：可利用橢圓參數(shù)方程或三角表示揭示為定值.試題分析：（1）,（2）,（3）.試題解析：（1）由已知，得

解得

…2分

所以橢圓的標準方程為．

…3分20.已知函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+m）（Ι）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當m≤2時，證明f（x）＞0．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【專題】壓軸題；導數(shù)的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，因為x=0是函數(shù)f（x）的極值點，由極值點處的導數(shù)等于0求出m的值，代入函數(shù)解析式后再由導函數(shù)大于0和小于0求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明當m≤2時，f（x）＞0，轉化為證明當m=2時f（x）＞0．求出當m=2時函數(shù)的導函數(shù)，可知導函數(shù)在（﹣2，+∞）上為增函數(shù)，并進一步得到導函數(shù)在（﹣1，0）上有唯一零點x0，則當x=x0時函數(shù)取得最小值，借助于x0是導函數(shù)的零點證出f（x0）＞0，從而結論得證．【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的極值點，∴，解得m=1．所以函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+1），其定義域為（﹣1，+∞）．∵．設g（x）=ex（x+1）﹣1，則g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)，又∵g（0）=0，所以當x＞0時，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當﹣1＜x＜0時，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上為減函數(shù)；在（0，+∞）上為增函數(shù)；（Ⅱ）證明：當m≤2，x∈（﹣m，+∞）時，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當m=2時f（x）＞0．當m=2時，函數(shù)在（﹣2，+∞）上為增函數(shù)，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一實數(shù)根x0，且x0∈（﹣1，0）．當x∈（﹣2，x0）時，f′（x）＜0，當x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，從而當x=x0時，f（x）取得最小值．由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0．故f（x）≥=＞0．綜上，當m≤2時，f（x）＞0．【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了不等式的證明，考查了函數(shù)與方程思想，分類討論的數(shù)學思想，綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力．熟練函數(shù)與導數(shù)的基礎知識是解決該題的關鍵，是難題．21.(13分)某同學參加語文、數(shù)學、英語3門課程的考試.假設該同學語文課程取得優(yōu)秀成績的概率為,數(shù)學、英語課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為m,n(m>n),且該同學3門課程都獲得優(yōu)秀成績的概率為,該同學3門課程都未